Seminar on Computer Algebra, CMC faculty of MSU & CCAS / Cеминар «Компьютерная алгебра» факультета ВМК МГУ и ВЦ РАН

Contact Person: Sergei Abramov (sergeyabramov [AT] mail [DOT] ru) / Контактное лицо: Сергей Александрович Абрамов (sergeyabramov [AT] mail [DOT] ru).

Computer algebra seminar of Limoges University, France

Next meeting/Следующее заседание

Очередное заседание семинара состоится в среду 20 апреля 2016 года в 16:20, ауд. 713 ВМК.

Slides (Sadykov)

1. Г.Погудин (МГУ, механико-математический факультет)

Дифференциальный аналог теоремы о примитивном элементе.

Аннотация

В 1942 году Э. Колчин доказал следующую дифференциальную версию классической теоремы о примитивном элементе.

Пусть дифференциальное поле E конечно порождено над дифференциальным полем F, всякий элемент из E удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнения с коэффицентами из F, и F содержит неконстанту. Тогда E над F можно породить одним элементом.

Вопрос о том, верна ли эта теорема, если F состоит из констант, а E содержит неконстанту, был долгое время открыт и только недавно решен положительно. В докладе будет рассказано, почему этот случай интересен, в чем его отличие от теоремы Колчина.

Кроме того, планируется изложить план доказательства с акцентом на способ найти примитивный элемент алгоритмически.

2. Т.М.Садыков (РЭУ им. Г.В.Плеханова, Москва)

Алгоритмы вычисления полиномиальных решений гипергеометрических систем уравнений в частных производных.

Аннотация

Конструктивное решение вопроса о существовании нетривиального полиномиального решения линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных представляет собой задачу высокой вычислительной сложности. В докладе будет представлен пакет процедур в среде Wolfram Mathematica для вычисления решений гипергеометрических систем уравнений в классе многочленов Пюизо и анализа их свойств. Особое внимание будет уделено описанию тропико-геометрических свойств нулей полиномиальных решений резонансных систем уравнений.


The next meeting of the seminar will be on Wednesday, April 20th, 2016 at 16:20, room 713 of CMC faculty.

1. G.Pogudin (MSU, faculty of mechanics and mathematics)

Differential analogue of the Primitive Element theorem.

Abstract

In 1942 E. Kolchin obtained the following differential analogue of the Primitive Element theorem.

Let E be a finitely generated differential field extension of a differential field F. Assume that every element of E satisfies an algebraic differential equation over F and F contains a nonconstant element. Then, there exists a in E such that E is generated by a and F.

It was unknown for several decades if the theorem holds in the case when F consists of constants and E contains a nonconstant element. Recently, this question was answered affirmatively. In my talk I am going to explain why this question is important and what is the difference between this problem and Kolchin’s theorem. Also I an going to sketch the proof in order to give an idea how to compute a primitive element.

2. T.M.Sadykov (Plekhanov Russian Uiversity, Moscow)

Algorithmic computation of polynomial solutions to hypergeometric systems of partial differential equations.

Abstract

To find out whether a linear system of partial differential equations admits a nontrivial polynomial solution is a task of formidable computational complexity. In the talk, a Wolfram Mathematica based package for the computation of Puiseux polynomial solutions to hypergeometric systems will be presented and used to analyze properties of such polynomials. Particular attention will be paid to the description of the tropical-geometric properties of the zero loci of solutions to resonant systems of equations.

Previous meetings/Предыдущие заседания

February 24th, 2016/24 февраля 2016 г.

Extended abstract

Р.Р.Гонцов (ИППИ РАН)

Теорема Майе для обобщенных степенных рядов.

Аннотация

Классическая теорема Майе (1903) описывает рост коэффициентов степенного ряда, формально удовлетворяющего ОДУ. Впоследствии она уточнялась Рамисом, Мальгранжем, Сибуйей. В докладе предлагается обобщение этой теоремы для степенного ряда с комплексными показателями степени (обобщенного степенного ряда), формально удовлетворяющего алгебраическому ОДУ. Планируется изложить некоторые примеры, а также предложить вопросы для дальнейших исследований.


R.R.Gontsov (IITP RAS)

A Maillet type theorem for generalized power series.

Abstract

The classical Maillet theorem (1903) describes the growth of the coefficients of a formal power series solution to an ODE. Subsequently, this theorem was refined by Ramis, Malgrange, Sibuya. In the talk there is proposed a generalization of this theorem for a power series with complex power exponents (a generalized power series) formally satisfying an algebraic ODE. We plan to present some examples as well as problems for further research.

January 27th, 2016/27 января 2016 г.

Slides (Panferov), Slides (Paramonov)

1. А.А.Панфёров (МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, Москва)

Линейные дифференциально-алгебраические системы с выделенными неизвестными.

Аннотация

Рассматриваются линейные дифференциально-алгебраические системы, некоторые компоненты вектора неизвестных которых являются выделенными. Предлагаемый алгоритм ExtrAB для имеющей полный ранг линейной дифференциальной системы S вида A_1y'+A_0y=0 (где A_1,A_0 - матрицы над дифференциальным полем K характеристики 0) позволяет получить нормальную дифференциальную систему S_d (т.е. систему, имеющую вид ŷ'=Aŷ), неизвестными которой является часть выделенных неизвестных исходной системы и~некоторые их производные, а также алгебраическую систему S_a, из которой остальные выделенные неизвестные линейно выражаются над K только через выделенные неизвестные, входящие в S_d. Получаемые системы S_d и S_a таковы, что при рассмотрении решений с компонентами, принадлежащими произвольному расширению исходного дифференциального поля K, проекция пространства решений исходной системы на выделенные неизвестные совпадает с проекцией на выделенные неизвестные пространства решений систем S_d, S_a. При этом если система S_d имеет решение, выделенные компоненты которого принадлежат некоторому дифференциальному расширению K, то и остальные компоненты этого решения также принадлежат этому расширению. Размеры получаемых алгоритмом ExtrAB систем S_d и S_a являются минимально возможными.

Алгоритм реализован в среде Maple.

2. С.В.Парамонов (МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, Москва)

О некоторых алгоритмически неразрешимых задачах, связанных с дифференциальными уравнениями в частных производных .

Аннотация

Рассматриваются задачи распознавания существования решений некоторых видов для дифференциальных уравнений в частных производных с полиномиальными коэффициентами. Доказывается неразрешимость таких задач для решений в виде рациональных функций (этот результат справедлив и для разностых уравнений) и формальных лорановых рядов. Также доказывается неразрешимость задачи проверки единственности аналитического решения и задачи распознавания существования бесконечно дифференцируемого решения для уравнений в частных производных с граничными условиями.


1. A.A.Panferov (MSU, The faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow)

Linear differential-algebraic systems with selected unknowns.

Abstract

We consider the linear differential-algebraic systems some components of the unknowns vector of witch are selected. We present the ExtrAB algorithm that for the full rank linear differential system S of the form A_1y'+A_0y=0 (where A_1,A_0 are matrices above the differential field K of characteristic 0) make it possible to get the normal differential system S_d (i.e. the system of the form ŷ'=Aŷ), witch unknowns are the part of the selected unknowns of the original system and some of their derivatives, and also the algebraic system S_a, by means of witch the other selected unknowns can be linearly expressed above K only through the selected unknowns from S_d. The obtained systems S_d and S_a are such that if we will regard the solutions with components from arbitrary extension of the original differential field K the projection of the initial system solution space onto the selected unknowns is the same as the projection onto the selected unknowns of the solution space of S_d, S_a. Furthermore if the system S_d has a solution, witch selected components belong to some differential extension of K, then all other components of this solution also belong to the same extension. The sizes of the systems S_d and S_a obtained by ExtrAB are as minimal as possible.

The algorithm is implemented in Maple.

2. S.V.Paramonov (MSU, The faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow)

On some algorithmically undecidable problems connected with partial differential equations.

Abstract

We concider the problems of testing the existence of solutions of certin forms for partial linear differential equations with polynomial coefficients. We prove undecidability of such problems for rational function solutions (this result holds also for difference equations) and for formal Laurent series solutions. Also we prove undecidability of problems of testing the uniquenes of analytic solution and of testing the existence of indefinitely differentiable solution for partial differential equation with boundary conditions.

December 30th, 2015/30 декабря 2015 г.

Slides (Gusev et al.), Slides (Ovchinnikov)

1. А.А.Гусев, В.П Гердт, О.Чулуунбаатар, С.И.Виницкий (ОИЯИ, Дубна)

Комплекс символьно-численных алгоритмов и программ для решения краевых задач.

Аннотация

В докладе будет дан обзор цикла работ по созданию символьно-численных алгоритмов и комплекса программ в среде Maple-Fortran для решения краевых многомерных задач шредингеровского типа в конечной области многомерного конфигурационного пространства. В качестве базового метода нами использовался метод, предложенный советским математиком, нобелевским лауреатом (1975 г.) Л.В. Канторовичем в 1934 году для численного решения краевых двумерных задач эллиптического типа сведением к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Представленные в докладе программы включают шесть программ, входящих в библиотеку программ журнала Computer Physics Communications и одну программу из библиотеки JINRLIB.

2. А.И.Овчинников (Университет города Нью-Йорк)

Символьные вычисление и уравнения с частными производными.

Аннотация

Мы обсудим оценки снизу и сверху для эффективной теоремы Гильберта о нулях для систем полиномиальных уравнений с частными производными. Оценивается число применений операций дифференцирования к системе таких уравнений, достаточное для проведения проверки совместности системы чисто алгебраическим способом. Оценка является функцией от степени и порядка уравнений системы и от числа зависимых и независимых переменных. Эту задачу поставил Зайденберг в 1956 году. Первая общаяШ оценка в явном виде появилась в 2009 году и выражалась через функцию Аккермана. Первую явную оценку для обыкновенных уравнений получил Григорьев в 1989 году. Эта оценка для обыкновенных уравнений, но с постоянными коэффициентами, была улучшена в 2014 году. Наш результат не имеет таких ограничений.


1. A.A.Gusev, V.P. Gerdt, O.Chuluunbaatar, S.I.Vinitsky (JINR, Dubna)

Complex of algorithms and programs to solve boundary-value problems.

Abstract

A series of research works on design of symbolic-numerical algorithms and their implementation in a Maple-Fortran environment for solving boundary-value problems of the Schrödinger type in a finite domain of multidimensional configuration space will be presented. The main ingredient of the algorithm is the method proposed by the Soviet mathematician (Nobel prize, 1975) L.V. Kantorovich in 1934 for the numerical solution of boundary-value two-dimensional problems of elliptic type by reducing them to a system of the ordinary differential equations. From the programs to be presented, six programs have been included in the Program Library of the journal Computer Physics Communications and one program in the JINRLIB library.

2. A.I.Ovchinnikov (City University of New York)

Symbolic Compuation and Partial Differential Equations.

Abstract

We will discuss upper and lower bounds for the effective Nullstellensatz for systems of polynomial PDEs. These are uniform bounds for the number of differentiations to be applied to all equations of a system o.f PDEs in order to discover algebraically whether it is consistent. The bounds are functions of the degrees and orders of the equations of the system and the numbers of dependent and independent variables in them. Seidenberg was the first to address this problem in 1956. The first explicit bounds appeared in 2009, with the upper bound expressed in terms of the Ackermann function. In the case of one derivation, the first explicit bound is due to Grigoriev (1989). In 2014, another bound was obtained if restricted to the case of one derivation and constant coefficients. Our new result does not have these restrictions.

December 16th, 2015/16 декабря 2015 г.

Slides

А.Д.Брюно (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша)

Вычисление наилучших диофантовых приближений и основных единиц алгебраических полей.

Аннотация

Пусть в вещественном nnn-мерном пространстве n={X}superscriptnX\mathbb{R}^{n}=\{X\} задано mmm однородных вещественных форм fi(X)subscriptfiXf_{i}(X), i=1,,mi1normal-…mi=1,\ldots,m, 2mn2mn2\leqslant m\leqslant n. Выпуклая оболочка множества точек G(X)=(|f1(X)|,,|fm(X)|)GXsubscriptf1Xnormal-…subscriptfmXG(X)=\left(|f_{1}(X)|,\ldots,|f_{m}(X)|\right) для целочисленных XnXsuperscriptnX\in\mathbb{Z}^{n} во многих случаях является выпуклым многогранным множеством, граница которого для ||X||<constnormXconst||X||<\mathrm{const} вычисляется с помощью стандартной программы. Граничные точки G(X)GXG(X), т. е. лежащие на этой границе, соответствуют наилучшим диофантовым приближениям XXX для указанных форм. Это дает глобальное обобщение цепной дроби. Для n=3n3n=3 обобщить цепную дробь безуспешно пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Брун, Арнольд и многие другие.

Пусть p(ξ)pξp(\xi) — целый неприводимый в \mathbb{Q} многочлен степени nnn и λλ\lambda — его корень. Набор основных единиц кольца [λ]delimited-[]λ\mathbb{Z}[\lambda] можно вычислить по граничным точкам некоторой совокупности линейных и квадратичных форм, построенных по корням многочлена p(ξ)pξp(\xi). Аналогично вычисляется набор фундаментальных единиц поля (λ)λ\mathbb{Q}(\lambda). До сих пор эти единицы вычислялись только для n=2n2n=2 (с помощью обычных цепных дробей) и n=3n3n=3 (с помощью алгоритма Вороного).

Наш подход обобщает цепную дробь, дает наилучшие совместные приближения и основные единицы алгебраических полей для любого nnn.


A.D.Bruno (Keldysh Institute of Applied Mathematics)

Computation of the best Diophantine approximations and of the fundamental units of the algebraic fields

Abstract

Let in the real nnn-dimensional space n={X}superscriptnX\mathbb{R}^{n}=\{X\} be given mmm real homogeneous forms fi(X)subscriptfiXf_{i}(X), i=1,,mi1normal-…mi=1,\ldots,m, 2mn2mn2\leqslant m\leqslant n. The convex hull of the set of points G(X)=(|f1(X)|,,|fm(X)|)GXsubscriptf1Xnormal-…subscriptfmXG(X)=(|f_{1}(X)|,\ldots,|f_{m}(X)|) for integer XnXsuperscriptnX\in\mathbb{Z}^{n} in many cases is a convex polyhedral set. Its boundary for ||X||<constnormXconst||X||<\mathrm{const} can be computed by means of the standard program. Boundary points G(X)GXG(X), i. e. lying on the boundary, corrrespond to the best Diophantine approximations XXX for the given forms. That gives the global generalization of the continued fraction. For n=3n3n=3 Euler, Jacobi, Dirichlet, Hermite, Poincaré, Hurwitz, Klein, Minkowski, Brun, Arnold and a lot of others tried to generalize the continued fraction, but without a succes.

Let p(ξ)pξp(\xi) be an integer real irreducible in \mathbb{Q} polynomial of the order nnn and λλ\lambda be its root. The set of fundamental units of the ring [λ]delimited-[]λ\mathbb{Z}[\lambda] can be computed using boundary points of some set of linear and quadratic forms, constructed by means of the roots of the polynomial p(ξ)pξp(\xi). Similary one can compute a set of fundamental units of the field (λ)λ\mathbb{Q}(\lambda). Up today such sets of units were computed only for n=2n2n=2 (using usual continued fractions) and n=3n3n=3 (using the Voronoi algorithm).

Our approach generalizes the continued fraction, gives the best Diophantine approximations and fundamental units of algebraic fields for any nnn.

November 18th, 2015/18 ноября 2015 г.

Slides (Malaschonok - 1.), Slides (Lyakhov - 2.), Slides (Lyakhov - 3.)

1. Г.И.Малашонок (Тамбовский государственный университет)

Облачный математический сервис «Math Partner».

Аннотация

Мы приводим общие характеристики облачного математического сервиса MathPartner, который теперь свободно доступен на технологической платформе программы «Университетский Кластер» (http://unihub.ru). Он позволяет использовать масштабные математические объекты, которые хранятся на жестком диске, обеспечивает ввод и вывод результатов в файлы пользователя. Он предоставляет возможность проводить вычисления не только на сервере, но и на вычислительном кластере. Мы выделяем его основные отличия от других систем символьно-численных вычислений, описываем элементы синтаксиса и сервис пользователя.

2. Д.Мичелс (Стэнфорд, США), Д.Ляхов (НАНБ, Минск), В.Гердт (ОИЯИ, Дубна), Г.Соботтка и А.Вебер (Бонн, Германия)

Частные аналитические решения системы Кирхгофа.

Аннотация

Представлен символьно-численный алгоритм для решения системы Кирхгофа, которая описывает динамику упругого стержня и учитывает сдвиг, изгиб и кручение. Метод основан на получении точного решения подсистемы системы Кирхгофа. Представлены примеры моделирования в 2-мерном и 3-мерном случаях.

3. Д.Ляхов (НАНБ, Минск), В.Гердт (ОИЯИ, Дубна)

Линеаризация скалярного дифференциального уравнения.

Аннотация

Представлен алгоритм, реализованный в системе компьютерной алгебры Maple в виде скрипта для линеаризации обыкновенного скалярного дифференциального уравнения. Тест-линеаризация полностью алгоритмична. Алгоритм основан на двух разных концепциях: прямая процедура Ли и анализ симметрий ОДУ. В сравнении с другими результатами мы не делаем никаких ограничений на порядок ОДУ.


1. G.I.Malasсhonok (Tambov State University)

Cloud mathematical service «Math Partner»

Abstract

We present the general characteristics of the cloud mathematical service MathPartner, which is now freely available on the technology platform of the program «University Cluster» (http://unihub.ru). This service allows you to use of large-scale mathematical objects that are stored on your hard disk, provides input and output results in the user's files. It provides the ability to perform calculations not only on the server but also on a computing cluster. We highlight its main difference from other systems of symbolic-numerical computations, describe the syntax elements and the services for users.

2. D.Michels (Stanford, USA), D.Lyakhov (NASB, Minsk), V.Gerdt (JINR, Dubna), G.Sobottka and A.Weber (Bonn, Germany)

Partial analytical solution of the Kirchhoff equation.

Abstract

We present symbolic-numerical method for solution of the Kirchhoff system, that describes spatiotemporal evolution of elastic rod and takes into account its bending, twisting and longitudinal dilation deformation. The method is based on general analytical solution of subsystem of the Kirchhoff system. Some examples of simulation in 2D and 3D cases are presented.

3. D.Lyakhov (NASB, Minsk), V.Gerdt (JINR, Dubna)

Linearization of scalar ordinary differential equation.

Abstract

We present the algorithm and script on Maple for linearization of scalar ordinary differential equation. Test-linearization is purely algorithmic. Algorithm is based on two different concepts: direct Lie procedure and analysis of symmetry algebra of ODE. In comparison with other results we do not make any restrictions on the order of differential equations.

October 28th, 2015/28 октября 2015 г.

Sides

А.А.Гусев, Л.Ле Хай, О.Чулуунбаатар, С.И.Виницкий (ОИЯИ, Дубна)

Алгоритм решения краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Аннотация

Представлен алгоритм, реализованный в системе компьютерной алгебры MAPLE в виде программы KANTBP 4M, для решения краевых задач, таких как задача на собственные значения или рассеяния для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с непрерывными или кусочно-непрерывными вещественными или комплексными коэффициентами. Дискретизация краевой задачи реализована методом конечных элементов с интерполяционными полиномами Эрмита, сохраняющими непрерывность производных искомого решения [A.A. Gusev et al, Lecture Notes in Computer Science 8660, 138-154 (2014)]. Для вычисления метастабильных состояний с комплексными собственными значениями энергии, или для решения задачи на связанные состояния с граничными условиями, зависящими от спектрального параметра, реализована ньютоновская итерационная схема [A.A. Gusev et al, Lecture Notes in Computer Science 9301, 182–197 (2015)].


A.A.Gusev, L.Le Hai, O.Chuluunbaatar, S.I.Vinitsky (JINR, Dubna)

Algorithm for solving boundary problems of the system of ordinary second order differential equations.

Abstract

We present the algorithm and program KANTBP 4M implemented in the computer algebra system MAPLE for solutions of boundary-value problems, such as eigenvalue or scattering problems for the system of ordinary differential equations of the second order with continuous or piecewise continuous real- or complex-valued coefficients. Discretization of the boundary problems is implemented by the finite element method with the interpolation Hermite polynomials preserves the property of continuity of derivatives of the desired solutions [A.A. Gusev et al, Lecture Notes in Computer Science 8660, 138-154 (2014)]. For the calculation of metastable states with complex eigenvalues of energy, or to solve the problem for bound states with boundary conditions, depending on the spectral parameter, the Newtonian iteration scheme is implemented [A.A. Gusev et al, Lecture Notes in Computer Science 9301, 182-197 (2015)].

September 23rd, 2015/23 сентября 2015 г.

Slides (Malykh), Slides (Eferina et al.)

1. М.Д.Малых (МГУ)

О разностных схемах, задающих (n,n)-соответствия между слоями.

Аннотация

В Стокгольмских лекциях на примере уравнений 1-го и 2-го порядков Пенлеве указал на свойство, общее всем дифференциальным уравнениям, разрешимых в элементарных, алгебраических и абелевых функциях: общее решение таких уравнений зависит от константы интегрирования алгебраически. Таким образом, наложив алгебраическое условие на общее решение, мы можем выделить класс общеупотрибимых трансцендентных функций. В нашем прошлом докладе это утверждение было вписано в круг идей теории Галуа, при этом получилась версия этой теории, в которой изначально список допустимых операций не фиксирован.

Сопоставление этой идеи с методом конченых разностей выделяет на класс дифференциальных уравнений y'=f(x,y), для которых возможно составить разностную схему, задающую алгебраическое (n,n)-соответствие между слоями. Такие схемы примечательны тем, что они верно описывают подвижные особые точки решений. В докладе будут даны примеры.

Обобщение этой идеи на случай уравнения вида F(x,y,y')=0 подразумевает вычислений группы автоморфизмов кривой рода p>1. В докладе будет предложен алгоритм вычисления автоморфизмов заданной алгебраической кривой рода p>1 и приведены примеры его применения. Прием основан на одной конструкции, использованной в редко цитируемой работе Гурвица 1887 г.

2. Е.Г.Еферина, А.В.Королькова, Д.С.Кулябов, Л.А.Севастьянов (Российский университет дружбы народов)

Применение предметно-ориентированных систем компьютерной алгебры при моделировании марковских процессов.

Аннотация

В процессе математического моделирования можно выделить стадии разработки модели и стадии её реализации. Эти стадии достаточно сильно отличаются друг от друга. Разнится и используемый инструментарий. Авторы на протяжении долгого времени занимались моделированием марковских процессов с использованием систем компьютерной алгебры. В процессе разработки использовалось несколько универсальных пакетов компьютерной алгебры. Но на стадии реализации комплекса программ была выявлена неудовлетворительность универсальных пакетов. В докладе приводятся требования к системе компьютерной алгебры, возникшие в процессе разработки комплекса программ, и обосновывается выбор предметно-ориентированной системы FORM.


1. M.D.Malykh (MSU)

On the difference schemes setting (n,n)-correspondence between layers.

Abstract

In the Stockholm lectures (1897) Painleve gave on the example of the equations of the 1st and 2nd order property which is common for all differential equations, solvable in elementary, special and abelian functions: the general solutions of these equations depend on integration constants algebraically. Thus, if we record algebraic properties of the general solution, we can allocate a class of all-usable transcendental functions. In our last report this statement was inscribed in a circle of ideas of the theory of Galois: the version of this theory was offered, in which the list of all-usable transcendental operations isn't fixed.

Association of this idea with the finite difference method point out a class of the differential equations y'=f(x,y) for which it is possible to write the difference schemes setting algebraic (n,n)-correspondence between layers. These schemes are remarkable that they correctly describe singularity. In the report examples will be given.

Generalization of this idea on a case of the equation F(x,y,y')=0 means calculation of automorphism group for a given curve of genus p>1. In the report an algorithm for computing the automorphisms for a given algebraic curve of genus p>1 is offered, same examples of its application are given. Method is based on a construction used in seldom quoted articles by Hurwitz, 1887.

2. E.G.Eferina, A.V.Korolkova, D.S.Kulyabov, L.A.Sevastyanov (Peoples’ Friendship University of Russia)

Use of Domain-specific Computer Algebra Systems in the Simulation of Markov Processes.

Abstract

The process of mathematical modeling can be divided into the stage of the model development stage and its implementation. These stages are quite different from each other. And different tools used at each stage. Authors are for a long time to carry out simulation of Markov processes with the help of computer algebra systems. During the development process, we used some universal computer algebra systems. At the stage of implementation of software, we found unsatisfactory of universal computer algebra packages. The report describes the requirements for the computer algebra system that have arisen during the programming. We substantiate the choice of domain-specific computer algebra system FORM.

May 26th-27th, 2015/26-27 мая 2015 г.

26-27 мая 2015 года состоялся традиционный совместный семинар - фактически, двухдневная конференция - с Лабораторией информационных технологий ОИЯИ (Дубна).


The traditional joint meeting with the seminar of Laboratory of Information Technologies of JINR (Dubna) was held on May 26th-27th, 2015. Essentially, this was a two-days conference.

May 14th, 2015/14 мая 2015 г.

Slides

Е.В.Зима (Университет Вилфреда Лорие, Ватерлоо, Онтарио, Канада)

Ускоренное неопределенное суммирование.

Аннотация

Представлена история неопределенного суммирования, начиная с классиков (Ньютон, Монмор, Тейлор, Стирлинг, Эйлер, Буль), затем неоклассиков (Абрамов, Госпер, Карр), до реализации в современной системе компьютерной алгебры Maple. Наряду с историческим обзором описываются методы ускорения алгоритмов неопределенного суммирования, которые дают не только теоретическое, но и практическое улучшение времени работы этих алгоритмов. Проводится сравнение работы этих алгоритмов со стандартными средствами суммирования системы Maple.


E.V.Zima (Wilfrid Laurier University, Waterloo, Ontario, Canada)

Accelerated indefinite summation.

Abstract

We present the history of indefinite summation starting with classics (Newton, Montmort, Taylor, Stirling, Euler, Boole) followed by modern classics (Abramov, Gosper, Karr) to the current implementation in computer algebra system Maple. Along with historical presentation we describe several “acceleration techniques” of algorithms for indefinite summation which offer not only theoretical but also practical improvement in running time. Implementations of these algorithms in Maple are compared to standard Maple summation tools.

April 22nd, 2015/22 апреля 2015 г.

Slides (Sosnovskiy)

1. А.И.Егоров (МФТИ)

Высшая математика и компьютерные технологии.

Аннотация

Доклад посвящен совершенствованию высшего математического образования. В нем дается анализ состояния математической подготовки студентов, На конкретных примерах показывается, что значительная часть учебного времени планово тратится бесполезно.

Затем приводится детальный анализ (с разнообразными примерами) возможностей использования системы Maple в изложении теории и в решении конкретных задач на семинарах и при самостоятельной работе студента. На основании этого анализа предлагаются меры совершенствования математического образования, основанные на широком использовании компьютерных технологий.

2. М.Д.Малых (МГУ)

Обучение основам высшей математики с использованием систем компьютерной алгебры.

Аннотация

В коротком докладе речь пойдет об использовании CAS в учебном процессе на ФНМ МГУ [1] и в РУДН [2]. Будет представлено пособие «Математические анализ вместе с Microsoft Mathematics» для студентов РУДН.

Ссылки:

[1] http://malykh.a.freewiki.in;

[2] http://web-local.rudn.ru/web-local/prep/rj/index.php?id=2281

3. Н.Н.Сосновский (СПбГЭТУ)

Разработка методических материалов в среде системы Mathematica.

Аннотация

Важным элементом процесса преподавания математики является разработка методических материалов для студентов. Студент должен выполнить обязательный минимум упражнений для того, чтобы достигнуть определенного уровня понимания материала и закрепить его в навыках. Предлагаемые упражнения бывают двух типов.

Первый тип упражнений - это достаточно простые упражнения (задачи), цель которых проверить понимание излагаемого материала и помочь студентам приобрести навыки решения типовых задач.

Второй тип упражнений – это упражнения, требующие искусства для их выполнения. Такие упражнения предназначены для углубленного понимания математики и могут быть осилены не всеми студентами.

Разработка таких упражнений не может быть осуществлена стандартными способами и требует творческого подхода от преподавателя. Напротив, разработка упражнений первого типа может и должна быть автоматизирована, так как здесь требуется приготовить большое количество задач одного типа с ответами для упрощения проверки и оценки результатов. Сказанное говорит о том, что преподавателю необходимо иметь своего рода генератор задач для обеспечения формирования индивидуальных практических заданий по излагаемому материалу. Автор имеет опыт разработки таких генераторов для различных задач: по алгебре, дискретной математике, теории вероятностей и математической статистике, - в среде системы Математика. В данном докладе рассматривается генератор задач дискретной математики. Задания и ответы выводятся в отдельные файлы, конвертируются в PDF, и файлы с заданиями доводятся до студентов по электронной почте. Генератор обеспечивает формирование индивидуального задания каждому студенту группы. Студент выбирает вариант по своему номеру в списке группы, который доводится до студентов по электронной почте. Все задачи задания подробно разбираются на практических занятиях.


1. A.I.Egorov (MIPT)

Advanced mathematics and computer technology.

Abstract

The report focuses on the improvement of higher mathematical education. It provides an analysis of the status of mathematical preparation of students For the specific example shows that a significant portion of training time is spent planning is useless.

This is followed by a detailed analysis (with a variety of examples) opportunities for the use of Maple in theory and in solving specific problems at seminars and independent work of the student. Based on this analysis, proposes measures for improvement of mathematics education based on the widespread use of computer technology.

2. M.D.Malykh (MSU)

Teaching Calculus with CAS.

Abstract

The short talk deals with the usage of CAS under teaching calculus. We will present the textbook «Calculus with Microsoft Mathematics» (in russian) for students of Peoples' Friendship University of Russia.

Refs:

[1] http://malykh.a.freewiki.in;

[2] http://web-local.rudn.ru/web-local/prep/rj/index.php?id=2281

3. N.N.Sosnovskiy (SPbETU)

Developing methodical materials in the environment of system of Mathematica.

Abstract

Developing methodical materials for students is impotant element of teaching process. The student must have completed the mandatory minimum of exercises in order to achieve a certain level of understanding of the material and fasten it to the skills. The proposed exercises are of two types.

The first type of exercise is fairly simple exercises (tasks), which are designed to check your understanding of the material and to help students to acquire skills in solving typical problems.

The second type of exercises are exercises that require art for their implementation. Such exercises are designed to enhance understanding of mathematics and can be affordable by all students.

The development of such exercises cannot be performed by standard methods and requires creativity from the teacher. On the contrary, the development of exercises of the first type can and should be automated, as it requires to prepare a large number of tasks of the same type with answers to facilitate testing and evaluation of results. It is written suggests that teachers need to have some sort of task generator to ensure the formation of individual practical tasks on a stated material. The author has experience in the development of such generators for different tasks: algebra, discrete mathematics, probability theory and mathematical statistics, in the environment of system of Mathematics. This report examines the task generator of discrete mathematics. Quests and answers are displayed in a separate files are converted to PDF files and tasks are communicated to students via e-mail. The generator provides for the formation of individual assignments for each student group. The student selects the option by its number in the list group, which is communicated to students via e-mail. All tasks of a job are described in detail in practical classes.

February 25th, 2015/25 февраля 2015 г.

Slides (Prokopenya) Slides (abramov et al.)

1. А.Н.Прокопеня (Варшавский университет естественных наук)

Моделирование квантовых алгоритмов с использованием пакета QuantumCircuit.

Аннотация

Обсуждаются основные возможности и особенности пакета QuantumCircuit для моделирования квантовых вычислений, написанного на языке системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica. В качестве примеров рассматриваются квантовые схемы, реализующие телепортацию квантовых битов, квантовое преобразование Фурье и квантовый алгоритм определения фазы.

2. С.А.Абрамов, А.А.Рябенко, Д.Е.Хмельнов (Вычислительный Центр РАН)

EG-семейство алгоритмов и процедур поиска решений дифференциальных и разностных систем произвольного порядка.

Аннотация

Обсуждаются задачи поиска решений линейных дифференциальных и разностных систем произвольного порядка с переменными коэффициентами.

Для систем с полиномиальными коэффициентами предлагаются алгоритмы поиска полиномиальных и рациональных решений, а также решений в виде рядов. Для дифференциального случая дополнительно предлагаются алгоритмы поиска регулярных, рационально-логарифмических и формальных экспоненциально-логарифмических решений.

Рассматриваются и дифференциальные системы полного ранга с бесконечными конструктивными степенными рядами в роли коэффициентов. Совместно с М.Баркату для таких систем предложен алгоритм поиска лорановых решений. Указан алгоритм построения регулярных решений. Построение же всех формальных экспоненциально-логарифмических решений здесь является алгоритмически неразрешимой задачей. Предложен алгоритм, который позволяет построить базис пространства таких решений, коль скоро известна размерность этого пространства.

Все обсуждаемые алгоритмы реализованы в виде Maple-процедур, часть которых входит в пакет LinearFunctionalSystems стандартных релизов Maple. Остальные процедуры доступны на сайте http://www.ccas.ru/ca/doku.php/eg

Алгоритмы основываются на EG-исключениях, используемых в тех, например, случаях, когда ведущая матрица дифференциальной системы (в разностном случае — ведущая или трейлинговая матрица) оказывается вырожденной.

Неоценимый вклад в усовершенствование первоначального варианта метода EG-исключений внес М.Бронштейн (1963-2005).


1. A.N.Prokopenya (Warsaw University of Life Sciences, Poland)

Simulation of quantum algorithms with application of the package “QuantumCircuit”.

Abstract

We discuss here main abilities and features of the QuantumCircuit package for simulation of quantum computation written in the language of the computer algebra system Wolfram Mathematica. Quantum circuits implementing quantum teleportation, quantum Fourier transform and quantum algorithm for phase estimation are considered as examples.

2. S.A.Abramov, A.A.Ryabenko, D.E.Khmelnov (Computing centre of RAS)

The EG-family of algorithms and procedures for solving linear differential and difference higher-order systems.

Abstract

We discuss problems of finding solutions of linear differential and difference systems of arbitrary order with variable coefficients.

For systems with polynomial coefficients, algorithms for polynomial, rational and series solutions are proposed. Besides, for the differential case we describe algorithms for finding rational-logarithmic, regular and formal exponential-logarithmic solutions.

We consider also full rank differential systems with infinite computable power series in the role of coefficients. Jointly with M.Barkatou, we propose an algorithm to construct Laurent-series solutions. We propose as well an algorithm for regular solutions. The construction of all formal exponential-logarithmic solutions of such a system is generally an algorithmically undecidable problem. We give an algorithm which allows to construct a basis for the space of such solutions, as soon as the dimension of the space is known.

All the discussed algorithms are implemented as Maple procedures, some of those procedures are incorporated into the package {\tt LinearFunctionalSystems} of standard Maple releases. Other procedures are available on http://www.ccas.ru/ca/doku.php/eg

The algorithms are based on the EG-eliminations which are used, e.g., when the leading matrix of a differential system is singular (in the difference case: the leading or/and trailing matrices). An invaluable contribution to the improvement of the first version of the EG-eliminations method was made by M.Bronstein (1963–2005).

January 21st, 2015/21 января 2015 г.

Slides

Д.С.Кулябов, А.В.Королькова, Л.А.Севастьянов (Российский университет дружбы народов)

Геометрические методы в задачах электромагнетизма.

Аннотация

1. На основе классификации существующих физических теорий по используемым парадигмам проводится разделение теоретических подходов на несколько групп (геометрический, полевой, реляционный). Выделяются математические методы, присущие каждому подходу.

2. Для изучения электромагнитного поля выделяется группа методов геометрического подхода. Демонстрируется их применение к задачам распространения электромагнитного поля.

3. Проводится краткий анализ применимости систем компьютерной алгебры к разным теоретическим подходам. Демонстрируется их применение при геометризации электромагнитного поля.


D.S.Kulyabov, A.V.Korolkova, L.A.Sevastyanov (Peoples’ Friendship University of Russia)

Geometric methods in electromagnetism.

Abstract

1. On the basis of the classification of the existing physical theories by used paradigms held division of theoretical approaches to several groups (geometric, field, and relational). Distinguished mathematical methods inherent to each approach.

2. To study the electromagnetic field there is a group of methods of geometrical approach. Demonstrates their application to problems of electromagnetic fields.

3. We provide a brief analysis of the applicability of computer algebra systems to different theoretical approaches. We demonstrated by their use in problems of geometrization of the electromagnetic field.

December 29th, 2014/29 декабря 2014 г.

Slides (Shemyakova) Slides (Batkhin)

1. А.Б.Батхин (Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН)

Исследование одной вещественной алгебраической поверхности.

Аннотация

В докладе предлагается описание некоторого вещественного алгебраического многообразия в R^3, которое играет важную роль в исследовании метрик Эйнштейна. Для понимания структуры многообразия дается описание всех его особых точек. В силу наличия внутренней симметрии изучаемого объекта, часть исследования проводится с использованием элементарных симметрических многочленов. Использованы алгоритмы компьютерной алгебры, в частности, базисы Грёбнера и алгоритмы работы с полиномиальными идеалами. В качестве сопутствующего результата сформулировано и доказано утверждение о структуре дискриминантной поверхности кубического многочлена.

2. Е.С.Шемякова (ВЦ РАН)

Преобразований Дарбу типа I для решения дифференциальных уравнений.

Аннотация

Преобразования Дарбу типа I - это преобразования Дарбу специального типа, которые обладают свойством обратимости, и позволяют выписать формулы для обратного в явном компактном виде.

Преобразования Дарбу типа I определены для линейных дифференциальных операторов произвольного вида. В этом докладе мы рассмотрим обиты преобразований типа I для случая операторов третьего порядка от двух независимых переменных.

Для этого случая реализованы ряд алгоритмов. Получаемые орбиты имеют очень интересную геометрическую структуру. Мы также покажем, что такие алгоритмы имеют потенциал решать новые дифференциальные уравнения.


1. A.B.Batkhin (Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS)

On investigation of the certain real algebraic surface.

Abstract

We provide the description of the certain real algebraic variety in $R^3$, which plays an important role in investigation of Einstein's metrics. We provide the description of the all singular points of the variety. All computations were done with the help of computer algebra algorithms, in particular with the help of Grobner basis and algorithms of polynomial ideals. We stated and proved an auxiliary result on the structure of the discriminant surface of the cubic polynomial.

2. E.S.Shemyakova (СС RAS)

Darboux transformations of type I for solution of differential equations.

Abstract

Darboux transformations of type I - is a special kind of Darboux transformations, which are invertible and compact explicit formulas for the inverse are known.

Darboux transformations of type I are defined for linear differential Operators of arbitrary form. In the talk we consider transformations of type I for the case of third-order operator of two independent variables.

For this case a number of algorithms have been implemented. The resulting orbits have interesting geometric structure. We also show that such algorithms have a potential to solve new differential equations.

November 19th, 2014/19 ноября 2014 г.

Slides

А.Д. Брюно (Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН)

Элементы нелинейного анализа.

Аннотация

Предлагаются алгоритмы, позволяющие получать асимптотические разложения решений в виде (а) степенных рядов с постоянными коэффициентами и (б) с коэффициентами, являющимися степенными рядами от логарифмов, а также — (в) в виде ряда экспонент от степенного ряда. Эти алгоритмы применимы к уравнениям (A) алгебраическим, (B) обыкновенным дифференциальным и (C) в частных производных, а также - к системам таких уравнений. Изложение ведется для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Перечислены некоторые из приложений этих алгоритмов.


A.D. Bruno (Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS)

Elements of nonlinear analisys.

Abstract

We propose algorithms that allow to obtain asymptotic expansions of solutions in the form of (a) power series with constant coefficients and (b) with coefficients of series of logarithms and (c) in the form of series of exponents of a power series as well. These algorithms are applicable to equations (A) algebraic, (B) ordinary differential and (C) partial differential and to the systems of such equations as well. We give the description of the method for one ordinary differential equation and we enumerate some applications of these algorithms.

October 15th, 2014/15 октября 2014 г.

Extended Abstract

Р.Р. Гонцов (ИППИ РАН)

О формальных степенных рядах, удовлетворяющих обыкновенному дифференциальному уравнению в комплексной области.

Аннотация

Доклад посвящен некоторым свойствам степенных рядов, формально удовлетворяющих (полиномиальному) обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) в комплексной области (вообще говоря, не разрешенному относительно старшей производной). Сначала речь пойдет об элементах кольца C[[z]], рядах с целыми показателями степени. Будет рассказано о теоремах Майе, Мальгранжа, Рамиса–Сибуйи, оценивающих порядок роста числовых коэффициентов таких рядов. Затем перейдем к обобщенным степенным рядам (с комплексными показателями степени), формально удовлетворяющим ОДУ. Здесь, в основном, нас будут интересовать вопросы сходимости рядов (в некотором секторе с вершиной в нуле). В завершение мы постараемся наметить некоторые вопросы для дальнейшего исследования в данном направлении.


R.R. Gontsov (IITP RAS)

On formal power series satisfying an ordinary differential equation in a complex domain.

Abstract

A talk concerns some properties of power series formally satisfying a (polynomial) ordinary differential equation (ODE) in a complex domain (generally, not reduced with respect to the highest derivative). First we will speak about elements of the ring C[[z]], series with integer power exponents. The theorems of Maillet, Malgrange, Ramis–Sibuya, which estimate the growth of the coefficients of such series, will be presented. Then we will pass to generalized power series (with complex power exponents) formally satisfying an ODE. Here, mainly, we will be interested in problems of the convergence of series (in some sector with vertex at the origin). In the conclusion we will try to sketch some problems for further investigation in that direction.

September 24th, 2014/24 сентября 2014 г.

Slides (Adlaj) Slides (Limonov)

1. С.Ф. Адлай (ВЦ РАН)

Точки кручения эллиптических кривых и полиномиальные модулярные симметрии.

Аннотация

Вычисление корней модулярного уравнения уровня p вплотную связано с вычислением p-точек кручения соответствующей эллиптической кривой. Заслугу выявления такой замечательной взаимосвязи следует (как бы не было удивительно) всецело присвоить Галуа и только ему. Хотя роль Галуа в формулировке необходимого и достаточного условия решения алгебраического уравнения в радикалах широко известна, его решающий вклад в решении уравнения пятой степени (до Эрмита и Клейна) едва (если сколь-нибудь) признан. Ему часто (заслуженно) приписывают идею о неприводимости алгебраического уравнения, но редко (если когда-либо) идею о понижении степени алгебраического уравнения. Изумительно, что (в своём предсмертном письме) он дал необходимый и достаточный критерий понижения степени модулярного уравнения простого порядка, и, в частности, показал, что группа (Галуа) модулярного уравнения уровня 5 совпадает с группой (общего) уравнения пятой степени. Мы избавимся от внушения того, что вклад Галуа в теорию алгебраических уравнений ограничился тем, что стало называться классической теории Галуа (несмотря на её глубину и на то, что она существенно конструктивна вопреки сложившимся представлениям), и следуя за Галуа мы придём к новому классу загадочных (модулярных) полиномиальных тождеств. Эти тождества были представлены 16-го апреля 2014-го на 7-ой конференции по полиномиальной компьютерной алгебре в Петербурге, и далее исследованы 21-го мая 2014-го на 17-ом рабочем совещании по компьютерной алгебре в Дубне.

2. М.Лимонов (МГУ механико-математический факультет) Обобщённые сепаранты и смешанные идеалы.

Аннотация

Рассматривается следующая задача: «Равна ли сумма дифференциального идеала и алгебраического единичному идеалу?» Иными словами, у нас есть кольцо дифференциальных многочленов K{y} от одной дифференциальной переменной {y} и одним дифференцированием. Такое кольцо можно рассматривать как кольцо многочленов с бесконечным числом переменных и линейным оператором дифференцирования. Идеал называется дифференциальным, если он замкнут относительно действия этого оператора.

Известно, что для алгебраического или дифференциального идеала I с конечным числом порождающих мы можем проверить равенство I=(1) с помощью базисов Грёбнера и алгоритма Розенфельда-Грёбнера соответственно. Но если идеал I представляется в виде суммы дифференциального и алгебраического задача не решена. В докладе будет представлен алгоритм проверки равенства I=(1), где I =[f]+(h_1,h_2,…,h_n) - идеал, являющийся суммой дифференциального идеала, порождённого одним многочленом f, и алгебраического идеала (h_1,h_2,…,h_n), при условии [f,S_f]=(1) (S_f — сепаранта f). Если в качестве алгебраического идеала взять (S_f), то мы получим способ проверки существования в идеале [f] квазилинейного многочлена.


1. S.F.Adlaj (CC RAS). Torsion points on elliptic curves and modular polynomial symmetries.

Abstract

Calculating the roots of the modular equation of level p is tightly intertwined with calculating the p-torsin points on a corresponding elliptic curve. Galois must (surprisingly) be solely and entirely credited for pointing out this wonderful interplay. While Galois' contribution to formulating necessary and sufficient condition for solving algebraic equations via radicals is widely known, his decisive contribution to actually solving the quintic (before Hermite and Klein) is barely (if at all) recognized. He is often credited for introducing the concept of irreducibility of an algebraic equation, but rarely (if ever) for introducing the concept of depressing the degree of an algebraic equation. Marvellously, he went on to indicate necessary and sufficient condition for depressing the degree of the modular equation of prime level, and, in particular, did display that the (Galois) group of modular equation of level 5 coincides with the group of the (general) quintic. We shall lift the instillation that Galois' contribution to the theory of algebraic equation was limited to what has classically become known as Galois theory (however deep and however constructive, contrary to misguided perceptions), and we shall follow Galois' lead to arrive at a new class of bewildering (modular) polynomial identities. These identities were introduced on April 16, 2014 at the 7th PCA conference in St. Petersburg, Russia in a talk titled Modular Polynomial Symmetries, and further discussed on May 21, 2014 at the 17th Workshop on Computer Algebra in Dubna, Russia in a talk titled Elliptic and Coelliptic Polynomials.

2. M.Limonov (MSU faculty of mechanics and mathematics) Generalized separants and compound ideals.

Abstract

The report will discuss the following problem: «Is a sum of algebraic and differential ideals equal to the unit ideal or not?». In other word, let K{y} be a ring of differential polynomials with one differential variable and one operation of differentiation. This ring is isomorphic to a ring of polynomials with an infinite amount of variables and a linear differentiation operator. An ideal is called differential if it is closed under the operator application.

If an ideal I is an algebraic or differential ideal generated by a finite set of polynomials, then we can algorithmically determine if I=(1) using Grobner basis methods or Rosenfeld-Grobner algorithm correspondingly. The problem is not currently solved for ideals that are a sum of algebraic and differential ideals. We will present an algorithm to determine if I=(1), where I =[f]+(h_1,h_2,…,h_n) - an ideal representable as a sum of an differential ideal f generated by a single polynomial and an algebraical ideal (h_1,h_2,…,h_n), if [f,S_f]=(1) (S_f is the separant of f). If in the capacity of the algebraic ideal we take (S_f) we obtain an algorithm to check if ideal [f] contains a quasilinear polynomial.

Archive/Архив

start.txt · Последние изменения: 2016/04/20 22:17 — sa
 
За исключением случаев, когда указано иное, содержимое этой вики предоставляется на условиях следующей лицензии: Public Domain
Recent changes RSS feed Donate Powered by PHP Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki