Определение розничных цен на отечественный и импортный товар

Торговец и импортер конкурируют друг с другом на розничном рынке первого товара, потребителем на котором является экономический агент население. Объем продаж отечественного и импортного товара определяется величинами спроса на них со стороны населения.

Такую ситуацию можно описать игрой с двумя игроками. Выигрышем каждого из игроков является его прибыль от продажи товара на рынке, а стратегией - установление розничной цены, т.е. цены на отечественный товар ═и на импортный товар ═импортером и торговцем соответственно.

Оптимальные стратегии торговца и импортера, определяющие равновесие по Нэшу, находятся как решение задачи о максимизации прибыли торговца и импортера:

══════════════════════════════════ ═══════════════════════ (69)

где функции спроса на отечественный ═и импортный ═товар определяются из решения задачи о поведении населения.

Найдем решение задачи (69). Заметим, что согласно (32)

, .═══════ ═══════════════════════ (70)

Обозначим ═и . Тогда выражение, определяющее индекс цены (31) можно переписать в виде

══════ (71)

где .

Обозначим , , ═и перепишем задачу (69) в виде

══════════════════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (72)

Из (71) получим

,

.

Следовательно, , ═и

,

.

Приравнивая нулю производные, получим систему для определения решений задачи (72)

════════════════════════ ═══════════════════════ (73)

Заметим, что , ═и . Тогда система (73) эквивалентна системе

══ ═══════════════════════ (74)

откуда

═══════════════════════════════════════════ ══════════════════════ ═(75)

Учитывая, что ═(см. (30)), ═получим, что решение системы существует только при условии .

Проанализируем второе уравнение системы (75). Левая часть этого уравнения равна нулю при , монотонно возрастает, стремится к 1 при ═и к ═при . Правая часть уравнения обращается в ноль при , монотонно возрастает и стремится к ═при . При этом и правая и левая части уравнения являются вогнутыми функциями по . Учитывая очевидное соотношение , получим, что уравнение имеет единственное решение . Несложно заметить, что в этом случае ═и правая часть первого уравнения системы больше 1. Таким образом, в рассматриваемой области ═решение системы (75) существует и единственно.