Рассмотрим m видов товаров. Обозначим через X = ( X1, ... , Xm ) произвольный набор из этих товаров, а через p = ( p1, ... , pm ) - вектор их цен. Потребительское поведение будем определять с помощью функций спроса X( P ) = ( X 1( p ), ..., Xm( p ) ), определяющих зависимость объемов покупок потребителей от цен, или обратных функций спроса P( X ) = (P1( X ), ..., Pm( X ) ) (при этом X( P( X ) ) = X ).
Говорят, что обратные функции спроса P( X ) удовлетворяют гипотезе о рациональности поведения, если существует такая функция полезности F( ) , что X является решением следующей задачи о максимизации этой функции по всевозможным наборам товаров Y = ( Y1, ..., Ym ) >= 0 , удовлетворяющим бюджетному ограничению P( X ) Y <= P(X) X . (Величина P(X) X показывает сумму фактически потраченных потребителем денег.)
Ниже мы рассматриваем эту гипотезу при дополнительных требованиях на функцию полезности: она должна быть непрерывной, вогнутой, положительно однородной первой степени и положительной на 
. Однородная положительная функция полезности, если она существует, может быть использована как естественный скалярный соизмеритель объемов товаров данной группы - индекс потребления. Сопряженная функция
(10)оказывается индексом цен этой группы, поскольку Q( P( X ) ) F( X ) == P( X ) X.
Из условий максимума функции полезности следует, что 1 / Q( p ) является интегрирующим множителем дифференциальной формы P(X) dX:
Исходной информацией для вычисления индексов цен и объемов служит торговая статистика, т.е. временные ряды цен и объемов покупок { pt, Xt}, t = 0,... ,T данной группы товаров. Торговая статистика отвечает гипотезе о рациональном поведении, если ее можно продолжить до функций спроса P( ), pt = P( Xt ), удовлетворяющих гипотезе о рациональности поведения. В основе непараметрического метода анализа структуры потребительского спроса лежит
Теорема Африата - Вериана (см. [13]). Следующие утверждения эквивалентны:
торговая статистика { pt, Xt}, t = 0,... ,T удовлетворяет гипотезе о рациональном поведении;
для любого упорядоченного набора моментов времени 0<= t1< t2 < ...< tk <=T выполняются неравенства
(Pt1 Xt2)(Pt2 Xt4)...(Ptk Xtl) >= (Pt1 Xt1)(Pt2 Xt2)...(Ptk Xtk) (12)
существует решение (L0, ... , LT) системы линейных неравенств:
Ls ( Ps Xt ) >= Lt ( Pt Xt ) s,t = 0,...,T . (13)
По любому положительному решению системы (13) можно построить функцию полезности, порождающую статистику
{ Pt, Xt}, t = 0,... ,T. Например, F( X) = Min |t Lt pt Xt, а также временные ряды индексов цен Qt = Q( pt ) = 1 / Lt и индексов потребления Ft = F ( Xt ) = Lt Pt Xt , которые учитывают изменения структуры потребления (см. [2]).
Кроме того, при выполнении гипотезы о рациональном поведении может быть поставлена и решена задача о задача о прогнозировании по вектору цен вектора объемов покупок, удовлетворяющего вместе с наблюдавшейся торговой статистикой гипотезе о рациональном поведении (см. [7]). Решение этих задач осуществляется с помощью эффективного вычислительного алгоритма Варшалла - Флойда, который имеет полиномиальную сложность.