Если группа имеет индекс F, то в силу (2) наблюдавшиеся фактически покупки Xt и цены Pt товаров этой группы (торговая статистика), должны удовлетворять неравенствам:
F( Xt ) >= F(Xs) для всех t,s таких, что (7)
( Ps Xt ) >= ( Pt Xt )
Проблема состояла в "исключении" из этих неравенств не известной заранее функции F. Было установлено, что соотношения (7) будут выполнены для некоторой вогнутой однородной функции F тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные числа Lt, удовлетворяющие неравенствам
Ls ( Ps Xt ) >= Lt ( Pt Xt ) s,t = 0,...,T (8)
При этом числа Lt можно считать значениями индекса цен группы в момент t, Lt = L(Pt), см. (5), а индекс группы можно задать в виде
F(X) = Min |t ( Pt X / Lt) (9)
Система (8) содержит (T+1)^2 условий на T+1 неизвестных Lt. Поэтому, чем длиннее ряд торговой статистики, тем труднее удовлетворить условиям (8). В пределе, когда значения Pt плотно заполняют целую область в пространстве цен, разрешимость (8) эквивалентна выполнению закона Хикса и условий интегрируемости. Таким образом, если система (8) окажется совместной для достаточно мощного корпуса статистики, мы имеем очень веские основания полагать, что это не случайное совпадение, и индекс у данной группы товаров действительно существует. Проведенные эмпирические исследования [9 - 11] показали, что для естественных групп (например, продовольственные товары) индексы существуют, причем агрегированные индексы продукта и цен меняются со временем более плавно, чем цены и объемы покупок каждого из товаров группы. Существует, как правило, и индекс всей совокупности товаров, представленных в торговой статистике, т.е. однородная функция полезности F. Это в свою очередь позволяет корректно определить такие важные величины, как уровень жизни и общий темп инфляции. Из последнего правила, впрочем, обнаружены [10] знаменательные исключения. Например, если исключить из торговой статистики Швеции данные за несколько лет, то она агрегируется в один индекс. Эти годы падают на период "великой депрессии" начала 30-х гг. Из этого наблюдения можно сделать вывод, что пока рынок стабилен, потребители ведут себя рационально в соответствии с единым критерием полезности. Когда же в экономике кризис и происходит структурная перестройка производства, потребление тоже перестраивается и единый критерий полезности временно исчезает. Рассматривая интегрируемые группы, мы не обязаны считать, что их иерархия всегда увенчивается глобальной функцией полезности F. Приняв предположение C, мы можем отказаться от предположения B. Нетривиальные экономические свойства ситуации, когда есть отдельные интегрируемые группы, но нет общей функции полезности, рассмотрены в [7 - 12].