Описание поведения домашних хозяйств

Экономический агент население (домашнее хозяйство) потребляет продукцию всех отраслей. При этом на розничном рынке 1-го товара продукция 1-й отрасли конкурирует с аналогичными импортными товарами. Предположим, что население распределяет свой спрос на 1-й продукт между отечественным и импортным товаром исходя из максимизации функции полезности , где ═- отечественный продукт в натуральном выражении, произведенный в 1-м секторе, ═- импортный продукт в натуральном выражении. Предполагается, что спрос на импортный продукт полностью удовлетворяется импортерами.

Спрос населения на отечественный и импортный товар определяется из решения следующей задачи

════════════════════════════════════════════════════════════════════ ══════════════════════════ (29)

где ═- расходы населения на 1-й продукт.

В качестве функции полезности будем рассматривать функцию класса CES

.═══════════ ══════════════════════════ (30)

Двойственной к функции полезности класса CES является функция, называемая индексом цены [4], вида

.═════════════ ══════════════════════════ (31)

Тогда решением задачи потребителя будут являться функции спроса на отечественный и импортный товар [4] вида

, .══════════════════════════════════════ ════════════════════════ (32)

Учитывая (31), получим

,

.═════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (33)

Обозначим

, ════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (34)

Тогда

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (35)

══════════════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (36)

Из решения задачи (29) следует, что суммарные расходы домашних хозяйств на продукт 1-го сектора определяются выражением

.═══════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (37)

Предположим, что потребление населением продукции отраслей 2 и 3 , ═связано с потреблением продукции первого сектора ═постоянной пропорцией, определяемой коэффициентами , , т.е.

.═══════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (38)

Тогда совокупные расходы населения на продукцию секторов 1-3 определяются величиной ════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ (39)

Обозначим

, ═════════════════════════════════ ═══════════════════════ (40)

тогда .══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ ══════════════════════ (41)

Изменение остатка денежных средств на руках у населения происходит за счет доходов и расходов населения. Доходы населения включают

╥ заработную плату из производственных секторов экономики (за вычетом подоходного налога), собираемость которого оценивается долей ═от заработной платы ,

╥ финансирование государственных служащих из бюджета, составляющее долю ═от ВВП

═(за вычетом подоходного налога),

╥ социальные выплаты, составляющие долю от ВВП

,

╥ распределяемую прибыль торговли (за вычетом уплаченного подоходного налога) ,

╥ распределяемую прибыль импортеров (за вычетом уплаченного подоходного налога) ,

╥ распределяемую прибыль коммерческих банков (за вычетом уплаченного подоходного налога) ,

╥ изменение ═кредитов ═населения в коммерческих банках (за вычетом выплат процентов по кредитам).

Расходы населения определяются

╥ расходами на потребление продукции отраслей производства ═(с учетом расходов на импортную продукцию и покупку валюты),

╥ изменением ═запаса депозитов ═населения в коммерческих банках (с учетом начисленного процента).

Таким образом, изменение запаса денежных средств на руках у населения определяется выражением

════ ══════════════════════════ ═══════════ (42)

Обозначим совокупные доходы домашних хозяйств . Тогда

а равенство (42) имеет вид

.═════════════════════════════════════════════════════════ ══════════════════════ (43)

Депозиты населения ═на счетах в коммерческих банках изменяются согласно уравнению

.═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════ ══════════════════════ (44)

Изменение кредитов происходит согласно уравнению

.═════════════════════════════════════════════════════════════════════════ ══════════════════════ (45)

В современных российских условиях реальный процент по депозитам населения (с учетом инфляции) является отрицательным. Поэтому является правдоподобным представление о том, что население хранит деньги на депозитах не столько с целью получения процентов, сколько с целью накопления средств на приобретение товаров длительного пользования.

Расходы населения на продукцию 1-го сектора , которые составляют долю от всех потребительских расходов , делятся на покупку товаров текущего пользования и товаров длительного пользования .

.══════════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (46)

Тогда запас товаров длительного пользования ═у населения меняется согласно уравнению

,════════════════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (47)

где ═- темп выбытия товаров длительного пользования.

Предположим, что эксплуатация имеющихся товаров длительного пользования нуждается в накоплении депозитов ═в количестве не меньшем, чем часть ═запаса товаров длительного пользования, и что кредиты _═не могут превышать доли ═стоимости приобретенных товаров длительного пользования, т.е.

;═════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (48)

.════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (49)

Ограничение ликвидности на запас денежных средств населения связано с обеспечением текущих расходов и выглядит следующим образом:

,═══════════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (50)

где ═- постоянная времени в ограничении ликвидности.

Модель распределения доходов домашних хозяйств между текущим потреблением и товарами длительного пользования. Предположим, что доходы домашних хозяйств состоят из

1) заработной платы , поступление которой определяется долей рабочего времени ═и ставкой заработной платы ═за единицу рабочего времени,

2) социальных выплат , не зависящих от потраченного рабочего времени.

Таким образом, ═и соотношение (43) имеет вид

.════════════════════════════════════════════ ═════════════════════════ ═══════════ (51)

Будем предполагать, что домашние хозяйства прогнозируют экспоненциальный рост заработной платы ═и социальных выплат ═с темпом , а рост цен - с темпом . Предположим, что распределение доходов на сбережения, покупку товаров длительного пользования и текущее потребление, и выбор количества рабочего времени осуществляется так, чтобы максимизировать минимальный уровень потребления по отношению к доходам и свободному времени, т.е. домашние хозяйства максимизируют величину

Сделаем замену переменных

══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (52)

Перепишем полученный функционал в виде

══════════════════════════

В задаче оптимального управления расходами с этим функционалом есть оптимальная траектория, на которой ═и . Действительно, если в некоторый момент времени уровень запаса товаров длительного пользования превышает минимальный, то возможно перераспределение средств: продажа товаров длительного пользования и увеличение текущих расходов. Поскольку увеличение текущего потребления сверх уровня, соответствующего накопленным запасам товаров длительного пользования, не приводит к увеличению функционала, но вызывает потерю денежных средств, без ограничения общности можно считать запас товаров длительного пользования постоянным и равным . Обозначим .

В новых обозначениях (52) уравнение (47) принимает вид:

.═════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (53)

С учетом (53) получаем

.

Итак, функционал принимает вид

.════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (54)

Введем переменную :

═════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (55)

═══════════════════════════════ ═══════════════════════ (56)

Обозначим

Выражение (56) означает, что в начальный момент времени население может перераспределять свои активы: покупать или продавать товары длительного пользования. Используя (48)-(50) и (52), получим условие

.══════════════════════ ═══════════════════════ (57)

Выражая ═и ═из уравнений (44) и (45), получаем дифференциальное уравнение

══════════════════════ ═══════════════════════ (58)

Исходя из функционала (54), мы должны выбирать ═так, чтобы ═увеличивалось. Будем считать, что процентная ставка по кредитам населению превышает процентную ставку по депозитам. Тогда в условиях нашей модели коэффициент в уравнении (58) при ═отрицательный.

Из (55) и условий (48) и (50) получаем

.═════════════════════ ═══════════════════════ (59)

Подставим ═в (58). Получим следующую задачу оптимального управления, описывающую поведение домашних хозяйств:

,

,

Опираясь на неравенство (57) и начальные условия (56), можно сделать вывод о том, что задача поиска максимального значения ═равносильна задаче нахождения минимального значения .

Рассмотрим возможное поведение оптимальной траектории.

Пусть _═

При этом в начальный момент времени ═и

.

Если , то .

Если , то возможны 3 варианта:

А. ;

Б. , при условии, что

══

В. Если функция ═убывает до значения , то ниже этого значения , а уравнение (58) примет вид

════════════════ ══════════════════════ ═(60)

Как уже было отмечено, . Поэтому случай ═невозможен, когда . Значит, ═либо стремится к минус бесконечности (при этом нарушается (59) ), либо остается на уровне

Мы рассмотрели все возможности поведения оптимальной траектории при ═и получили, что

═

Но при ═есть возможность в начальный момент времени выбрать ═таким образом, чтобы , которое равно , было меньше, чем ═Значит, при ═решения следует искать при

В этом случае уравнение (58) имеет вид (60).

1. Рассмотрим случай . В этом случае функция ═не должна убывать и в некоторый момент времени ═может стать такой, что . Если ═становится больше этого значения, то ═и уравнение (58) принимает вид

_{═════════════ ══════════════════════════════} (61)

Если , то функция , достигнув значения , продолжит расти, а если , то функция ═будет оставаться на уровне ═при .

Таким образом, минимальное значение функция ═может достигаться только при .

Дифференциальное уравнение (60) можно записать в виде , где

. Решение уравнения (60) будет таким: . При условии , .

Условие ═можно записать следующим образом:

═══════════ ═══════════════════════ (62)

А условие можно записать в следующем виде:

.═════════════════ ═══════════════════════ (63)

В условиях поставленной задачи поиска максимального значения одно из неравенств (62), (63) обратится в равенство. Подставим начальное значение (56) и обозначим максимальное значение , удовлетворяющее неравенству (62), через , а максимальное значение , удовлетворяющее неравенству (63), через . Тогда оптимальное значение траектории ═(обозначим его ) будет равно минимуму из этих двух значений, т.е. . Найдем эти значения:

.

Теперь нетрудно понять, как устроено максимальное значение функционала (54):

.

Рассмотрим поведение двух функций: ═и .

Функция ═является параболой, обращенной ветвями вниз, имеющей корни при ═и . Заметим, что . Функция ═- это прямая, проходящая через точки ═и . Эти функции пересекаются при ═и

═Рассмотрим возможное поведение этих кривых.

Случай 1.а. . В этом случае на всем интересующем нас отрезке ═парабола ═лежит ниже прямой . Это значит, что оптимальное значение функционал будет принимать в вершине параболы или в нуле при . Из этой формулы следует, что если при увеличении заработной платы предложение труда возрастет. Кроме того, предложение труда уменьшается при увеличении социальных выплат, а так же при уменьшении процентной ставки по кредитам. Однако изменение параметров может привести к нарушению условий, при которых реализуется этот случай.

Случай 1.б. Если , то кривые ═и ═пересекаются на отрезке . Тогда максимальное значение функционала ═находится в точке пересечения: . В этом случае увеличение ставки заработной платы ═не приводит к увеличению рабочего времени , т.е. увеличению предложения на рынке труда. Однако изменить такую ситуацию и увеличить предложение труда можно за счет уменьшения процентной ставки по кредитам , когда становится выгодно работать, чтобы оплачивать кредит, или за счет уменьшения процентных ставок по депозитам, когда все сложнее становится жить на проценты от вкладов. Но при слишком сильном уменьшении ставки по кредитам ═или уменьшении социальных выплат ═и заработной платы ═или изменении других параметров возможен переход в случай 1.а.

Случай 1.в. Пусть теперь ═В этом случае парабола ═лежит выше прямой ═на всем отрезке . Поэтому оптимальное значение . Предложение на рынке труда отсутствует. Причиной этому могут служить слишком большие социальные выплаты, большие ставки по кредитам (кредит брать не выгодно) или большие ставки по депозитам (выгодна позиция рантье).

2. Рассмотрим случай . Используя рассуждения и обозначения, аналогичные представленным в пункте 1.1, получим

,

.

Кривые ═и ═пересекаются при

Вершина параболы ═в точке .

Теперь вернемся к случаю, когда . При этом ═и

Условие (57) примет вид: .

Применяя уже знакомые нам рассуждения, получим следующее.

При ═и .

,

.

Кривые ═и ═пересекаются при

Вершина параболы ═в точке .

При ═и

,

.

Кривые ═и ═пересекаются при

Вершина параболы ═в точке .

Мы рассмотрели различные экономические ситуации, и можем понять, каково будет предложение труда на рынке в той или иной из них и какие меры следует принимать, чтобы улучшить ситуацию. Во многих прогнозах развития экономической ситуации в России в будущем отмечается проблема дефицита рабочей силы, т.е. недостаточное предложение на рынке труда. Однако такая очевидная мера борьбы с этим, как повышение заработной платы, не всегда оказывает нужное воздействие. Было показано, что в некоторых случаях повышение заработной платы ведет к уменьшению предложения на рынке труда.

Обобщим полученные результаты. Оптимальное рабочее время ═находится из простой задачи оптимизации , где ═определяется по формуле (65).

(65)

Кредиты населению определяются по формуле

.

Депозиты населения в зависимости от процента по вкладам определяются из соотношения

═════════════════════════════ (64)

Формирование депозитов домашних хозяйств в условиях неразвитой системы кредитования населения и бесприбыльности депозитов. В современных условиях система кредитования населения коммерческими банками развита недостаточно. Процентные ставки по кредитам достаточно высоки, а сроки кредитования небольшие. На следующем графике представлено отношение объемов депозитов и кредитов, предоставленных населению, к объёму ВВП (по данным ЦБ РФ www.cbr.ru и Госкомстата www.gks.ru).

Несмотря на то, что рост объемов кредитования очевиден, суммы кредитов, предоставляемых населению, очень малы и к 2006-му году едва превысили 5% от ВВП. По отношению к депозитам, которые сами по себе также малы (см. рис. 1), кредиты не составляют и половины.

Поэтому, в целях упрощения модели предположим, что ═(кредиты населению отсутствуют). Кроме того, предположим, что в условиях близости к нулю реальных ставок по депозитам население прогнозирует темп роста своих доходов равным установленной банками процентной ставке по депозитам .

В данной версии модели откажемся также от предположения, что население может выбирать рабочее время . В середине 90х годов длительный спад производства в большинстве отраслей и инвестиционный кризис предопределили падение спроса на труд, вызвав тем самым ╚скрытую╩ безработицу, и полноценный рынок труда пока не сформировался.

Таким образом,

, где ,═══════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (66)

а соотношение (43) имеет вид

.══════════════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (67)

При этих предположениях формулы (64) и (65) принимают вид:

Здесь функции времени ═определяются в силу решения дифференциальных уравнений (67) и (44), в которых

,

,══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════

.

Депозиты ═и совокупные расходы населения ═связаны соотношением

.═════════════════════════════════════════════════════════════ ═══════════════════════ (68)