Применение многомерного комплексного анализа к исследованию и решению задач математической физики основывается на введении алгебраической структуры многомерного комплексного пространства в пространстве исходных действительных координат и изучаемых величин. В случае нечетномерного исходного пространства оно вкладывается в четномерное с последующим условием независимости изучаемых величин от дополнительных координат. Аналогом является плоская задача теории упругости для трехмерного бесконечного цилиндра или тела все сечения которого плоскостями перпендикулярными третьей оси принадлежат области решения плоской задачи. Естественно, что граничные условия для таких трехмерных тел определяются по решению плоской задачи и по конфигурации границы трехмерных тел.
На следующем этапе применения многомерного комплексного анализа исходные дифференциальные уравнения и граничные условия (вместе с возможными условиями независимости от некоторых действительных координат) записываются с помощью операторов Коши в комплексной форме. Если полученные дифференциальные уравнения представляют собой результат применения всех операторов Коши (по всем комплексным переменным) от некоторого выражения, то это выражение является антиголоморфной функцией, что позволяет снизить порядок производных в исходных уравнениях, получив своего рода "первый интеграл". В ряде случаев может помочь введение дополнительной функции вместе с дополнительной координатой. Таким образом может быть получено общее решение исходных уравнений, выраженное через одну или несколько голоморфных (аналитических) функций.
Однако далеко не для всех уравнений в частных производных такой путь возможен. Более общим является разложение искомых комплекснозначных функций в ряд по некоторой системе голоморфных в изучаемой области функций с коэффициентами, являющимися антиголоморфными функциями. В качестве такой системы голоморфных функций выбирались степенные функции в диссертациях А.И.Александровича (МГУ им. М.В.Ломоносова), А.М.Семова (МГУ им. М.В.Ломоносова) и А.Ю.Родионова (МИЭМ). Выбор степенных функций приводит к системе зацепляющихся дифференциальных уравнений относительно антиголоморфных коэффициентов. Решение полученной бесконечной системы, т.е. выражение всех антиголоморфных коэффициентов через независимые голоморфные функции приводит как показано в диссертациях для трехмерных упругих, не связанных и связанных термоупругих задач к выражению общего решения исследованных уравнений через конечное число голоморфных функций. Применение не степенных голоморфных систем также приводит к бесконечным системам относительно антиголоморфных коэффициентов, которые могут также зацепляться или распадаться на независимые подсистемы. Это зависит от исходной системы уравнений и свойств используемой системы голоморфных функций.
Полученное представление общего решения через голоморфные функции позволяет использовать аппарат аналитических функций многих комплексных переменных для исследования краевых задач и получения частных решений. Одним из важных свойств голоморфных функций двух и более комплексных переменных (в отличие от одного комплексного переменного) является возможность аналитического продолжения любой голоморфной функции через некоторые части границ в оболочку голоморфности области, которая имеет, как правило, более простую конфигурацию. Кроме того, например, если оболочка голоморфности представляет собой бикруг, то любая голоморфная функция может быть восстановлена в бикруге по своим значениям на остове бикруга. Эти и другие теоремы дают возможность решать краевые задачи как в рядах так и получая интегральные уравнения с помощью интегральных представлений Лере или Мартинели-Бохнера для голоморфных функций.
Подробности и численные результаты по применению многомерного комплексного анализа к краевым задачам трехмерной теории упругости и термоупругости приведены в диссертациях А.И.Александровича, А.М.Семова, А.Ю.Родионова. Кроме того некоторые идеи и результаты изложены в статьях.
Разработан метод расчета напряженно-деформированного состояния при упруго-пластическом деформировании изделий с тонким резиноподобным покрытием, дающий возможность решать сложные контактные задачи для тел имеющих сильно неоднородные и нелинейные свойства. Этот метод названный методом локальных функционалов отличается от классического метода конечных элементов тем, что в узлах координатной сетки вычисляются обобщенные силы соответствующие полю напряжений, а затем узлы смещаются в направлении противоположном обобщенным силам, обеспечивая тем самым процесс минимизации этих сил, которые для простых материалов можно трактовать как локальные градиенты энергии. На контактной поверхности смещение узлов происходит в направлении обеспечивающем минимизацию невязки граничных условий, при этом легко реализуется условие непроникновение узлов в штампы, сведение или разведение которых определяет исследуемый процесс деформирования, а так же возможность узлам отходить от штампов. Таким образом этот метод применим и в тех случаях, когда исследуемая краевая задача не сводится к минимизации некоторого гладкого функционала.
Основной особенностью разработанного метода является смещение подобластей области занятой деформируемым телом как абсолютно твердых в соответствии с главным вектором и главным моментом обобщенных сил, действующих на границе этих подобластей. Это позволяет решать задачи для тел имеющих один или два размера много меньших чем другие без использования гипотез, свойственных прочностным расчетам балок, пластин и оболочек. В связи с тем, что деформированное состояние определяется не по полю вектора смещения, а по координатам исходной и деформируемой сетки, легко реализуются различные меры деформации от процесса изменения которых зависит напряженное состояние. Предложенный метод реализован для рассчета процесса изготовления и оценки остаточных напряжений в прокладках автомобильных моторов по заказу фирмы "Victor-Reinz", и показал хорошее совпадение расчетных параметров с имеющимися у фирмы экспериментальными параметрами процесса штамповки.
Результаты применения метода к некотрым конкретным задачам опубликованы в:
Разработана концепция квантогого математического описания социально-исторических процессов, отличающаяся от квантогого описания процессов, происходящих в микромире тем, что алгебра наблюдаемых реализуемая в квантовой механике в виде алгебры самосопряженных операторов на комплексном гильбертовом пространстве, заменена на алгебру Ли кососимметричных матриц. Разработанная концепция имеет как классическая механика и квантовая теория микромира две картины движения. Подробно изучена картина соответствующая подходу Гамильтона в классической механике или Гейзенберга в квантовой механике, основанная на том, что состояние системы не изменяется, а изменяются во времени наблюдаемые.
Процесс изменения наблюдаемой описывается обыкновенным дифференциальным матричным уравнением, решение которого преобразуется через состояние в изменение во времени плотности распределения вероятностей численного значения наблюдаемого социально-исторического объекта. Выбор алгебры наблюдаемых в виде множества кососимметричных матриц, предопределяет конечный и не изменяемый во времени спектр значений наблюдаемой. Описано так же дифференциально матричное уравнение соответствующее картине движения в которой наблюдаемые не изменяются во времени, а изменяется состояние системы, т.е. аналог картины движения Лиувилля в классической механике, или картины движения Шредингера в квантовой механике. В связи с разработанной концепцией введено понятие функции от кососимметричной матрицы отличающееся от классического определения функции матричного аргумента.
На численных примерах показано, что данная концепция описания эволюции социально-исторических объектов ( их численных значений ) хорошо описывает волнообразные изменения, характер которых определяется "социальной энергией", т.е. выделенной из алгебры наблюдаемых кососимметричной матрицей. Подробности этого подхода изложены в: