Содержание

Seminar on Computer Algebra, CMC faculty of MSU & CCAS / Cеминар «Компьютерная алгебра» факультета ВМК МГУ и ВЦ РАН

Contact Person: Sergei Abramov (sergeyabramov [AT] mail [DOT] ru) / Контактное лицо: Сергей Александрович Абрамов (sergeyabramov [AT] mail [DOT] ru).

Computer algebra seminar of Limoges University, France

Next meeting/Следующее заседание

Slides

Заседание семинара посвящено памяти Виталия Александровича Ростовцева (23.05.1932-19.09.2017).

Очередное заседание семинара «Компьютерная алгебра» состоится в среду 18 октября 2017 года в 16:20, в ауд. 707 ВМК:

С.Д.Мешвелиани (Институт программных систем имени А.K. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский)

О доказательной программе арифметики дробей для общего случая

Аннотация

В самом общем случае поле частных Q определяется для любого целостного кольца R. Но сколь-нибудь производительная на деле арифметика дробей требует наличия алгоритма НОД для R. Ещё более производительная арифметика дробей требует дополнительно выполнения свойства однозначного разложения на простые в R. Выполнение этого свойства необходимо для правильности итога улучшенного способа сложения дробей, тогда как само действие разложения на простые не применяется.

Описываются главные черты программы, которая воплощает все три подхода к арифметике дробей в общем случае, и при этом содержит удостоверение – полные формальное доказательства 1) правильности каждого из трёх способов сложения, умножения и деления дробей, 2) того, что эти алгоритмы задают структуру поля на Q. Эти определения и доказательства «понимаются» компилятором и автоматически им проверяются до начала исполнения программы.

Эта программа является частью большой библиотеки DoCon-A доказательных программ для алгебры (http://www.botik.ru/pub/local/Mechveliani/docon-A/), написанной докладчиком на языке Agda. Приблизительно можно считать, что Agda есть (чисто функциональный) язык Haskell, расширенный средством зависимых типов.


The session of the seminar is dedicated to the memory of Vitaly Rostovtsev (23.05.1932-19.09.2017).

The next meeting of the seminar on Computer Algebra of Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of MSU, and Computing Centre of RAS will be on Wednesday, October 18, 2017 at 16:20, room 707 of CMC faculty:

S.D.Meshveliani (Ailamazyan's Program Systems Institute of RAS, Pereslavl-Zalessky, Russia)

Provable generic programming for arithmetic of fractions

Abstract

It is described a provable program for a generic arithmetic of fractions. This is a small part of the project DoCon-A of certified programs for a computer algebra library (http://www.botik.ru/pub/local/Mechveliani/docon-A/).

In this system, functional programs for known algebraic methods are written together with proofs, and proofs are automatically checked by the compiler (see the Coq and Agda systems).

The used language (Agda) is purely functional and includes the feature of dependent types. There are described the design principles for certified programs for arithmetic of fractions over a) any domain with gcd, b) any unique factorization domain.

Previous meetings/Предыдущие заседания

September 13, 2017/13 сентября 2017 г.

Extended Abstract

А.В.Парусникова (НИУ ВШЭ, Департамент прикладной математики)

О расходимости рядов Пюизо, являющихся асимиптотическими разложениями решений пятого уравнения Пенлеве

Аннотация

В данной работе изучаются асимптотики третьих трансцендентов Пенлеве при параметрах γ=0, α,β,δ∈C, α,δ≠0 в секторах с вершинами в бесконечности и углами раствора меньше 2π. Получено семейство параметров третьего уравнения Пенлеве, при которых эти ряды Пюизо - рассмотренные как ряды от z(2/3) - являются рядами Жевре точного порядка один и, как следствие, расходятся. Найдены аналитические функции, которые приближаются по Жевре порядка один данными рядами в секторах с вершинами в бесконечности и углами раствора меньше π.

Доклад основан на совместных работах с А.В. Васильевым:

A.V.Parusnikova, A.V.Vasilyev. On Divergence of Puiseux Series Asymptotic Expansions of Solutions to the Third Painlevé Equation. arXiv:1702.05758.

А.В.Васильев, А.В.Парусникова, “Различные подходы к выявлению асимптотик решений третьего уравнения Пенлеве в окрестности бесконечности”, Дифференциальные уравнения. Математическая физика, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 139, ВИНИТИ РАН, М., 2017, 70–78


A.V.Parusnikova (NRU HSE, Department of Applied Mathematics)

On Divergence of Puiseux Series Asymptotic Expansions of Solutions to the Third Painlevé Equation

Abstract

In this paper we study the third Painlevé equation with the parameters γ=0, α,β,δ∈C, α,δ≠0. As we showed earlier, Puiseux series formally satisfying this equation - considered as series of z(2/3) - asymptotically approximate of Gevrey order one solutions to this equation in sectors with the vertices at infinity. We present a family of values of the parameters such that these series are series of exact Gevrey order one, and hence diverge. We prove the 1-summability of them and provide analytic functions which are approximated of Gevrey order one by these series in sectors with the vertices at infinity.

The talk is based on our joint works with Andrey V. Vasilyev

A.V.Parusnikova, A.V.Vasilyev. On Divergence of Puiseux Series Asymptotic Expansions of Solutions to the Third Painlevé Equation. arXiv:1702.05758.

A.V.Vasilyev, A.V.Parusnikova. On various approaches to asymptotics of solutions to the third Painlevé equation in a neighborhood of infinity. Itogi Nauki i Techniki. Sovremennaya matematika i ee prilojeniya. Tematicheskie obzory 139, 2017, 70-79 (Russian). To be translated in «Journal of Mathematical Sciences».

May 17, 2017/17 мая 2017 г.

Slides

Заседание семинара было посвящено 85-летию В.А.Ростовцева.

А.А.Гусев (ЛИТ ОИЯИ, Дубна)

Метод конечных элементов с интерполяционными полиномами Эрмита для решения эллиптических краевых задач

Аннотация

Предложены новые вычислительные схемы метода конечных элементов высокого порядка точности решения краевых задач для эллиптического уравнения в частных производных, сохраняющие непрерывность приближенного решения и его производных в ограниченной области многомерного евклидова пространства, заданной в виде многогранника. Сформулирован и реализован в системе MAPLE алгоритм для вычисления в аналитическом виде кусочно-непрерывного базиса из интерполяционных полиномов Эрмита нескольких переменных, обеспечивающий на границах треугольных конечных элементов непрерывность не только приближенного решения, но и его производных до заданного порядка. Эффективность и порядок точности вычислительных схем, алгоритмов и программ, реализованных в среде MAPLE-FORTRAN, демонстрируется эталонными расчетами краевых задач на собственные значения для треугольной мембраны, гиперкуба, моделей связанных состояний тримера атомов бериллия в коллинеарной конфигурации и атома гелия.


The session of the seminar was dedicated to the 85-th birthday of V.A.Rostovtsev.

A.A.Gusev (LIT JINR, Dubna)

Finite Element Method with Hermite Interpolation Polynomials for Solving Elliptic Boundary Value Problems

Abstract

A new computational schemes of the finite element method of a high order of accuracy for solving boundary value problems for an elliptic partial differential equation that preserve the continuity of the approximate solution and the its derivatives in a bounded domain like a polygon of a multidimensional Euclidean space is proposed. Algorithm implemented in MAPLE for calculating a piecewise continuous basis of interpolation Hermite polynomials of several variables in analytical form, preserving the continuity of not only the approximate solution but also its derivatives up to a given order on the boundaries of the triangle finite elements, is formulated. The efficiency and accuracy order of the computational schemes, algorithms and programs implemented in MAPLE-FORTRAN environment are demonstrated by benchmark calculations of the boundary-value problems for the triangular membrane, the hypercube, models of the bound states of a trimer of Beryllium atoms in the linear configuration and a Helium atom.

April 12, 2017/12 апреля 2017 г.

Slides (Eferina), Slides (Velieva)

1. Е.Г.Еферина (Российский университет дружбы народов)

Реализация диаграммной техники для статистических систем в SymPy

Аннотация

При разработке методики стохастизации одношаговых процессов основное внимание было уделено получению стохастических уравнений в форме Ланжевена, поскольку данный вид наиболее привычен при построении и исследовании данного круга моделей. Однако формы уравнений в частных производных (основное кинетическое уравнение и уравнение Фоккера–Планка) могут предоставить исследователю более богатое описание модели. Для исследования данных уравнений предлагается использовать теорию возмущений в форме, реализованной в рамках квантовой теории поля. Для этого описана методика и создан аналитический программный комплекс приведения основного кинетического уравнения к операторной форме в фоковском представлении. Также программный комплекс позволяет создавать фейнмановские диаграммы и получать модельные уравнения из них. В качестве системы символьных вычислений была использована библиотека SymPy.

2. Т.Р.Велиева (Российский университет дружбы народов)

Линеаризация системы с управлением при помощи библиотеки SymPy

Аннотация

Автоколебательные режимы, возникающие в сетях передачи данных имеют негативное влияние на характеристику этих сетей. Для устранения данного явления необходимо определить зоны возникновения автоколебаний, а также определить и проанализировать их параметры. В качестве метода исследования был применён метод гармонической линеаризации. Данный метод известен из теории управления. Однако он мало известен за пределами теории управления и не применялся ранее к задачам такого типа. Метод гармонической линеаризации требует приведение модели к определенному виду. Подготовительным этапом является линеаризация модели системы с управлением. Из-за трудоёмкости задачи была использована система компьютерной алгебры SymPy. С помощью этой системы исследованы разные критерии устойчивости модели (Михайлова, Найквиста–Михайлова, Рауса–Гурвица).


1. E.G.Eferina (Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University))

Implementation of diagram technique for statistical systems in SymPy

Abstract

During development of various methods for randomization of one-step processes the attention was focused on obtaining the stochastic equations in the Langevin's form, since this form is most usual in the construction and study of models of one-step processes. However, the partial differential equations (master equation and the Fokker–Planck equation) can provide richer description of the model to researchers. It is proposed to use a help of perturbation theory in the framework of quantum field theory to study these equations. For this purpose a methodology is introduced and an analytical software framework is constructed to represent the main kinetic equation in the operator form in the terms of Fock representation. Additionally the developed framework allows to generate feynman diagrams and to obtain model equations using them. SymPy library is employed as a symbolic calculations engine.

2. T.R.Velieva (Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University))

Linearization of system with control with help of SymPy

Abstract

The self-oscillation modes arising in data transmission networks have a negative effect on the characteristics of these networks. To eliminate this phenomenon, it is necessary to determine the zones of occurrence of self-oscillations, and also to determine and analyze their parameters. As a method of investigation, the harmonic linearization method was applied. This method is known from control theory. However, it is little known outside the theory of control and has not been applied to problems of this type previously. The method of harmonic linearization requires the reduction of the model to a specific form. The preparatory stage is the linearization of the model of the system with control. Due to the complexity of the task, the computer algebra system SymPy was used. With the help of this system, various criteria for the stability of the model (Mikhailov, Nyquist-Mikhailov, Raus-Hurwitz) have been investigated.

March 1, 2017/1 марта 2017 г.

Slides (Panferov), Extended Abstract (Abramov)

Очередное заседание семинара «Компьютерная алгебра» состоится в среду 1 марта 2017 года в 16:20, в ауд. 713 ВМК:

1. А.А.Панфёров (Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ; Вычислительный центр им. А.А.Дородницына ФИЦ ИУ РАН)

Сателлитные компоненты решений линейных дифференциальных систем с выделенными неизвестными

Аннотация

Пусть K - дифференциальное поле характеристики 0. Рассматривается линейная дифференциальная система S вида y'=Ay, в которой A - квадратная матрица над K порядка n и y - вектор-столбец неизвестных размера n, некоторые компоненты которого являются выделенными. Ранее была представлена концепция сателлитных неизвестных: для непустого множества выделенных неизвестных s невыделенная неизвестная y_j называется сателлитной, если j-я компонента любого решения системы S принадлежит дифференциальному расширению, порожденному K и всеми выделенными компонентами всех решений S. Также для случая, когда K представляет собой поле рациональных функций переменной x над алгебраически замкнутым полем констант, был предложен алгоритм распознавания сателлитных неизвестных. В докладе вводится понятие сателлитных неизвестных по отношению к решениям. В отличии от сателлитных неизвестных, сателлитные по отношению к решениям неизвестные не определяются выделенными компонентами сразу всех решений системы. Невыделенная неизвестная y_j называется сателлитной по отношению к решениям, если j-я компонента любого решения S принадлежит линейному пространству над K, порождённому выделенными компонентами этого решения. Также предлагается алгоритм распознавания сателлитных по отношению к решениям неизвестных и его реализация в Maple.

2. С.А.Абрамов (Вычислительный центр им. А.А.Дородницына ФИЦ ИУ РАН)

Бесконечные ряды как входные данные некоторых алгебраических процедур

Аннотация

Бесконечные ряды играют важную роль в математических исследованиях. Такие ряды могут служить исходными данными в некоторых математических задачах. Чтобы обсуждать соответствующие алгоритмы, надо условиться о представлении бесконечных рядов: входные данные алгоритма всегда являются словами специального вида в некотором алфавите. В докладе обсуждаются два возможных решения проблемы представления степенных рядов. Во-первых, рассматривается алгоритмическое представление. Для ряда пытаемся указать алгоритм, который для данного i вычисляет коэффициент при x^i (допускаются любые детерминированные алгоритмы); каждый такой алгоритм определяет некоторый конструктивный ряд. Во-вторых, рассматривается представление в усеченном, т.е. в приближенном, виде.


1. А.А.Panferov (Department of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow State University; Dorodnicyn Computing Centre, Federal Research Center «Computer Science and Control» of Russian Academy of Science)

Satellite components of solutions to linear differential systems with the selected unknowns

Abstract

Let K be a differential field of characteristic 0. Consider a linear differential system S of the form y'=Ay, where A is a square matrix over K of order n and y is a column vector of unknowns some components of which are selected. Earlier the concept of satellite unknowns was presented: for the nonempty set of selected unknowns s an unselected unknown y_j is called satellite unknown if the j-th component of any solution to S belongs to differential extension generated by K and all selected components of all solutions to S. Also for the case when K is the field of rational functions in x with coefficients from the algebraically closed field of constants the Satellite testing algorithm was presented. In the present work we introduce the concept of sol-satellite unknowns (satellite unknowns w.r.t. solutions). Contrary to satellite unknowns, the definition of sol-satellite unknowns does not concern selected components of all solutions at once. Some unselected unknown y_j is called sol-satellite unknown for the nonempty set of selected unknowns if the j-th component of any solution to S belongs to a linear space over K, that is generated by the selected components of this solution. We present Sol-satellite testing algorithm and its implementation in Maple.

2. S.A.Abramov (Dorodnicyn Computing Centre, Federal Research Center «Computer Science and Control» of Russian Academy of Science)

Infinite series as the input of certain algebraic procedures

Abstract

Infinite power series play an important role in mathematical studies. Those series may appear as inputs for certain mathematical problems. In order to be able to discuss the corresponding algorithms, we must agree on representation of the infinite series (algorithm inputs are always objects, represented by specific finite words in some alphabet). This talk examines two possible solutions to the problem of representation of power series. First, we consider the algorithmic representation. For each series, an algorithm is specified that, given an integer i, finds the coefficient of x^i. Any deterministic algorithms are allowed (any such algorithm defines a so called constructive series). Second, we consider a representation in an approximate form, namely, in a truncated form.

February 15, 2017/15 февраля 2017 г.

Slides (Kulyabov), Slides (Ilchenko)

1. Д.С.Кулябов (Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей, Российский университет дружбы народов, Лаборатория информационных технологий, Объединённый институт ядерных исследований)

От Cadabra к Cadabra II – новые возможности аналитических тензорных вычислений

Аннотация

Среди свободных систем компьютерной алгебры для работы с тензорами выделяется система Cadabra. По удобству интерактивной работы она не имеет равных среди свободных систем тензорной компьютерной алгебры. Но и она не свободна от многих проблем, а именно: манипуляция только с абстрактными индексами, низкая интероперабельность с другими системами компьютерной алгебры, слабая расширяемость самой системы, устаревший пользовательский интерфейс. Однако с выходом новой версии системы – Cadabra II – эти недостатки были устранены. В докладе демонстрируются новые возможности системы Cadabra II на примере задач геометризации Максвелловской оптики.

2. Е.А.Ильченко (Тамбовский государственный университет им. Г.Р.Державина)

Динамическое децентрализованное управление распределенными вычислениями для блочно-рекурсивных алгоритмов в компьютерной алгебре

Аннотация

В докладе рассматривается одна из центральных задач параллельной компьютерной алгебры: организация параллельных вычислений для рекурсивных древовидных алгебраических алгоритмов на вычислительном кластере с распределенной памятью. Примерами таких алгоритмов являются блочный алгоритм умножения матриц, умножение матриц методом Штрассена, обращение матриц алгоритмом Шура-Штрассена, дихотомическое умножение полиномов и алгоритм Карацубы умножения полиномов. Для этих алгоритмов рассматривается несколько схем управления параллельными вычислениями, реализующих концепцию динамического децентрализованного распараллеливания алгоритмов с использованием Message Passing Interface (MPI). Сравнивается эффективность таких схем. На основе разработанной схемы динамического децентрализованного управления создана программная платформа, которая обеспечивает организацию параллельных вычислительний для этого класса алгортмов. Приводятся результаты экспериментов для случая целочисленных матриц, в которых вычисляется ядро матричного оператора и обратная матрица на кластере МВС-10П. Дается сравнительный анализ экспериментов, которые проводились для матриц с целыми коэффициентами и для матриц над конечными полями. Эксперименты демонстрируют хорошую масштабируемость параллельных программ, полученных на данной программной платформе.


1. D.S.Kulyabov (Department of Applied Probability and Informatics, RUDN University (Peoples' Friendship University of Russia), Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research)

From Cadabra to Cadabra II: towards new opportunities of analytical tensor calculus

Abstract

Among the open source computer algebra systems for tensors calculus the Cadabra is a distinguished system. By the convenience of interactive work it has no equal among the open source computer algebra systems tensor. But it is not free from many problems, namely the manipulation only with abstract indices, low interoperability with other computer algebra systems, poor scalability of the system, the outdated user interface. However, with the release of a new version of the system–Cadabra II–these drawbacks have been eliminated. The presentation demonstrates the opportunities Cadabra II system on the example of the problem of geometrization of Maxwellian optics.

2. E.A.Ilchenko (Tambov State University named after G.R.Derzhavin)

Dynamic decentralized control of distributed computing for the block-recursive algorithms in computer algebra

Abstract

We consider one of the central problem of parallel computer algebra. It's a problem of organization of parallel computations for tree-like recursive algebraic algorithms for compute cluster with distributed memory. The block algorithm of matrix multiplication, Strassen method of matrix multiplication, Schur-Strassen algorithm of matrix inversion, polynomial dichotomous multiplication and Karatsuba algorithm of polynomial multiplication are examples of such tree-like recursive algorithms. For such algorithms we suggest several schemes for management of parallel computing processes, which implement the concept of decentralized dynamic parallelization and using the Message Passing Interface (MPI). We compare the effectiveness of such schemes. A software platform was created on the basis of developed algorithms for the dynamic decentralized control scheme. This software platform provides the organization of parallel computing for such class of computer algebra algorithms. We demonstrate the results of experiments at the cluster computer MVS-10P with parallel programs for matrix inversion and for the computation of kernel of the matrix operator over the integer numbers. We give a comparative analysis of the experiments for matrices with integer coefficients and matrices over finite fields. Parallel programs, that was made using the developed program platform, demonstrate a good scalability.

January 18, 2017/18 января 2017 г.

Extended Abstract

И.В.Горючкина (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН)

О свойствах формальных решений алгебраического ОДУ

Аннотация

Рассматриваются алгебраическое обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) и его формальное решение в виде хорошо упорядоченного функционального ряда довольно общего вида. Члены этого формального ряда являются решениями приближенных ОДУ (вообще говоря, алгебраических), которые выделяются из исходного уравнения с помощью многоугольника Ньютона–Брюно. Как правило, начиная с некоторого, все члены этого ряда удовлетворяют линейным неоднородным ОДУ, и к изучению этих линейных уравнений применим классический анализ. Более того, в некоторых случаях приближенные уравнения решаются явно. А в общем случае всегда можно найти их решения в виде формального ряда. В докладе будет описан алгоритм вычислений таких рядов и метод изучения их аналитических свойств. А также в качестве примера будут приведены формальные решения шестого уравнения Пенлеве и сформулированы утверждения об асимптотических и аналитических свойствах этих решений.


I.V.Goryuchkina (Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS)

On properties of formal solutions to an algebraic ODE

Abstract

We consider an algebraic ordinary differential equation (ODE) and its formal solution in the form of a well-ordered functional series of rather general form. The terms of this formal series are solutions of the approximate ODEs (algebraic, in general) which are selected from the initial equation by means of the Newton–Bryuno polygon. Generically, starting with some term, all the terms of this series satisfy linear inhomogeneous ODEs and therefore one can apply classical analysis for studying these linear equations. Moreover, in some particular cases the approximate equations have explicit solutions. In general case, one can always find their formal series solutions. In the talk we will describe an algorithm for calculating such series and a method of studying their analytical properties. Also there will be given examples of the sixth Painleve equation formal solutions and there will be formulated statements on asymptotical and analytical properties of these solutions.

December 28, 2016/28 декабря 2016 г.

Slides

Заседание семинара посвящено памяти Виктора Петровича Иванникова (27.02.1940-27.11.2016).

В.В.Корняк (ЛИТ ОИЯИ, Дубна)

Конструктивный взгляд на квантовую механику: модели, основанные на конечных группах

Аннотация

Траектория квантовой системы – это последовательность унитарных эволюций векторов в гильбертовом пространстве, перемежаемых наблюдениями (измерениями). Наблюдения представляют собой проекции векторов в некоторые подпространства, фиксируемые измерительными приборами. Квантовомеханическое описание можно сделать конструктивным, если заменить общую унитарную группу преобразований гильбертова пространства унитарными представлениями конечных групп. Известно, что любое линейное (= унитарное) представление конечной группы может быть реализовано как подпредставление некоторого перестановочного представления. Таким образом, квантовомеханические проблемы можно сформулировать в терминах групп перестановок. Изучение свойств моделей квантовой механики, основанных на группах перестановок, позволяет прояснить смысл ряда физических концепций. Например: можно естественным образом объяснить появление комплексных чисел в формализме квантовой механики; «принцип наименьшего действия» возникает как континуальная аппроксимация «принципа отбора наиболее вероятных траекторий». Для изучения конкретных физических задач с помощью конечных моделей мы используем системы компьютерной алгебры SymPy и Maple, системы вычислительной теории групп GAP и Magma; а также методы моделирования Монте-Карло.


The session of the seminar was dedicated to the memory of Victor Ivannikov (27.02.1940-27.11.2016).

V.V.Kornyak (LIT JINR, Dubna)

Constructive view of quantum mechanics: models based on finite groups

Abstract

The trajectory of a quantum system is a sequence of unitary evolutions of vectors in a Hilbert space, interspersed with observations (measurements). Observations are projections of vectors in some subspaces, that are specified by measuring devices. Quantum-mechanical description can be made constructive, if you replace the general group of unitary transformations of the Hilbert space by unitary representations of finite groups. It is known that any linear (= unitary) representation of a finite group can be realized as a subrepresentation of some permutation representation. Thus, quantum mechanical problems can be formulated in terms of groups of permutations. The study of the properties of quantum mechanics models based on permutation groups allows us to clarify the meaning of some physical concepts. For example: one can naturally explain the emergence of complex numbers in the formalism of quantum mechanics; «the principle of least action» arises as a continuum approximation of «the principle of selection of the most probable trajectories». To study specific physical problems with the help of the finite models, we use the computer algebra systems SymPy and Maple, the computational group theory software GAP and Magma; as well as the methods of Monte Carlo simulation.

November 23, 2016/23 ноября 2016 г.

Slides

А.Б.Батхин (ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, МФТИ)

Глобальные параметризации одного вещественного многообразия

Аннотация

Рассматривается одно вещественное алгебраическое многообразие в вещественном трёхмерном пространстве, играющее важную роль в изучении нормализованного потока Риччи на обобщённых пространствах Уоллаха, связанных с инвариантными метриками Эйнштейна. Описывается методика получения глобального параметрического представления этого многообразия, состоящая в том, что пересечение этого многообразия с дискриминатным множеством вспомогательного кубического многочлена используется в качестве оси параметризации. Для этого используются методы теории исключений и методы компьютерной алгебры. Получено три различных параметризации многообразия, каждая из которых справедлива вне некоторых критических значений одного из параметров (А.Б.Батхин Глобальные параметризации одной вещественной алгебраической поверхности. Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2016. №76. DOI:10.20948/prepr-2016-76).


A.B.Batkhin (Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow Institute of Physics and Technology)

Global parametrizations of a certain real algebraic variety

Abstract

A certain real algebraic variety in three dimensional real space is considered. This variety plays an important role in the investigation of the normalized Ricci flow on the generalized Wallach spaces. A method for constructing of the global parametric representation of this variety which consists in the fact that the intersection of this variety with discriminant set of an auxiliary cubic polynomial is used as the axis of parameterization. For this purpose the methods of elimination theory and computer algebra methods are used. A parametrization of the discriminant set of a real cubic polynomial is used. Three different parametrizations of the variety are obtained, each valid beyond some critical values of parameters.

October 26, 2016/26 октября 2016 г.

Slides

A.A. Гусев (ЛИТ ОИЯИ, Дубна)

Алгоритмы расчета асимптотик фундаментальных решений самосопряженных систем ОДУ второго порядка

Аннотация

Рассматривается самосопряженная система ОДУ второго порядка на полуоси (или на оси) с матрицами коэффициентов, элементы которых даны в виде разложений по прямым и обратным степеням независимой переменной в окрестностях малых и больших значений независимой переменной, соответственно. Построены системы рекуррентных соотношений для расчета набора фундаментальных решений в виде асимптотических разложений по обратным степеням независимой переменной при больших значениях переменной, используя фундаментальные решения эталонного уравнения (S.I. Vinitsky et al, LNCS 5743, 334 (2009); A.A. Gusev et al, LNCS 6885, 175 (2011)). Построены системы рекуррентных соотношений для расчета набора регулярных линейно независимых решений в виде асимптотических степенных рядов при малых значений переменной (O. Chuluunbaatar et al, Comput. Phys. Commun. 179, 685 (2008)). Системы рекуррентных отношений были получены и реализованы в виде алгоритмов в системе компьютерной алгебры Maple. Вычисленные разложения применяются для формулировки граничных условий третьего рода при редукции на конечный интервал исходных краевых задач (КЗ) для систем ОДУ на полуоси (или оси). Редуцированные КЗ решаются методом конечных элементов (МКЭ) реализованного в виде программы KANTBP на языках Maple и Fortran (A.A. Gusev et al, Comput. Phys. Commun. 185, 33413 (2014)). Граница конечного интервала при больших значениях независимой переменной и число членов асимптотических разложений необходимые для достижения заданной точности решения МКЭ вычисляются используя вронскиан фундаментальных решений.


A.A. Gusev (LIT JINR, Dubna)

Algorithms for Calculations of Asymptotic Expansions of the Fundamental Solutions of the Selfadjoint Systems of ODEs of Second Order

Abstract

We consider selfadjoint system of ODEs of second order on a half axis (or an axis) with elements of the matrix coefficients given in the form of expansions over power and inverse powers of the independent variable in vicinities of small and large values of the variable, respectively. We construct systems of recurrent relations for calculating a set of the fundamental solutions in the form of asymptotic inverse power series in vicinity of large values the variable, using fundamental solutions of an appropriate etalon equation (S.I. Vinitsky et al, LNCS 5743, 334 (2009); A.A. Gusev et al, LNCS 6885, 175 (2011)). We construct systems of recurrent relations for calculating a set of the regular linear independent solutions in the form of asymptotic power series in vicinity of small values of the variable (O. Chuluunbaatar et al, Comput. Phys. Commun. 179, 685 (2008)). The systems of recurrent relations have been derived and implemented as the algorithms in CAS Maple. The calculated expansions are applied in setting of third-type boundary conditions for reduction of boundary values problems (BVPs) for the systems of the ODEs on a half axis (or an axis) in a finite interval to solve the reduced BVPs using of the finite element method (FEM) implemented as the KANTBP programs in both Maple and Fortran (A.A. Gusev et al, Comput. Phys. Commun. 185, 33413 (2014)). Boundary of the finite interval at large values of the variable and number of terms of asymptotic expansion needed to have a prescribed accuracy of the FEM solution are checked in advance by calculation of the Wronskian of the fundamental solutions.

September 14, 2016/14 сентября 2016 г.

Slides

С.В.Парамонов (МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, Москва)

Алгоритмически неразрешимые задачи компьютерной алгебры, связанные с уравнениями в частных производных и разностях

Аннотация

Рассматривается ряд задач, связанных с проверкой существования решений некоторых видов для уравнений в частных производных и разностях с полиномиальными коэффициентами, и доказывается их алгоритмическая неразрешимость. Рассматриваются задачи проверки существования решений в виде рациональных функций и формальных лорановых рядов, задача проверки существования универсального знаменателя. Также доказывается неразрешимость задачи проверки единственности аналитического решения и задачи распознавания существования бесконечно дифференцируемого решения для уравнений в частных производных с граничными условиями.


S.V.Paramonov (MSU, The faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow)

Algorithmically undecidable problems of computer algebra connected with partial differential and difference equations

Abstract

We concider the problems connected with testing the existence of solutions of certain forms for partial linear differential equations with polynomial coefficients and prove algorithmic undecidability of them. We consider the problems of testing the existence of rational function solutions and formal Laurent series solutions, the problem of testing the existence of universal denominator. Also we prove undecidability of problems of testing the uniquenes of analytic solution and of testing the existence of indefinitely differentiable solution for partial differential equation with boundary conditions.

Archive/Архив