Contact Person: Sergei Abramov (sergeyabramov [AT] mail [DOT] ru) / Контактное лицо: Сергей Александрович Абрамов (sergeyabramov [AT] mail [DOT] ru).
| TAKE NOTE! | ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! |
|---|---|
| The III international conference “Mathematical modeling and differential equations”, Brest, Belarus, September 17th-22nd, 2012 | Третья международная научная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения», Брест, Беларусь, 17-22 сентября 2012 г. |
Среда 22 февраля 2012 г. в 16:20, ауд. 780
1. Д.С.Кулябов, А.В.Королькова, М.Н.Геворкян, Л.А.Севастьянов (факультет физико-математических и естественных наук, Российский университет дружбы народов)
Применение симплектических интеграторов для задачи распространения электромагнитных волн
Аннотация
Предлагается для численного решения дифференциальных уравнений использовать методы, сохраняющие структуру решений, а именно, группу методов геометрических интеграторов. Рассматривается метод симплектического интегратора в применении к задачам распространения электромагнитных волн в волноводе. Подробно рассматриваются вспомогательные задачи: запись уравнений Максвелла в криволинейных голономных координатах; получение гамильтониана для уравнений Максвелла.
2. С.А.Абрамов, Д.Е.Хмельнов (Вычислительный центр РАН)
О валюацях мероморфных решений линейных разностных систем произвольного порядка с полиномиальными коэффициентами
Аннотация
Рассматривается несколько алгоритмов получения нижних оценок валюаций (например, порядков полюсов) компонент мероморфных решений разностных линейных систем произвольного порядка с полиномиальными коэффициентами. Наряду с алгоритмами, основанными на идеях, в каком-то виде уже применявшихся в компьютерной алгебре при работе с нормальными разностными системами первого порядка, предлагается новый алгоритм, использующий «тропические» вычисления. Показывается, что последний алгоритм, обеспечивая хорошую точность оценок, является при этом и достаточно быстрым.
Wednesday, February 22nd, at 16:20, room 780:
1. D.S.Kulyabov, A.V.Korolkova, M.N.Gevorkyan, L.A.Sevastianov (Department of Physics, Mathematics and Natural Sciences, Peoples' Friendship University)
Symplectic integrators and the problem of propagation of electromagnetic waves
Abstract
For the numerical solving differential equations structure-preserving algorithms are proposed, namely, a kind of geometric integrators algorithms. The symplectic integrators method applied to the problem of electromagnetic wave propagation. Detailed discussion of the auxiliary problem: write Maxwell's equations in curvilinear coordinates; obtaining the Hamiltonian for the Maxwell equations.
2. S.A.Abramov, D.E.Khmelnov (Computing Centre of the Russian Academy of Sciences)
On valuations of meromorphic solutions of arbitrary-order linear difference systems with polynomial coefficients
Abstract
Algorithms for computing lower bounds on valuations (e.g., orders of the poles) of the components of meromorphic solutions of arbitrary-order linear difference systems with polynomial coefficients are considered. In addition to algorithms based on ideas which have been already utilized in computer algebra for treating normal first-order systems, a new algorithm using ``tropical'' calculations is proposed. It is shown that the latter algorithm is rather fast, and produces the bounds with good accuracy.
А.Б.Батхин (Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша)
Точные решения шестого уравнения Пенлеве
Аннотация
Уравнения Пенлеве играют важную роль в математической физике и имеют многочисленные применения. Для приложений важным является знание точных решений уравнений Пенлеве для определенных значений параметров, входящих в уравнение. Предлагается метод построения точных решений шестого уравнения Пенлеве (PVI) в виде конечных сумм степенных функций с рациональными показателями степени. Метод существенно использует алгоритмы степенной геометрии для построения степенных разложений решений обыкновенного дифференциального уравнения и алгоритмы компьютерной алгебры.
A.B.Batkhin (Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS)
The exact solutions to the six Painleve equation
Abstract
Painleve equations play an important role in mathematical physics, and have numerous applications. For applications it is important to know the exact solutions to the Painleve equations of the certain values of the parameters in the equation. We propose a method for constructing exact solutions of the sixth Painleve equation (PVI) in the form of finite sums of power functions with rational power exponents. The method essentially uses the algorithms of Power Geometry for the construction of power series solutions of ordinary differential equation and algorithms of computer algebra.
Slides (Smirnov) Slides (Tsarev)
1. А.В.Смирнов (Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ)
Алгоритмы вычисления фейнмановских интегралов
Аннотация
Фейнмановские интегралы являются фундаментальными величинам при построении квантово-полевых амплитуд в рамках теории возмущений, в частности, они возникают при вычислениях в рамках Стандартной Модели физики элементарных частиц. На современном уровне исследований в конкретной задаче может требоваться вычисление миллионов интегралов Фейнмана, что, естественно, невозможно без разработки и применения алгоритмов на современных компьютеров. Согласно классическому подходу, задача вычисления фейнмановских интегралов распадается на их редукцию к относительно небольшому числу мастер-интегралов и вычисление последних. Автором были разработаны алгоритмы, применяющиеся как при редукции, так и вычислении фейнмановских интегралов. Алгоритм редукции относится к области решения очень больших рассеянных систем линейных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Алгоритм вычисления представляет собой алгебраическое упрощение выражений, выделение особенностей и последующее численное интегрирование. Оба алгоритма будут описаны в докладе.
2. С.П.Царев (Сибирский Федеральный Университет, Красноярск)
О структуре решетки правых делителей линейного обыкновенного дифференциального оператора
Аннотация
В 1996 г. автором был предложен алгоритм полного перечисления всех возможных факторизаций заданного линейного обыкновенного дифференциального оператора (ЛОДО) на неприводимые множители над полем рациональных функций. К сожалению, полное описание всех возможных структур, выдаваемых данным алгоритмом, до сих пор неизвестно. В докладе будут изложены недавние результаты о структуре всех возможных факторизаций заданного ЛОДО над произвольным дифференциальным полем коэффициентов. Удобным алгебраическим инструментом для этого описания является теория модулярных решеток.
1. A.V.Smirnov (Scientific research computing center, MSU)
The algorithms used to evaluate Feynman integrals
Abstract
Feynman integrals are fundamental objects used to represent quantum field theoretical amplitudes in the framework of perturbation theory, particularly they appear in calculations in the framework of the Standard Model in particle field theory. Currently for a give problem one might require to evaluate millions of Feynman integrals, which is of course impossible without developing proper computer algorithms. A classical approach is to decompose the evaluation of integrals into two tasks. First of all, one has to reduce (without evaluating) all integrals to a small number of so-called master integrals, then one has to evaluate the remaining ones. The speaker has developed algorithms contributing to both of these problems. The reduction algorithm is relating to solving huge systems of linear equations with polynomial coefficients. The evaluation algorithm consists of algebraic transformations of given expressions, resolution of singularities and numerical integration. Both algorithms will be presented in this talk.
2. S.P.Tsarev (Siberian Federal University, Krsanoyarsk)
Structure of the lattice of right divisors of a linear ordinary differential operator
Abstract
Since 1996 an algorithm for complete enumeration of all factorizations of a given linear ordinary differential operator (LODO) into irreducible factors over the field of rational functions is known. Unfortunately the complete description of possible structures of such factorizations is yet unknown. We expose recent results on such structures for LODOs with coefficients in any differential field. A very useful algebraic tool for the description of appearing factorization structures is given by the theory of modular lattices.
А.А.Михалев (Механико-математический факультет, Московский государственный университет)
Примитивные элементы свободных алгебр
Аннотация
Многообразие линейных алгебр над полем называется шрайеровым, если любая подалгебра свободной алгебры этого многообразия является свободной. Многообразие всех алгебр, многообразие всех коммутативных алгебр, многообразие всех антикоммутативных алгебр, многообразие всех алгебр Ли, многообразие всех супералгебр Ли, многообразия всех p-алгебр Ли и всех p-супералгебр Ли являются основными типами шрайеровых многообразий алгебр.
Пусть A(X) – свободная алгебра шрайерового многообразия алгебр с множеством X свободных образующих. Система элементов u1,…, un алгебры A(X) называется примитивной, если существует множество Y свободных образующих алгебры A(X), содержащее элементы u1,…, un.
Для свободных алгебр основных типов шрайеровых многообразий алгебр построены и реализованы алгоритмы распознавания примитивных систем элементов, а также алгоритмы дополнения примитивных систем элементов до свободных порождающих множеств.
Доклад основан на совместных работах автора с К.Шампаньер, А.А.Чеповским, А.В.Михалевым, И.П.Шестаковым, У.У.Умирбаевым, Дж.Ю, А.А.Золотых.
A.A.Mikhalev (Faculty of Mechanics and Mathematics, Moscow State University, Russia)
Primitive elements of free algebras
Abstract
A variety of linear algebras over a field is said to be Schreier if any subalgebra of a free algebra of this variety is free. The variety of all algebras, the variety of all commutative algebras, the variety of all anti-commutative algebras, the variety of all Lie algebras, the variety of all Lie superalgebras, varieties of all Lie p-algebras and Lie p-superalgebras are the main types of Schreier varieties of algebras.
Let A(X) be the free algebra of a Schreier variety of algebras with the set X of free generators. A system of elements u1,…, un of A(X) is primitive if there is a set Y of free generators of the free algebra A(X) such that u1,…, un belong to Y.
Algorithms to recognize primitive systems of elements of free algebras of the main types of Schreier varieties of algebras are constructed and implemented. We obtain also algorithms to construct complements of primitive systems of elements with respect to free generating sets.
This talk is based on joint works with C.Champagnier, A.A.Chepovskii, A.V.Klimakov, A.V.Mikhalev, I.P.Shestakov, U.U.Umirbaev, J.-T.Yu, and A.A.Zolotykh.
В.В. Корняк (Лаборатория информационных технологий, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна)
Вычислительная терия групп и квантовая физика
Аннотация
Вычислительная теория групп - это подраздел символьной алгебры. Она изучает конечные (или конечно-представленные) группы конструктивными алгоритмическими методами. Имея в виду физические приложения, мы всегда можем предполагать конечность всех элементов описания: введение континуума или других бесконечностей в физику приводит только к техническим усложнениям без какой-либо необходимости в них для описания эмпирических данных. Более того, имеются веские экспериментальные свидетельства (главным образом из нейтринной физики) того, что конечные группы относительно небольших порядков лежат в основе некоторых фундаментальных физических процессов. В более общем контексте конечные группы и их представления над конструктивными числовыми системами ведут к очень простому и естественному переформулированию квантовой механики. Мы кратко обсуждаем алгоритмы, необходимые для построения «конечной» квантовой механики.
V. V. Kornyak (Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research, Dubna)
Computational Group Theory and Quantum Physics.
Abstract
Computational group theory is a subfield of symbolic algebra. It studies finite (or finitely presented) groups by constructive algorithmic methods. Having in view physical applications, we can always assume finiteness of all elements of description: introduction of continuum or other infinities into physics leads only to technical complications without any need for them in description of empirical data. Moreover, there are strong experimental evidences (coming mainly from the neutrino physics) that finite groups of relatively small orders underlie some fundamental physical processes. In the more general context, the finite groups and their representations over constructive number systems lead to very simple and natural reformulation of quantum mechanics. We discuss briefly the algorithms needed for construction of the «finite» quantum mechanics.
В.П.Гердт (Лаборатория информационных технологий, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна)
Анализ аппроксимируемости систем уравнений в частных производных конечными разностями
Аннотация
В докладе рассматриваются конечно-разностные аппроксимации полиномиально-нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, коэффициенты которых являются рациональными функциями от независимых переменных. Общепринятое понятие (слабой) аппроксимации исходных уравнений сопоставляется с понятием сильной аппроксимации, введенным ранее автором для линейных дифференциальных систем и обобщенным недавно на нелинейные системы. Для ортогональных и равномерных сеток предлагается алгоритмическая процедура проверки сильной аппроксимируемости методами компьютерной алгебры, основанная на приведении в инволюцию исходной дифференциальной системы и построении разностного стандартного базиса для рассматриваемой аппроксимации. В качестве примеров изучаются конечно-разностные аппроксимации некоторых переопределенных линейных дифференциальных систем и две различные аппроксимации для двумерных нелинейных уравнений Навье-Стокса. Предлагаемая в докладе алгоритмическая процедура устанавливает, что одна из этих двух аппроксимаций является сильной, а другая нет.
V.P.Gerdt (Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research, Dubna)
Consistency Analysis of Finite Difference Approximations to Systems of Partial Differential Equations
Abstract
In the given talk we consider finite difference approximations (FDA) to systems of polynomially-nonlinear partial differential equations (PDEs) whose coefficients are rational functions over rationals in the independent variables. We confront the conventional notion of (weak) consistency of FDAs with the notion of strong consistency which we introduced earlier for linear PDE systems and extended recently to nonlinear equations. For orthogonal and uniform grids we describe an algorithmic procedure for verification of strong consistency by sing computer algebra methods based on completion of the initial differential system to involution and computation of a difference standard basis for its approximation. The concepts and algorithmic methods of the present paper are to be illustrated by FDAs to some linear overdetermined PDE systems and by two FDAs to the two-dimensional nonlinear Navier-Stokes equations. One of these last approximations is strongly consistent and another is not.