Как показано А.А.Шананиным в [7], для существования индекса, удовлетворяющего (2), необходимо и достаточно, чтобы объемы покупок X, рассматриваемые как функции цен P, удовлетворяли некоторой системе неравенств (закону Хикса) и некоторой системе уравнений в частных производных (условиям интегрируемости).
Историческая справка. Условия интегрируемости как необходимые условия существования функции полезности были обнаружены еще в XIX в. В.Вольтерра. Их фундаментальная роль в математике была затем открыта Ф.Фробениусом при исследовании задачи интегрирования системы уравнений в частных производных. Позднее К.Каратеодори указал на важнейшее значение аналогичных условий в термодинамике. Закон Хикса, как условие вогнутости функции полезности, был указан в 30-е гг. Подробнее об этих условиях см. [12].
Далее 3.11. Альтернативная формулировка условий интегрируемости