Сначала будем решать задачу планирования жизненного цикла когорты при фиксированной положительной численности купленного молодняка:

Чтобы избежать скачков фазовых переменных на оптимальной траектории, кроме естественного ограничения w(u,t) ≥ 0, введем еще ограничение сверху на скорость убоя w(u,t) ≤ S n(u,t), где S – сколь угодно большая, но фиксированная положительная величина. Ясно, что с содержательной точки зрения, убой с очень большим темпом эквивалентен мгновенному убою когорты. В полной модели мы будем использовать результаты решения задачи при S → ∞.

Функции m(.,.), k(.,.), β(.,.), λ(.,.) считаем достаточно гладкими и равномерно ограниченными вместе со всеми производными, которые нам понадобятся. Прогнозы цен p(u), q(u), s(u) мы считаем положительными достаточно гладкими функциями на [t, ∞), удовлетворяющими условию p(u) e^{- ρ u},  q(u) e^-ρ u,  s(u) e^-ρ u → 0 при u → ∞. Эта оценка естественна с экономической точки зрения. Если хозяйство ожидает инфляцию, т.е. систематический рост цен, то, будучи заинтересованным в реальном, а не номинальном доходе, оно должно увеличить коэффициент дисконтирования будущих доходов на величину ожидаемого темпа инфляции. Иначе говоря, в нормально функционирующей рыночной экономике процент по безрисковым активам ρ должен превосходить темп инфляции. Естественно считать, что и производные функций p(u), q(u), s(u) нужных нам порядков тоже растут не быстрее e ^ρ u. Далее удобно будет использовать обозначения

Согласно сделанным предположениям π(u), κ(u) – гладкие функции на [t, ∞), удовлетворяющие условиям: π(u),  κ(u) и их производные растут не быстрее e ^ρ u при u → ∞, κ(u) > 0. Введем еще обозначение Поскольку продолжительность жизни животных ограничена, считаем, что смертность δ(u) > 0 и с ростом u растет неограниченно, но медленнее любой экспоненты.

Заметим, что в силу уравнения (11) численность когорты со временем монотонно убывает, а значит, в силу ограничения (13) долг хозяйства растет не быстрее, чем цены. Поэтому естественно назвать пространством управлений задачи планирования жизненного цикла когорты множество U четверок функций ‹n(u), l(u), w(u), z(u)›, заданных на [t, ∞), таких что

Допустимым множеством D задачи планирования жизненного цикла когорты назовем подмножество элементов U, почти всюду на [t,∞) удовлетворяющих условиям

∂n(u) / ∂u = -δ(u) n(u) - w(u),

(19)

∂l(u)/∂u = -π(u) n(u) - κ(u) w(u) + z(u) + r l(u),

(20)

0 ≤ l(u), l(u) ≤ σ n(u) κ(u),  0 ≤ w(u), w(u) ≤ S n(u).

(21)

Из (10)–(13) видно, что это просто ограничения исходной задачи с уточнениями, введенными для исключения скачков фазовых переменных, переписанные в сокращенных обозначениях.

Утверждение 1. Допустимое множество D не пусто и на нем определен функционал

Доказательство: Допустимым является, например, набор функций, который получится, если положить w(u) = 0,  l(u) = 0 и определить z(u) из уравнения баланса (20), а n(u) – из дифференциального уравнения (19) с начальным условием 4 из (18). Пусть теперь ‹n(u), l(u), w(u), z(u)› – произвольный набор функций из D. Выразим z(u) из (20), подставим выражение в функционал (22) и, интегрируя по частям, уберем производную ∂l(u) / ∂u из-под интеграла. Верхняя подстановка обратится в 0 в силу оценки 3 из (18), и останется конечное выражение для функционала.

Оптимальным решением задачи планирования жизненного цикла когорты назовем точку максимума функционала (22) на множестве D.

Утверждение 2. Для оптимальности набора управлений A^* = ‹n(u), l(u), w(u), z(u)› достаточно существования набора измеримых двойственных переменных ψ₁(u), ψ₂(u) (к ограничениям-равенствам (19) и (20)), φ₁(u), φ₂(u), φ₃(u), φ₄(u) (к неравенствам (21)), таких, что:

• на пространстве решений U определен функционал Лагранжа, который в данном случае имеет вид
  
  £ = _t∫^∞ e ^{-(ρ + Λ) (u - t)} ·
  · [z(u) + ψ₁(u) (-δ(u) n(u) - w(u) - ∂n(u)/∂u) +
  + ψ₂(u) (-π(u) n(u) - κ(u) w(u) + z(u) + r l(u) - ∂l(u)/∂u)
  + φ₁(u) l(u) + φ₂(u) (σ n(u) κ(u) - l(u)) +
  + φ₃(u) w(u) + φ₄(u) (S  n(u) - w(u))] du -
  - q(t) n₀ + l(t)
  (23)
• набор управлений ‹n(u), l(u), w(u), z(u)› доставляет максимум функционалу Лагранжа по всему пространству управлений U;
• набор управлений ‹n(u), l(u), w(u), z(u)› почти всюду удовлетворяет ограничениям-равенствам – в данном случае (19) и (20);
• набор управлений ‹n(u), l(u), w(u), z(u)› и двойственных переменных к неравенствам почти всюду удовлетворяет условиям дополняющей нежесткости – в данном случае
  φ₁(u) l(u) = 0,   φ₁(u)≥ 0, l(u) ≥ 0
  φ₂(u) [σ n(u) κ(u) - l(u)] = 0,    φ₂(u)≥ 0, σ n(u) κ(u)-l(u) ≥ 0
  φ₃(u) w(u) = 0,   φ₃(u) ≥ 0, w(u) ≥ 0
  φ₄(u) [S n(u) - w(u)] = 0,   φ₄(u) ≥ 0, S n(u) - w(u)≥ 0.  
  (24)

Доказательство: Действительно, в силу условий дополняющей нежесткости A^* ∈ D и £[A^*] = J[A^*], а для любой другой допустимой точки A ∈ D   £[A^*] ≥ £[A] ≥ J[A].

Ниже мы предъявим набор двойственных переменных в явном виде, так что будем дальше рассуждать так, как будто двойственные переменные есть и обладают хорошими свойствами. В частности, будем искать такие двойственные переменные к равенствам, которые допускают интегрирование по частям (с нулевой верхней подстановкой) членов, содержащих производные прямых переменных. Выполняя интегрирование по частям получаем для лагранжиана выражение

Утверждение 3. Функционал (25) достигает максимума на U тогда и только тогда, когда почти всюду на [t, ∞) обращаются в 0 частные производные по n(u), l(u), w(u), z(u) подынтегрального выражения в (25) и производная этой величины по l(t), т.е.

Доказательство: Функционал Лагранжа (25) в данном случае линеен и достаточность условий (26) очевидна. Докажем необходимость, опровергая последовательно возможность нарушения каждого из этих условий.

Пусть не выполнено первое условие из (26). Это означает, что равенство не выполнено на множестве положительной меры и левая часть соответствующего уравнения в (26)

представляет ненулевой элемент пространства L₂^(ρ+Λ)(t, ∞) с весом
e^{-(ρ + Λ)(τ - u)}. Поскольку система функций полна в L₂^(ρ+Λ)(t, ∞), то существует ν такое, что Возьмем набор A из пространства управлений U, который отличается от A^* только заменами n(u) на
где κ некий коэффициент.

Тогда при соответствующем выборе знака κ в (30) мы получим £(A) > £(A^*), что противоречит условию того, что £ достигает максимума на U при A = A^*.

Аналогично доказывается необходимость для остальных управлений l(u), z(u), w(u).

Уравнения (19), (20), соотношения дополняющей нежесткости (24) и уравнения (26) образуют систему достаточных условий оптимальности для задачи планирования жизненного цикла когорты. Эта система, разумеется, включает все исходные ограничения на прямые переменные. Но она не содержит достаточного количества граничных условий на двойственные переменные (условий трансверсальности). Их заменяет требование того, чтобы функционал Лагранжа (23) был определен на всем пространстве управлений и допускал интегрирование по частям. Соотношения (26), очевидно, гарантируют, что для всех наборов функций из пространства управлений функционал (25) определен. Значит, остается только потребовать, чтобы его можно было преобразовать к виду (23) интегрированием по частям "в обратную сторону". Приступим к вычислению двойственных переменных.

V     Четвертое уравнение в условии (26) означает, что

Полагая, что это соотношение выполнено для всех u ∈ [ t, ∞), получаем, что функционал (25) допускает интегрирование по частям относительно ∂ψ₂(u) / ∂u и выполнено четвертое уравнение в условии (26).

V    Из (31) и второго уравнения в (26) получаем, что

Из последнего ограничения в (21) и уравнения (19)) следует, что при положительном начальном условии n(t) > 0 численность n(u) не обращается в 0. Тогда из первых двух условий в (24), вытекает, что φ₂(u) и φ₁(u) не могут быть положительными одновременно, а поскольку обе эти величины неотрицательны, из (32) следует, что
V     Из первых двух условий в (24) тогда получаем, что
V     Из положительности n(u), третьего и четвертого условий в (24) следует, что не могут быть одновременно положительными величины φ₄(u),φ₃(u), так что из третьего уравнения (26) и (31) Если φ₄(u) = 0, то скот не забивают (w(u) = 0), а если φ₃(u) = 0, то его забивают с максимальной скоростью: w(u) = S n(u).

V     Из содержательных соображений можно ожидать, что начинаться процесс должен с первого режима, а после некоторого момента u^* скот начинают забивать. Тогда при больших значениях u из первого и третьего условий в (26) с учетом (31) при φ₃3(u) = 0 получаем

где
V     При большом S все, кроме одного, решения первого уравнения в (36) растут как e^{S u} при u → ∞. При соответствующих ψ₁(u) функционал (23) не будет определен на всем пространстве управлений. Единственная возможность удовлетворить достаточным условиям оптимальности состоит в том, чтобы взять в качестве φ₄(u) при больших значениях u единственное решение первого уравнения в (36), которое может расти медленнее, чем e^{S u}. Это решение имеет вид
V     При больших S это выражение можно приближенно представить, пользуясь асимптотикой Лапласа. Именно, покажем, что где ε(u,S) – равномерно ограниченная функция.
ε(u, S) = S²[φ₄(u) - f(u) / S)]=                                    
= S ²[ _u∫ ^∞ f(x)exp( - _u∫ ^x(δ(ξ) + Λ + ρ + S)dξ)dx - _u∫ ^∞ f(u)e^-S(x-u)dx].
Преобразуя выражение для ε(u, S), получим

ε(u,S) = S²[_u∫ ^∞ (F(x,u) - F(u,u)) e^{-S(x - u)}dx ] =
         = S² _u ∫^∞(x - u) (∂ F(Θ(x, u, S), u) / ∂ x)e ^{- S(x - u)}dx]
где
F(x,u) = f(x) exp(- _u∫ ^x (δ(ξ) + λ + ρ)dξ).
∂ F(Θ,u) / ∂ x =|f^'(Θ) - f(Θ)(δ(Θ) + Λ + ρ) |exp( - _u∫ ^Θ (δ(ξ) + Λ + ρ)dξ) ≤

при Θ → ∞ (40) стремится к нулю, так как δ(Θ) растет медленнее любой экспоненты, а f(Θ) получаем из (37). Из (37) следует, что при больших u выражение f(u) становится положительным. Тогда исходя из (39) в этой области больших u будет положительным и φ₄(u). Предположим, что f(u) имеет простой корень. т.е., имеет единственный простой корень u = u₀. Тогда по теореме о неявной функции и из (40) следует, что φ₄(u) тоже имеет простой корень в точке u^* в близко u₀. Тогда из (38) неравенство φ₄(u) > 0 будет выполнено на интервале [u^*, ∞), где

Поскольку функция f(u) в точке u₀ меняет знак с "-" на "+", из (42) следует, что

V    Исходя из сделанных выше предположений о функциях π(u),κ(u),δ(u), нетрудно показать, что все члены в правой части (39) будут непрерывными функциями, растущими с ростом u не быстрее, чем exp(ρ u). Так же и ψ₁(u) будет ограниченной при u > u^*, а, значит, функционал Лагранжа (23) будет определен на пространстве управлений, если мы сможем продолжить функцию ψ₁(u) на отрезок[t, u^*] как абсолютно непрерывную с соблюдением условий оптимальности. На отрезке времени [t, u^*] животных не забивают: w(u) = 0, φ₄(u) = 0, – поэтому из (31) и третьего условий в (26) следует

Откуда

Поскольку на интервале [t, u^*) функция f(x) < 0 из (45) имеем φ₃(u) > 0. Итак, получено

Утверждение 4. Двойственные переменные ψ₁(u), ψ₂(u) (к ограничениям-равенствам (19) и (20)) и φ₁(u), φ₂(u), φ₃(u), φ₄(u) (к неравенствам (21)) существуют и имеют вид:

ψ₁(u) = { κ(u) + φ₃(u),  u  ∈   [t,  u^*]  
κ(u) - φ₄(u),  u \in ]u^*, ∞].
, ψ ₂(u) = -1,
φ₁(u) = [ρ + λ - r]_-, φ₂(u) = [ρ + λ - r]₊,
φ₃(u) = -_u∫ ^u*(f(x) exp(_x∫^u (δ(ξ) + λ + ρ)dξ)) dx,
φ₄(u) = _u∫^∞ f(x)exp(- _u∫^x (δ(ξ) + λ + ρ + S)dξ) dx,
где
f(u) = -(-δ(u)-ρ+[ρ+λ-r]+}σ- λ)κ(u)-π(u)-∂κ(u)/∂ u,
u^* = u₀-1 / S + O(1 / S²),  ψ₁(u^*) = κ(u^*),  f(u₀) = 0.

Следствие 1. В условиях утверждения 4 оптимальный в смысле (25) возраст убоя животных u^* определяется из (41).

Суммируя доказанное выше получаем

Утверждение 5. Если на (t, ∞) функция (37) один раз меняет знак с "-" на "+", то оптимальное решение задачи планирования жизненного цикла когорты существует и имеет вид: (34), ρ+Λ-r ≤ 0,

где

Задача планирования жизненного цикла когорты была решена при заданном положительном начальном значении n₀ = n(t). Эта величина фактически представляет собой еще одно управление хозяйства. Оптимальное значение функционала (22) J^* равно оптимальному значению лагранжиана (25). На оптимальной траектории интегральный член в (25) обращается в ноль, поэтому в силу (31), второго соотношения в (44), (45)

Максимизируя это выражение по n₀≥ 0 получаем

Утверждение 6. В условиях утверждения 5 оптимальная величина покупки молодняка хозяйством n(t) определяется следующим образом:

• если κ(t)- _t∫^u_* [f(x)exp(_x∫^t(δ(ξ) + Λ + ρ)dξ)]dx - q(t) > 0 ,
  то n(t) = 0;
• если κ(t)- _t∫^u_* [f(x)exp(_x∫^t(δ(ξ) + Λ + ρ)dξ)]dx - q(t) = 0 ,
  то n(t) ≥ 0 – любое;
• если n(t) {κ(t) - _t∫^u_* [f(x)exp(_x∫^t(δ(ξ) + Λ + ρ)dξ)]dx - q(t) } > 0,
  то задача определения оптимальной величины покупки молодняка не разрешима: формально n(t) = ∞.

Заметим, что оптимальное значение функционала равно нулю, что естественно, поскольку задача линейно однородна по управлениям.