Seminar on Computer Algebra, CMC faculty of MSU & CCAS / Cеминар «Компьютерная алгебра» факультета ВМК МГУ и ВЦ РАН

Contact Persons: Sergei Abramov (sergeyabramov [AT] mail [DOT] ru), Alla Bogolubskaya (abogol [AT] jinr [DOT] ru) / Контактные лица: Сергей Александрович Абрамов (sergeyabramov [AT] mail [DOT] ru), Алла Анатольевна Боголюбская (abogol [AT] jinr [DOT] ru).

:!: Russian Computer Algebra Community page

Computer algebra seminar of Limoges University, France

Next meeting/Следующее заседание

Slides

Video Video Video

Очередное заседание семинара «Компьютерная алгебра» состоится в среду 15 июня 2022 года в 16:30 по московскому времени в дистанционном режиме через Zoom. Cоответствующая ссылка для подключения будет сообщена письмом приглашенным участникам.

Шаоши Чен (Академия математики и системных наук, Китайская академия наук)

Задачи устойчивости в символьном интегрировании

Аннотация

Представлены первоначальные результаты исследования динамического аспекта символьного интегрирования, проведенного на основе рассмотрения задач устойчивости в дифференциальных полях. Приводятся некоторые основные свойства устойчивых элементарных функций и D-конечных степенных рядов, что позволяет выделить три специальных семейства устойчивых элементарных функций, включающих рациональные, логарифмические и экспоненциальные функции. Формулируются вопросы, предполагающие более глубокие динамические исследования в дифференциальной и разностной алгебре.

Доклад посвящается Зимингу Ли в честь его шестидесятилетия.


The next meeting of the seminar on Computer Algebra of Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of MSU, and Computing Centre of RAS will be on Wednesday, June 15, 2022 at 16:30 Moscow time online via Zoom. The corresponding connection link will be e-mailed to the invited participants.

Shaoshi Chen (Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences)

Stability Problems in Symbolic Integration

Abstract

This talk aims at initializing a dynamical aspect of symbolic integration by studying stability problems in differential fields. We present some basic properties of stable elementary functions and D-finite power series that enable us to characterize three special families of stable elementary functions including rational functions, logarithmic functions, and exponential functions. Some problems for future studies are proposed towards deeper dynamical studies in differential and difference algebra.

This talk is dedicated to Ziming Li on the occasion of his 60th birthday.

Previous meetings/Предыдущие заседания

May 17, 2022/17 мая 2022 г.

Slides

Очередное заседание семинара «Компьютерная алгебра» состоится во вторник 17 мая 2022 года в 16:30 по московскому времени в дистанционном режиме через Zoom. Cоответствующая ссылка для подключения будет сообщена письмом приглашенным участникам.

Зиминг Ли (Главная лаборатория математики и механизации, AMSS Китайская академия наук, Пекин)

Вычисление элементарных интегралов с помощью аддитивных разложений и гомоморфного оценивания

Аннотация

Аддитивное разложение - это представление данной функции f в виде суммы производной g' и остатка r. При этом g и r принадлежат тому же дифференциальному полю F, что и f. Дополнительные требования: (i) r в определенном смысле минимально; (ii) f является производной некоторого элемента из F тогда и только тогда, когда r = 0. Таким образом, вычисление интеграла от f сводится к вычислению интеграла от r.

В докладе мы рассматриваем аддитивную декомпозицию в S-примитивных расширениях, которые включают, прежде всего, логарифмические расширения, и показываем, что вычисление элементарных интегралов остатков в таком расширении не требует решения каких-либо дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволяет нам использовать гомоморфное оценивание для вычисления элементарных интегралов над S-примитивными расширениями.

Также обсуждаются недавние работы по аддитивным разложениям в некоторых типах гиперэкспоненциальных расширений.

Результаты получены в сотрудничестве с Шаоши Ченом, Хао Ду, Цзин Го, Иманом Гао и Элейн Вонг.


The next meeting of the seminar on Computer Algebra of Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of MSU, and Computing Centre of RAS will be on Tuesday, May 17, 2022 at 16:30 Moscow time online via Zoom. The corresponding connection link will be e-mailed to the invited participants.

Ziming Li (Key Lab of Mathematics and Mechanization, AMSS Chinese Academy of Sciences, Beijing)

Computing Elementary Integrals by Additive Decompositions and Homomorphic Valuation

Abstract

An additive decomposition writes a function f as the sum of a derivative g' and a remainder r. Both g and r lie in the same differential field F as f does. The requirements on the remainder are:

(i) r is minimal in some sense; (ii) f is a derivative of some element in F if and only if r = 0.

Thus, computing an integral of f amounts to computing an integral of r.

In this talk, we present an additive decomposition in S-primitive extensions, which include logarithmic extensions as an instance, and show that computing elementary integrals of remainders in such an extension does not need to solve any differential equation. This feature enables us to use homomorphic valuations to compute elementary integrals over S-primitive extensions.

We will also discuss about recent work on additive decompositions in hyperexponential extensions of some types.

The results in this talk are obtained in collaboration with Shaoshi Chen, Hao Du, Jing Guo, Yima n Gao and Elaine Wong.

April 20, 2022/20 апреля 2022 г.

Slides

М.Петковшек (Люблянский Университет, факультет математики и физики. Любляна, Словения)

Линейные рекуррентные уравнения с полиномиальными коэффициентами: метод факториального базиса для нахождения решений, имеющих вид определенных сумм

Аннотация

Для линейного рекуррентного уравнения Ly = 0 с полиномиальными коэффициентами задача нахождения его ненулевого решения, имеющего вид определенной гипергеометрической суммы, связана с обратной задачей креативного телескопинга. Эта последняя задача остается открытой уже более трех десятилетий. Предлагается алгоритм, позволяющий для рассматриваемого уравнения и квазитреугольного, совместимого со сдвигом, факториального базиса B = <P_k(n)>, k = 0, 1, 2, …, в полиномиальном пространстве K[n ] над полем K нулевой характеристики, находить такое рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет последовательность коэффициентов c = <c_k>, k = 0, 1, 2, …, решения y_n в форме суммы слагаемых вида c_k P_k( n), k = 0, 1, 2, … (сумма конечна для каждого натурального n в силу квазитреугольности базиса B). В более общем случае, если B является m-просеянным для некоторого положительного целое число m, алгоритм вычисляет систему из m рекуррентных уравнений, которым удовлетворяют m-секции последовательности коэффициентов c. Если мы можем найти явное ненулевое решение этой системы, мы получаем явное ненулевое решение исходного уравнения Ly = 0.

Работа выполнена совместно с Антонио Хименесом-Пастором (Эколь Политекник, Париж, Франция).


M.Petkovsek (University of Ljubljana, Faculty of Mathematics and Physics, Ljubljana, Slovenia)

The Factorial-Basis Method for Finding Definite-Sum Solutions of Linear Recurrences With Polynomial Coefficients

Abstract

The problem of finding a nonzero solution of a linear recurrence Ly = 0 with polynomial coeffi cients where y has the form of a defi nite hypergeometric sum, related to the Inverse Creative Telescoping Problem, has now been open for more than three decades. We present an algorithm which, given such a recurrence and a quasi-triangular, shift-compatible factorial basis B = <P_k(n)> (for k = 0, 1, 2, …) of the polynomial space K[n] over a field K of characteristic zero, computes a recurrence satisfi ed by the coe fficient sequence c = <c_k> (for k = 0, 1, 2, …) of the solution y_n = sum of c_k P_k(n) for k = 0, 1, 2, … (where, due to the quasi-triangularity of B, the sum terminates for each natural n). More generally, if B is m-sieved for some positive integer m, the algorithm computes a system of m recurrences satisfi ed by the m-sections of the coeffi cient sequence c. If we can find an explicit nonzero solution of this system, we obtain an explicit nonzero solution of the original recurrence Ly = 0.

This will be a joint talk with Antonio Jimenez-Pastor (currently a postdoc at École Polytechnique, Paris).

March 23, 2022/23 марта 2022 г.

Slides

М.Н.Геворкян (Российский университет дружбы народов)

Описание аппарата геометрической алгебры и его реализации в системе компьютерной алгебры SymPy

Аннотация

Геометрическая алгебра является реализацией алгебры Клиффорда. Основные понятия геометрической алгебры восходят к 19 веку, к трудам Грассмана и Клиффорда, однако основная волна исследований на эту тему началась уже в 21 веке. В целом следует отметить прикладной характер исследований по геометрической алгебре, относящихся к в основном к физике и математическим основам компьютерной графики. В физике с помощью геометрической алгебры можно описать спиновое пространство, повороты и бусты в СТО. В области компьютерной графики методы описания вращений с помощью бивекторов могут потенциально вытеснить кватернионы и бикватернионы. При описании в пространство-временной алгебре с помощью этого формализма можно описать эффекты связанные со скоростью и другие релятивистские эффекты: движение с релятивистской скоростью, прецессия Томаса, фаза Берри, эффект Ааронова-Бома. Аппарат геометрической алгебры можно рассматривать как частный случай тензорного формализма, так как p-векторы являются антисимметричными контравариантными тензорами. Однако при универсальном тензорном описании мы получаем усложнение теории, так как допускаем лишнюю общность описания, а также теряем ряд эффектов, которые возникают в алгебре Клиффорда (например, релятивистское движение) для многих задач. Мы считаем, что применение специализированного пространства и математического аппарата было бы очень полезно для физики, так как обобщает спиноры, кватернионы, комплексные числа, но не использует поле комплексных чисел. В докладе рассматриваются основные понятия геометрической алгебры. В связи с прикладным характером рассматриваемого В связи с прикладным характером рассматриваемого предмета, в докладе при изложении теории сделан акцент на реализацию основных операций геометрической алгебры в системе символьных вычислений SymPy. Показаны примеры использования геометрической алгебры в области физики и компьютерной геометрии.


M.N.Gevorkyan (Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University))

Description of the geometric algebra apparatus and its implementation in the SymPy computer algebra system

Abstract

Geometric algebra is an implementation of the Clifford algebra. The basic concepts of geometric algebra date back to the 19th century, to the works of Grassman and Clifford, but the main wave of research on this topic began in the 21st century. In general, it should be noted the applied nature of research on geometric algebra, related mainly to physics and the mathematical foundations of computer graphics. In physics, with the help of geometric algebra, it is possible to describe spin space, rotations and boosts in SRT. In the field of computer graphics, methods for describing rotations using bivectors can potentially displace quaternions and biquaternions. When described in space-time algebra, this formalism can be used to describe velocity-related effects and other relativistic effects: motion with relativistic velocity, Thomas precession, Berry phase, the Aharonov-Bohm effect. The apparatus of geometric algebra can be considered as a special case of tensor formalism, since p-vectors are antisymmetric contravariant tensors. However, with a universal tensor description, we get a complication of the theory, since we allow an extra generality of the description, and also lose a number of effects that arise in the Clifford algebra (for example, relativistic motion) for many tasks. We believe that the use of a specialized space and mathematical apparatus would be very useful for physics, since it generalizes spinors, quaternions, complex numbers, but does not use the field of complex numbers. The report discusses the basic concepts of geometric algebra. Due to the applied nature of the considered Due to the applied nature of the subject under consideration, in the presentation of the theory, the report focuses on the implementation of the basic operations of geometric algebra in the SymPy symbolic computing system. Examples of the use of geometric algebra in the field of physics and computer geometry are shown.

February 16, 2022/16 февраля 2022 г.

Slides

С.Д.Мешвелиани (Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, Переславль-Залесский, Россия)

О конструктивных доказательствах завершаемости алгоритма нормальной формы многочлена нескольких переменных относительно набора многочленов

Аннотация

Обсуждаются конструктивное доказательство завершаемости алгоритма NF нормальной формы для многочленов нескольких переменных и связанное с ним понятие допустимого упорядочения <e на показателях мономов. В классической математике свойство обрыва убывающей цепочки (descending-halt) для отношения <e выводится из леммы Диксона, и этого достаточно для обоснования завершаемости алгоритма NF. В доказательном программировании требуется конструктивное доказательство и более сильное свойство отношения порядка: свойство хорошей заданности (well-founded). Обсуждаются некоторые известные конструктивные подходы к проблеме, а также приводится прямое и простое конструктивное доказательство хорошей заданности для случая двух переменных.


S.D.Meshveliani (Ailamazyan Program systems institute of RAS, Pereslavl-Zalessky, Russia)

On constructive proofs for termination of the normal form algorithm for a multivariate polynomial with respect to a polynomial list

Abstract

There are discussed a constructive proof for termination of the normal form algorithm NF for multivariate polynomials and its related notion of admissible ordering <e on the monomial exponents. In classical logic, the descending-halt property for <e is derived from the Dickson's lemma, and this is sufficient to prove termination of NF. In provable programming, it is required a constructive proof, and a stronger property for the order relation: well-foundedness. There are discussed certain known constructive approaches to the subject, and also it is presented a simple and direct constructive proof for the case of two variables.

January 12, 2022/12 января 2022 г.

Slides

В.Г.Захаров (Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь)

Матричный метод нахождения полиномиальных решений системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных

Аннотация

Предложен матричный метод конструктивного нахождения базиса полиномиального пространства решений системы линейных, с постоянными коэффициентами, уравнений в частных производных (УЧП'х) с полиномиальными правыми частями (в общем случае, как полиномы, так и правые части УЧП'х, должны быть умножены на экспоненты). При этом матрица, строящаяся в нашем методе, — есть просто матрица линейной системы алгебраических уравнений. И наш подход не требует использования сложных методов общей алгебры (таких как примарные разложения идеалов и т.п.). При этом открывается возможность исследовать пространства решений элементарными методами линейной алгебры. Так, в частности, доказывается фундаментальный факт, что линейное УЧП (не система) с постоянными коэффициентами всегда имеет полиномиальное (умноженное на экспоненту, в общем случае) решение произвольно большой степени. Рассмотрен ряд примеров построения множества полиномов (умноженных на экспоненты, в общем случае), являющихся базисными функциями пространств решений уравнений Лапласа, Гельмгольца, Пуассона.


V.G.Zakharov (Institute of Continuum Mechanics RAS, Perm, Russia)

Matrix method of polynomial solutions to constant coefficient PDE's

Abstract

We introduce a matrix method to determine constructively the basis of a polynomial space that the space is a solution to the system of linear constant coefficient PDE's with polynomial right-hand sides (in general, polynomials and right-hand sides of PDE's must be multiplied by exponentials). The matrix, obtained in our method, is the matrix of the system of linear algebraic equations and the method is not based on complicated general algebra approaches (like primary decompositions). But our approach allows to use linear algebra to investigate solution spaces. In particular, we proved that a linear constant coefficient PDE always has a polynomial solution (multiplied by an exponential, generally) up to arbitrary large degree. Some polynomial sets that the polynomials (multiplied by exponentials, in general) are basis functions of solution spaces to the Laplace, Helmholtz or Poisson equations are constructed.

December 15, 2021/15 декабря 2021 г.

Slides and Maple worksheets

Очередное заседание семинара «Компьютерная алгебра» состоится в среду 15 декабря 2021 года в 16:30 по московскому времени в дистанционном режиме через Zoom. Cоответствующая ссылка для подключения будет сообщена письмом приглашенным участникам.

Бертран Тегия Табугия ( Университет Касселя, Германия )

Ряды и последовательности, определяемые квадратными дифференциальными уравнениями

Аннотация

Предлагается алгоритм построения формальных степенных рядов для функций, которые не удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям с полиномиальными коэффициентами. К таким функциям, например, относятся тангенс, секанс, косеканс, экспоненциальные производящие функции для чисел Бернулли, Эйлера, Белла, и многие другие. Лежащий в основе метод определяет новый класс функций, являющихся, в основном, решениями квадратных дифференциальных уравнений. Их изучение открывает дополнительные исследовательские вопросы. Мы представляем один уже окончательный результат о «нелинейном» угадывании «нехороших» коэффициентов разложений в степенные ряды, делающим возможным нахождение производящих функций.

Часть этого выступления была представлена на Maple Conference 2021 в соавторстве с Вольфрамом Кёпфом.


The next meeting of the seminar on Computer Algebra of Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of MSU, and Computing Centre of RAS will be on Wednesday, December 15, 2021 at 16:30 Moscow time online via Zoom. The corresponding connection link will be e-mailed to the invited participants.

Bertrand Teguia Tabuguia ( University of Kassel, Germany )

Series and Sequences Defined by Quadratic Differential Equations

Abstract

We describe a general-purpose algorithm to represent formal power series of functions that do not satisfy linear differential equations with polynomial coefficients. These are functions like tangent, secant, cosecant, the exponential generating functions of the Bernoulli numbers, Euler numbers, Bell numbers, and many others. The underlying method defines a new class of functions, mainly characterized by quadratic differential equations, and their study opens further research questions. We present one already conclusive result about the «nonlinear» guessing, which makes it possible to find generating functions from finitely many «not nice» coefficients of their power series expansions.

I presented a part of this talk at the Maple Conference 2021 in collaboration with Wolfram Koepf.

November 10, 2021/10 ноября 2021 г.

Slides GitHub Link

Ю.А.Блинков (Научный центр вычислительных методов в прикладной математике института прикладной математики и телекоммуникаций РУДН)

Объектно-ориентированное динамическое перераспределение памяти в C++

Аннотация

Организация динамического перераспределения памяти в пакете GInv (Groebner Involutive) по вычислению базисов Грёбнера. Использование для динамических структур данных, таких как списки, красно-черные и бинарные деревья, библиотеки GMP для вычислений с целыми числами с произвольной точностью.


Yu.A.Blinkov (Research Center of Computational Methods in Applied Mathematics at the RUDN Institute of Applied Mathematics and Telecommunications)

Object-oriented dynamic memory reallocation in C++

Abstract

Organizing Dynamic Memory Reallocation in GInv (Groebner Involutive Package) for the calculation of Gröbner bases is presented. Dynamic data structures such as lists, red-black and binary trees, GMP libraries are used for computing with integers with arbitrary accuracy.

October 21, 2021/21 октября 2021 г.

Slides

Мулей Баркату, Тома Клюзо, Али Эль Хадж (Лиможский университет; CNRS; XLIM UMR 7252; MATHIS)

Символьные алгоритмы исследования и решения псевдолинейных систем

Аннотация

Предмет обсуждения - псевдолинейные системы. Имеется в виду большой класс линейных функциональных систем, включающий дифференциальные, разностные и q-разностные системы. Предлагается прямой алгоритм вычисления так называемых простых форм этих систем, расширяющий идеи существующих алгоритмов для дифференциальных и разностных систем. Дается общий эффективный алгоритм вычисления рациональных решений (на основе нахождения универсального знаменателя) псевдолинейных систем первого порядка. Также предлагаются два новых рекурсивных алгоритма для вычисления рациональных и гипергеометрических решений псевдолинейных систем с частными производными и разностями для произвольного числа переменных. Все алгоритмы реализованы в Maple-пакете PseudoLinearSystems.


The next meeting of the seminar on Computer Algebra of Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of MSU, and Computing Centre of RAS will be on Thursday, October 21, 2021 at 16:30 Moscow time online via Zoom. The corresponding connection link will be e-mailed to the invited participants.

Moulay Barkatou, Thomas Cluzeau, and Ali El Hajj (University of Limoges ; CNRS ; XLIM UMR 7252 ; MATHIS)

Symbolic Algorithms for Studying and Solving Pseudo-Linear Systems

Abstract

This talk concerns the study of pseudo-linear systems: a large class of linear functional systems including differential, difference and q-difference systems. Firstly, we develop a direct algorithm for computing simple forms of pseudo-linear systems by extending the ideas of existing algorithms for differential and difference system. Then we present a generic and efficient algorithm for computing rational solutions (including a universal denominator) of first order pseudo-linear systems. Finally we develop two new recursive algorithms for computing rational and hypergeometric solutions of partial pseudo-linear systems with arbitrary number of variables. All algorithms are implemented in our Maple package PseudoLinearSystems.

September 29, 2021/29 сентября 2021 г.

Slides

А.Н.Прокопеня (Варшавский университет естественных наук - SGGW), М.Дж.Минглибаев, А.Б.Кошербаева (Казахский национальный университет им. аль-Фараби)

Символьные вычисления в исследованиях эволюционных уравнений в задаче многих тел с переменными массами

Аннотация

Рассматривается классическая задача многих тел в случае, когда массы тел изменяются изотропно по заданном законам, причем реактивные силы не возникают и уравнения движения тел выглядят аналогично случаю постоянных масс. Как известно, для трех и более тел задача не интегрируема даже в случае постоянных масс, поэтому основным методом исследования является теория возмущений. В рассматриваемом случае невозмущенное движение описывается точным решением задачи двух тел переменной массы, определяющим движение тел по квазиконическим сечениям. Основное внимание уделяется обсуждению вычислительных задач, возникающих при получении разложения возмущающей функции в степенной ряд по малым параметрам и определении эволюционных уравнений. Соответствующие вычисления выполняются с помощью системы Wolfram Mathematica.


A.N.Prokopenya (Warsaw University of Life Sciences – SGGW, Warsaw, Poland), M.Zh.Minglibayev, A.B.Kosherbayeva (al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan)

Symbolic computation in studying the evolutionary equations in the problem of many bodies of variable masses

Abstract

We consider the classical problem of many bodies when their masses vary isotropically according to some given laws and reactive forces do not arise. As a result the differential equations of motion may be written out similarly to the case of constant masses. It is known that the problem is not integrable in case of three and more bodies even for constant masses and so the perturbation theory is usually applied to its investigation. In the system under consideration an unperturbed motion is described by an exact solution of the problem of two bodies of variable masses determining the bodies motion along quasi-conic sections. Main attention is paid to discussion of computational problems connecting with obtaining an expansion of the perturbing function into power series in terms of small parameters and determining the evolutionary equations. The corresponding calculations are demonstrated with Wolfram Mathematica.

May 19, 2021/19 мая 2021 г.

Slides

Д.В.Богданов (Московский центр технологической модернизации образования)

Нули гипергеометрических полиномов многих комплексных переменных

Аннотация

В докладе будет дано определение гипергеометрического многочлена нескольких комплексных переменных с носителем в произвольном выпуклом целочисленном многограннике P. В случае, когда многогранник P является Z^n-связным (то есть, когда любые две целые точки P могут быть соединены ломаной со звеньями единичной длины и целочисленными вершинами), данный многочлен определён однозначно с точностью до постоянного множителя. В докладе будут рассмотрены свойства таких многочленов и, при некоторых предположениях, доказана оптимальность их амёб в смысле Форсберга-Пассаре-Циха.


D.V.Bogdanov (Moscow Center of Technological Modernization of Education)

Zeros of hypergeometric polynomials of many complex variables

Abstract

In the talk, we will define a hypergeometric polynomial of several complex variables with a support in an arbitrary convex integer polytope P. In the case where the polytope P is Z^n-connected (that is, when any two integer points of P can be connected by a polygonal line with unit sides and integer vertices), this polynomial is uniquely defined up to a constant factor. In the talk, we will consider the properties of such polynomials and, under certain assumptions, prove the optimality of their amoebas in the sense of Forsberg-Passare-Tsikh.

April 28, 2021/28 апреля 2021 г.

Slides

В.Сальников (ЦНРС / Университет Ла-Рошели, Франция)

Переосмысление геометрических интеграторов в механике

Аннотация

В этом докладе я опишу некоторые объекты из обобщённой геометрии, естественным образом возникающие при качественном анализе механических систем. В частности, я расскажу о структурах Дирака для систем со связями и об их обобщениях. С точки зрения геометрии, структуры Дирака обобщают одновременно симплектические и Пуассоновы многообразия. Что касается механики, основная идея - предложить численные методы, сохраняющие такие структуры, и тем самым гарантирующие адекватное физическое поведение моделируемой системы. Такие численные методы и называют геометрическими интеграторами, я расскажу о конструктивном подходе к их построению. Затем я опишу еще более общий формализм, связанный с градуированной геометрией и Q-многообразиями, и расскажу о перспективах применения таких конструкций в механике.

[1] V. Salnikov, A. Hamdouni, From modelling of systems with constraints to generalized geometry and back to numerics, Z Angew Math Mech. 2019. [2] D. Razafindralandy, V. Salnikov, A. Hamdouni, A. Deeb, Some robust integrators for large time dynamics, Advanced Modeling and Simulation in Engineering Sciences, 2019. [3] V. Salnikov, A. Hamdouni, D. Loziienko, Generalized and graded geometry for mechanics: a comprehensive introduction, Mathematics and Mechanics of Complex Systems, 2021.


V.Salnikov (CNRS / La Rochelle University)

Revisiting geometric integrators in mechanics

Abstract

In this talk I will describe some objects from generalized geometry, appearing naturally in qualitative analysis of mechanical systems. In particular I will describe Dirac structures for constraint systems and their generalizations. From the geometric perspective, Dirac structures generalize simultaneously symplectic and Poisson manifolds. In what concerns mechanics, the main idea is to design numerical methods that preserve these structures, and thus guarantee physically relevant behavior of the simulated system. Such methods are called geometric integrators, I will tell about a constructive approach to their construction. I will also sketch an even more general formalism, related to graded geometry and Q-manifolds and tell about the perspectives of application of such structures in mechanics. [1] V. Salnikov, A. Hamdouni, From modelling of systems with constraints to generalized geometry and back to numerics, Z Angew Math Mech. 2019. [2] D. Razafindralandy, V. Salnikov, A. Hamdouni, A. Deeb, Some robust integrators for large time dynamics, Advanced Modeling and Simulation in Engineering Sciences, 2019. [3] V. Salnikov, A. Hamdouni, D. Loziienko, Generalized and graded geometry for mechanics: a comprehensive introduction, Mathematics and Mechanics of Complex Systems, 2021.

April 21, 2021/21 апреля 2021 г.

Slides

А.В.Климов (Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН)

В поисках математических оснований языков программирования: Адекватна ли теория множеств для формализации имен, ссылок и объектно-ориентированного программирования?

Аннотация

Одной из не до конца решенных фундаментальных проблем информатики является разработка математических оснований языков программирования, хотя за полвека получено много результатов как в теории, так и в практических применениях. Популярная теоретико-множественная денотационная семантика хороша для чисто функциональных языков, но неадекватна или громоздка для формализации имен, ссылок, являющихся основой объектно-ориентированного программирования. Обсудим эти проблемы и отметим альтернативные назревающие подходы, в том числе, на основе теории категорий. Эта тема волнует докладчика (вместе с соавторами) в связи с построением системы программирования со входным языком, обладающим определенными свойствами, ценными как с теоретической, так и с практической точек зрения.


A.V.Klimov (Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences)

In pursuit of mathematical foundations of programming languages: Is set theory adequate for formalizing names, references, and object-oriented programming?

Abstract

One of the not quite solved fundamental problems of computer science is the development of mathematical foundations of programming languages, although for half a century many results have been obtained in both theory and practical applications. The set-theoretic denotational semantics are good for purely functional languages, but are inadequate or cumbersome for formalizing names, references, being the basics of object-oriented programming. We will discuss these problems and note alternative approaches, including those based on category theory. This topic is relevant for the speaker (along with co-authors) in connection with the construction of a programming system with input language with certain properties, valuable from both theoretical and practical points of view.

March 31, 2021/31 марта 2021 г.

Slides

Г.И.Малашонок (Национальный университет Киево-Могилянская академия)

Об алгебраической и алгоритмической классификации матричных алгоритмов

Аннотация

В связи с ростом размеров матриц, которые используются в приложениях, полезно тщательно различать некоторые группы матричных алгоритмов. Мы предлагаем использовать алгебраическую классификацию, как основной способ группировки матричных алгоритмов. С алгоритмической точки зрения мы предлагаем особо выделить класс блочно-рекурсивных алгоритмов. Эти алгоритмы позволяют обеспечить однородную загрузку вычислительного кластера, решить задачу защиты от отказа его отдельных узлов и кроме того, они имеют сложность матричного умножения.


G.I.Malaschonok (National University Kyiv-Mohyla Academy)

On the algebraic and algorithmic classification of matrix algorithms

Abstract

Due to the growing size of the matrices used in applications, it is useful to carefully distinguish between some groups of matrix algorithms. We propose to use algebraic classification as the main way to group matrix algorithms. From an algorithmic point of view, we propose to highlight the class of block-recursive algorithms. These algorithms make it possible to ensure a uniform load of a computing cluster, to solve the problem of protecting against failure of its individual nodes, and, in addition, they have the complexity of matrix multiplication.

February 24, 2021/24 февраля 2021 г.

Г.Погудин (Эколь Политехник)

Идентифицируемость параметров в системах ОДУ при помощи проекций

Аннотация

Параметр (или функция от нескольких параметров) в параметрической модели называется структурно идентифицируемым, если его значение может быть в принципе найдено на основе данных наблюдений в предположении идеально точных данных. Это свойство является естественным необходимым условием для успешного определения значения параметра на практике. В рамках доклада мы будем рассматривать модели, заданные системами ОДУ.

Один из стандартных подходов к анализу идентифицируемости таких моделей основан на рассмотрении соотношений между входами и выходами модели. Для нелинейных моделей, как правило, в качестве таких соотношений берутся элементы характеристического множества дифференциального идеала всех соотношений между входами и выходами. Эти соотношения могут вычислены, например, с помощью классического алгоритма Розенфельда-Грёбнера. На практике вычисление характеристического множества является узким местом в этом подходе, так как алгоритм Розенфельда-Грёбнера не заточен специально под системы ОДУ. Мы предлагаем другой набор соотношений между входами и выходами, который мы называем ВВ-проекциями. Нами был разработан и реализован новый алгоритм исключения неизвестных специально для систем ОДУ, который вычисляет эти проекции. Использование этого алгоритма позволило нам проанализировать идентифицируемость параметров в моделях, для которых раньше это не было возможно.

Это совместная работа с Рувеном Донгом, Кристианом Гудбрейком и Хивер Хэррингтон.


:!: How to connect to ZOOM video conferencing can be found at the Getting Started page. You can download the ZOOM application from the download link.

G.Pogudin (Ecole Polytechnique)

Parameter identifiability via input-output projections

Abstract

A parameter (or a function of parameters) in a parametric model is called structurally identifiability if the value of the parameter can be determined uniquely from observations in the absence of noise. This property is a natural prerequisite for a meaningful parameter estimation. In this talk, we will consider models described by parametric ODEs.

One of the standard approaches to analyze structural identifiability of an ODE model is via examining input-output relations of the model. For nonlinear models, one typically uses the relations forming a characteristic set of the differential ideal of all the relations between the input and output variables which can be computed using the classical Rosenfeld-Groebner algorithm. Computing a characteristic set is usually a bottleneck of this approach because the Rosenfeld-Groebner algorithm is a general and versatile algorithm not tailored to ODE systems. We propose to use a different set of relations between inputs and outputs which we call input-output projections. We design a new elimination algorithm dedicated to ODE systems to compute these input-output projections. This allows us to assess parameter identifiability for models that could not be tackled before.

This is joint work in progress with Ruiwen Dong, Christian Goodbrake, and Heather Harrington.

January 20, 2021/20 января 2021 г.

Slides

Б.С.Бардин (Московский авиационный институт (технический университет)), А.С.Кулешов (Механико-математический ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова)

Применение алгоритма Ковачича для исследования движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случае Гесса

Аннотация

В 1890 году немецкий математик и механик В. Гесс указал новый частный случай интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона движения тяжёлого твердого тела с неподвижной точкой. В 1892 году П.А. Некрасов показал, что решение задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой при условиях Гесса сводится к интегрированию линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. В докладе мы даём вывод соответствующего уравнения второго порядка и показываем, как привести коэффициенты этого уравнения к виду рациональных функций. Затем при помощи алгоритма Ковачича мы исследуем вопрос о существовании лиувиллевых решений у соответствующего линейного уравнения второго порядка. Показано, что лиувиллевы решения могут существовать лишь в двух случаях: в случае, соответствующем случаю Лагранжа движения твердого тела с неподвижной точкой и в случае, когда постоянная интеграла площадей равна нулю.


B.S.Bardin (Moscow Aviation Institute (Technical University)), A.S.Kuleshov (Department of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University)

Application of the Kovacic algorithm for the investigation of motion of a heavy rigid body with a fixed point in the Hess case

Abstract

In 1890 German mathematician and physicist W. Hess found new special case of integrability of Euler – Poisson equations of motion of a heavy rigid body with a fixed point. In 1892 P.A. Nekrasov proved that the solution of the problem of motion of a heavy rigid body with a fixed point under Hess conditions reduces to integrating the second order linear differential equation. In this presentation we derive the corresponding second order linear differential equation and reduce its coefficients to the rational form. Using the Kovacic algorithm, we proved that the liouvillian solutions of the corresponding second order linear differential equation exists only in the case, when the moving rigid body is the Lagrange top, or in the case when the constant of the area integral is zero.

December 23, 2020/23 декабря 2020 г.

Slides

А.И.Овчинников (Городской университет Нью-Йорка)

Вычисление идентифицируемых функций параметров для обыкновенных дифференциальных уравнений

Аннотация

Параметры структурно идентифицируемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно вычислить, используя уравнения системы и точные данные измерений. Не всякая система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет идентифицируемые параметры. Проведение проверки на идентифицируемость - важный первый шаг для оценки и, если потребуется, для корректировки системы, чтобы после этого можно было провести достоверное практическое вычисление численных значений параметров. При наличии неидентифицируемости важно отыскать все идентифицируемые функции параметров. Существующие алгоритмы могут проверить идентифицируемость заранее заданных функций параметров и, при выполнении специального условия разрешимости, найти все идентифицируемые функции. Мы рассмотрим алгоритм, вычисляющий все идентифицируемые функции без требования выполнения дополнительных условий. В докладе будут представлены результаты совместной работы с А. Пиллэем, Г. Погудиным и Т. Скэнлоном.


A.I.Ovchinninkov (City University of New York)

Computing identifiable functions of parameters for ODE models

Abstract

A structurally identifiable ODE model with parameters has the property that the parameters can be determined from the model equations and noiseless data. Not every ODE model has this property. Performing identifiability analysis is an important first step in evaluating and, if needed, adjusting the model before a reliable practical parameter identification (determining the values of the parameters) is performed. In the presence of nonidentifiability, it is important to find all functions of the parameters that are identifiable. The existing algorithms check whether a given function of parameters is identifiable or, under the solvability condition, find all identifiable functions. We will present an algorithm that computes all identifiable functions without any additional assumptions. This is joint work with A. Pillay, G. Pogudin, and T. Scanlon.

November 18, 2020/18 ноября 2020 г.

Slides

Н.М.Глазунов (ИК им. Глушкова НАНУ, Киев)

Компьютерная интервальная алгебра задач минимизации

Аннотация

Дается краткий обзор алгебраических основ компьютерных интервальных арифметик и методов их реализации. Представляется реализация интервальных арифметик на различных классах ЭВМ. Кратко обсуждаются интервальные расширения вычислительных методов. Представляются и обсуждаются избранные методы интервального анализа. Представляется разработанная автором категорно-алгебраические основы интервальных вычислений. Рассматривается их применения к решению задачи (связанной с одной проблемой Г. Минковского) параметризации множества минимумов некомпактной вещественной выпуклой поверхности с границей при её вложении в трехмерное вещественное пространство.


N.M.Glazunov (Glushkov Cybernetics Institute NASU, Kiev)

Computer interval algebra of minimization problems

Abstract

A brief overview of the algebraic foundations of computer interval arithmetic and methods of their implementation is given. The implementation of interval arithmetic on various classes of computers is presented. Interval extensions of computational methods are briefly discussed. Selected methods of interval analysis are presented and discussed. The author presents the categorical-algebraic foundations of interval calculations. We consider their applications to the solution of a problem (related to a problem by H. Minkowski) of parametrization of the set of minima of a non-compact real convex surface with a boundary when it is embedded in a three-dimensional real space.

October 7, 2020/7 октября 2020 г.

Slides

А.Б.Батхин (Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша)

Инвариантные координатные подпространства нормальной формы системы ОДУ

Аннотация

Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с невырожденной линейной частью вблизи положения равновесия в общем и в гамильтоновом случаях. Для этих двух случаев ставится задача отыскания инвариантных координатных подпространств в координатах нормальной формы. Доказаны теоремы о существовании инвариантных координатных подпространств с явно сформулированными условиями. Рассмотрены примеры с различными случаями резонансов между собственными частотами линеаризованной части системы ОДУ. Описана техника определения резонансных соотношений с использованием q-субдискриминантов и алгоритм её реализации в системах компьютерной алгебры. Приведен пример определения резонансных соотношений для модельной колебательной системы с шестью степенями свободы.


A.B.Batkhin (Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS)

Invariant coordinate subspaces of normal form of a system of ODE

Abstract

We consider a system of ordinary differential equations (ODEs) with non-degenerate linear part near its stationary point in two cases: in general case and in Hamiltonian case. For these two cases the problem of existence of an invariant coordinate subspace in the coordinates of normal form is considered. The theorems of existence of invariant coordinate subspaces with explicit conditions are proven. Some examples with different cases of resonances between eigenvalues of the linear part of the system of ODE are considered. A technique for determination certain resonance relations with the help of q-subdiscriminants is presented. An example of determination of resonance relations is given for a certain model system with six degrees of freedom.

May 27, 2020/27 мая 2020 г.

Slides

А.Крюков, Г.Шпиз (НИИЯФ МГУ)

Проблема упрощения алгебраических выражений с индексами в компьютерной алгебре

Аннотация

В докладе развивается подход авторов на случай когда индексы в выражениях можно разделить на несколько множеств, действующих в различных пространствах имен. Простейшим примером такого разделения может быть верхние и нижние индексы у тензорных выражений. Основная идея предложенного подхода - это использование (раскрашенного) структурного графа, для получения набора канонических наименований (нумераций) индексов суммирования, который определен с точностью до автоморфизма структурного графа. После чего построение канонической формы выражения с индексами сводится к приведению к канонической форме входящих в него символов и применению операторов усреднения, связанных с группой атоморфизмов структурного графа.


A.Kryukov, G.Shpiz (SINP MSU)

The problem of simplification of algebraic expressions with indices in computer algebra

Abstract

The report develops the authors' approach to the case when indexes in expressions can be divided into several sets acting in different namespaces. The simplest example of such a separation can be the superscripts and subscripts of tensor expressions. The main idea of ​​the proposed approach is the use of a (colored) structural graph to obtain a set of canonical names (numbers) of summation indices, which is defined up to an automorphism of the structural graph. After that, the construction of the canonical form of the expression with indices is reduced to the canonical form of the symbols included in it and the application of averaging operators associated with the group of atomorphisms of the structural graph.

March 11, 2020/11 марта 2020 г.

А.Е.Панкратьев (МГУ им. М.В.Ломоносова, механико-математический факультет)

О сложности проверки полиномиальной полноты конечных квазигрупп

Аннотация

Для криптографических приложений особый интерес представляют полиномиально (функционально) полные алгебраические структуры, поскольку для них проблема распознавания разрешимости системы уравнений является NP-полной. Как следствие, использование таких структур в качестве платформы обеспечивает высокую криптографическую стойкость. Доклад посвящен обсуждению сложности проверки свойства полиномиальной полноты для конечных квазигрупп.

—————————————————————————————————

A.E.Pankratiev (Lomonosov Moscow State University)

The complexity of decision of the polynomial completeness of finite quasigroups

Abstract

Of particular interest in cryptographic applications are polynomially (functionally) complete algebraic structures, since the problem of deciding whether a system of equations over a functionally complete algebra is NP-complete. For this reason, cryptographic systems based on such structures are rather strong. In our talk we discuss the complexity of deciding the polynomial completeness of a finite quasigroup.

February 12, 2020/12 февраля 2020 г.

Paper

А.И.Зобнин (факультет компьютерных наук НИУ ВШЭ)

Линейная алгебра в задачах векторного представления слов

Аннотация

В прикладных задачах, связанных с автоматической обработкой текстов, слова заменяются действительными векторами сравнительно небольшой размерности, такими, что семантическая и синтаксическая близость слов соответствует геометрической близости векторов. Обычно такие векторы получаются из слоёв нейронной сети, или из низкоранговых разложений матриц. Мы рассмотрим две базовых модели построения таких векторов - SVD-разложение PPMI-матрицы и word2vec SGNS. Проанализировав первую модель, мы предложим модификацию второй модели, исключив из нее векторы контекстов. Для этого нам понадобятся теоремы из классической линейной алгебры.

—————————————————————————————————

A.I.Zobnin (Faculty of Computer Science, Higher School of Economics)

Linear algebra and word embeddings

Abstract

In natural text processing applications words are usually embedded into space of real vectors of relatively small dimension, such that the semantic and syntactic similarity of words corresponds to the geometric similarity of vectors. Usually such vectors are obtained from layers of the neural network, or from low-rank matrix decompositions.

We consider two basic models for constructing such embeddings: SVD of the PPMI matrix and word2vec SGNS. After analyzing the first model, we propose a modification of the second model, excluding context vectors from it. To do this, we use theorems from classical linear algebra.

January 10, 2020/10 января 2020 г.

А.А.Михалев (Механико-математический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова)

Комбинаторика слов и стандартные базисы идеалов свободных алгебр

Аннотация

Мы обсудим приложения комбинаторики слов к проблеме построения стандартных базисов идеалов свободных (некоммутативных) алгебр многообразий линейных алгебр над полем. В качестве примеров будут рассмотрены свободная неассоциативная алгебра, свободные алгебры и супералгебры Ли.

—————————————————————————————————

A.A.Mikhalev (Faculty of Mechanics and Mathematics, M.V.Lomonosov Moscow State University)

Combinatorics of words and standard bases of ideals of free algebras

Abstract

We discuss applications of combinatorics of words to the problem to constract standard bases of ideals of free (noncommutative) algebras in varieties of linear algebras over a field. As examples we consider the free nonassociative algebra, free Lie algebras and superalgebras.

December 23, 2019/23 декабря 2019 г.

Slides

А.И.Овчинников

Определимость параметров в ОДУ при помощи дифференциальной алгебры

Аннотация

ОДУ с параметрами широко используются при моделировании. Определимость параметров - структурное свойство модели по восстановлению значений параметров по данным. Это свойство следует проверять перед попыткой определить значения параметров на практике. Мы обсудим основы определимости параметров, используя методы дифференциально алгебры. Мы также рассмотрим сложности в использовании определимости параметров на практике и способы их преодоления при помощи дифференциальной алгебры.


A.I.Ovchinnikov

Identifiability of parameters in ODEs with differential algebra

Abstract

ODEs with parameters appear widely in modeling. Parameter identifiability is a structural property of a model for recovering the values of parameters from the data. This property is a prerequisite for meaningful parameter identification in practice. We will discuss the basics of this using techniques from differential algebra. We will also address recently discovered subtleties in using parameter identifiability in practice and how we can overcome them with differential algebra.

November 27, 2019/27 ноября 2019 г.

Slides

C.Ф.Aдлай

Механическая интерпретация и эффективное вычисление эллиптических интегралов третьего рода

Аннотация

В недавней работе «замечание о круговых сечениях» (http://iitp.ru/upload/publications/8014/PlaneSection11.pdf) А.В. Селиверстовым было предложено расширенное толкование оси Галуа, которая (как отмечается в работе) была введена с целью иллюстрации критического движения трёхосного твёрдого тела. В работе также упоминается, что название (Галуа) было дано в связи с эллиптическими интегралами (третьего рода), которые могут быть наделены новой (механической) интерпретацией. Нашей целью станет дальнейшее прояснение этой связи и выявление «алгебраических свойств» эллиптического интеграла третьего рода, как «общего случая» эллиптического интеграла. Следует подчеркнуть, что арифметико-геометрическое среднее (АГМ), модифицированное арифметико-геометрическим среднее (МАГМ) и обобщённое арифметико-геометрическое среднее (ОАГМ) являются многозначными функциями, как и эллиптические интегралы, которые мы стремимся быстро вычислить, пользуясь точными «замкнутыми» формулами.


S.F.Adlaj

Mechanical interpretation and efficient computation of elliptic integrals of the third kind

Abstract

In a recent work «Note on circular sections» (http://iitp.ru/upload/publications/8014/PlaneSection11.pdf) A.V. Seliverstov proposed an extended interpretation of the Galois axis, which (as noted in this work) was introduced for illustrating the critical motion of a triaxial rigid body. He also indicates that the naming (Galois) was given in connection with elliptic integrals (of the third kind) which might be endowed with a new (mechanical) interpretation. Our goal is to further clarify this connection and to identify the «algebraic properties» of the elliptic integral of the third kind, being a «general case» of elliptic integrals. We emphasize that the arithmetic-geometric mean (AGM), the modified arithmetic-geometric mean (MAGM), as well as, the generalized arithmetic-geometric mean (GAGM) are multivalued functions, as are the elliptic integrals, which we aim to evaluate swiftly via exact «closed» formulas.

October 23, 2019/23 октября 2019 г.

Slides (Stefanescu), Slides (Gutnik)

1. Д.Штефанеску (Бухарестский университет, Румыния)

Вычислительные аспекты теории полиномов

Аннотация

Обсуждаются вычислительные проблемы получения границ для корней полиномов одной переменной с комплексными коэффициентами и получения оценок размера полиномиальных делителей. Здесь оказывается существенным вопрос о границах положительных корней полиномов с вещественными коэффициентами. В связи с этим обсуждаются границы, предложенные Лагранжем и Бретом. Излагаются полученные Серджеску обобщения оценок Брета и обобщение R+r-границ Лагранжа, данное Батра, Миньоттом и Штефанеску. Приводится краткое обоснование R+r-границ, устанавливаются вычислительные возможности результатов Лагранжа, обсуждаются подходы к их расширению.

Помимо этого, предлагаются новые оценки для размера (понимаемого по-разному при рассмотрении разных задач) делителей полиномов одной переменной с целыми коэффициентами. Эти оценки полезны для полиномиальной факторизации.

2. С.А.Гутник (Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет))

Динамика движения спутника относительно центра масс с пассивными системами ориентации

Аннотация

В докладе представлены символьно-численных методы исследования динамики движения относительно центра масс спутника-гиростата, спутника подверженного действиям аэродинамического момента, постоянного момента, активного управляющего момента и составной схемы спутник-стабилизатор.


1. D.Stefanescu (University of Bucharest, Romania)

Some computational aspects of polynomials

Abstract

We discuss some computational aspects concerning the bounding of roots of univariate polynomials with complex coefficients and on the estimation of the size of polynomial divisors.

We look to some bounds for positive roots of univariate polynomials with real coefficients. We shall discuss the bounds of Lagrange and Bret. Then we shall present the generalizations on Bret's bounds obtained by ive Sergescu and those of the bound R+r of Lagrange given by Batra-Mignotte-Stefanescu. We give a short proof of the bound R+r and we establish the computational quality of Lagrange's results and its improvements.

On the other hand we propose new bounds for the size of polynomial divisors of a univariate polynimial over the integers. These bounds are useful in polynomial factorization.

2. S.A.Gutnik (Moscow Institute of Physics and Technology)

The dynamics of satellite motion relative to the center of mass with passive orientation systems

Abstract

The report presents symbolic-numerical methods for studying the dynamics of a gyrostat satellite, a satellite subject to aerodynamic moment, constant moment, active control moment, and a satellite-stabilizer movement along a circuit orbit.

September 18, 2019/18 сентября 2019 г.

Slides

Заседание семинара было посвящено памяти С.Н.Перепечко.

А.В.Селиверстов (Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук)

Матрицы Гессе приводимых многочленов третьей степени

Аннотация

Целью этого доклада служит описание некоторых свойств матриц Гессе многочленов над полем вещественных чисел. Рассмотрим свободный от квадратов многочлен третьей степени над полем вещественных чисел. Если его матрица Гессе знакоопределена в некоторой вещественной точке, то проективное замыкание множества нулей этого многочлена не содержит вещественной особой точки на бесконечно удалённой гиперплоскости. Более того, для почти каждого приводимого многочлена третьей степени от нескольких переменных над полем вещественных чисел, его матрица Гессе знакоопределена в некоторой вещественной точке тогда и только тогда, когда проективное замыкание множества нулей этого многочлена не содержит вещественной особой точки на бесконечно удалённой гиперплоскости.


A.V.Seliverstov (Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute))

Hessian matrices of reducible third degree polynomials

Abstract

The report is aimed at describing some properties of Hessian matrices of polynomials over the field of real numbers. Let us consider a square-free third degree polynomial over the field of real numbers. If its Hessian matrix is definite at some real point, then the projective closure of the vanishing locus of this polynomial does not contain any real singular point at infinity. Moreover, for almost every reducible multivariate third degree polynomial over the field of real numbers, its Hessian matrix is definite at some real point if and only if the projective closure of the vanishing locus of the polynomial does not contain any real singular point at infinity.

Archive/Архив

start.txt · Последние изменения: 2022/06/22 09:49 — sa
 
За исключением случаев, когда указано иное, содержимое этой вики предоставляется на условиях следующей лицензии: Public Domain
Recent changes RSS feed Donate Powered by PHP Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki