Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН

119333, Москва, ул. Вавилова, дом 40, ВЦ РАН

 

 

ОТДЕЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ

А.А. Абрамов, А.И. Александрович, Н.Б. Конюхова, Б.В. Пальцев

(Гипертекстовый выпуск на основе одноимённой статьи из книги

«50 лет ВЦ РАН: История, люди, достижения».
М.: ВЦ РАН, 2005 г. ISBN 5-201-09837-1. С. 53-80)

При создании Вычислительного центра АН СССР была образована лаборатория теоретических исследований, позже переименованная в отдел вычислительных методов. Отдел с момента его образования по 1991 г. возглавлял профессор А.А. Абрамов, с 1991 г. по 2014  г. – профессор Б.В. Пальцев. Структура отдела с течением времени неоднократно претерпевала изменения. В отделе, насчитывав­шем в среднем 20 сотрудников, работало (в разное время) 13 докторов, более 30 кандидатов наук.

Основным направлением работ отдела является разработка и исследование методов решения различных актуальных задач вычислительной математики, возникающих в механике, математической и теоретической физике, решение важных прикладных задач. Главной характерной чертой работы сотрудников отдела, позволяющей добиваться значительных и фундаментальных результатов, является то, что она, как правило, опирается на проводимые теоретические исследования возникающих и сопутствующих математических задач, представляющих и самостоятельный научный интерес. Это привело к усовершенствованию разрабатываемых, а также и к созданию принципиально новых методов, что дало возможность решать те задачи, которые в связи с трудностью их решения до этого не решались или решались в ограниченных постановках и с недостаточной точностью. Кроме того, такой подход позволил создать по некоторым из направлений работ достаточно целостные математические теории.

За прошедшие 50 лет число публикаций сотрудников и аспирантов отдела, в их числе ряда обзоров, книг и монографий, превысило 800. Ввиду ограниченности объёма данного обзора даются краткие описания основных, наиболее значимых направлений работ отдела. В целях сокращения в списке литературы приводятся зачастую ссылки на более поздние публикации, так что заинтересованный читатель сможет при желании дополнить приведённый список многими представляющими для него интерес достаточно важными работами сотрудников отдела по имеющимся в публикациях ссылкам.

 

Оглавление

 

 

1. Перенос граничных условий и решение регулярных краевых задач (КрЗ) для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

 

 

2. Теоретические основы и аналитико-численные методы решения сингулярных задач для систем ОДУ. Приложения к моделям в естественных науках.

 

 

·        Сингулярные КрЗ и устойчивые начальные многообразия.

·        Методы решения однопараметрических спектральных КрЗ (регулярных и сингулярных).

·        Многопараметрические спектральные задачи и специальные функции.

·        Корректная постановка и методы решения сингулярных нелинейных КрЗ.

·        Аналитико-численные решения и исследования конкретных прикладных задач.

·        Задачи физики твёрдого тела и ядерной физики.

·        Задачи радиофизики.

·        Задачи акустики и теории оболочек.

·        Задачи квантовой механики.

·        Задачи устойчивости солитонов в нелинейной теории поля.

·        Применение к некоторым нелинейным задачам механики несжимаемой жидкости.

·        Нелинейные задачи релятивистской космологии.

 

 

3. Методы исследования и решения задач линейной алгебры (и их обобщений для опе­раторов в гильбертовом пространстве).

 

 

4. Разработка и расчёты линейных ускорителей и других электротехнических устройств.

 

 

5. Разработка новых численных и аналитико-численных методов решения краевых задач для эллиптических уравнений и их применения.

 

 

6. Работы по океанологии и численному моделированию гидрофизических процессов в водоёмах.

 

 

7. Методы исследования и решения начально-краевых задач для нелинейных эволюцион­ных УрЧП (в том числе с вырождениями и фазовыми переходами) и их применения.

 

 

8. Разработка новых численных методов решения краевых задач для линеаризованных и нелинейных систем Навье-Стокса для несжимаемой жидкости.

 

 

9. Численное исследование и применение кубатурных формул с теоретико-числовыми сетками к вычислению многократных интегралов.

 

 

10. Работы по теории колебаний оболочек. Исследования по колебаниям жидкости в сосудах.

 

 

11. Теория сетчатых оболочек и пластин.

 

 

12. Разработка численных методов решения краевых задач, возникающих в теории обо­лочек. Метод декомпозиции.

 

 

13. Вклад в разработку систем автоматизированного проектирования самолётов.

 

 

14. Решение задач линейной теории упругости для многослойных и непрерывно неодно­родных сред.

 

 

15. Работы по теории и численным методам решения задач линейной и нелинейной ме­ханики деформируемого твёрдого тела.

 

 

16. Работы по геофизике.

 

 

17. Разработка аналитико-численных методов, основанных на применении специальных голоморфных разложений одной или нескольких комплексных переменных к решению ряда уравнений с частными производными и краевых задач.

 

 

18. Работы по теории разрешимости и качественной теории краевых задач для уравнений с частными производными, по теории некоторых функциональных пространств.

 

 

19. Построение аналога метода Винера-Хопфа для уравнений с операторами свёртки на конечном интервале. Работы по спектральной теории таких интегральных операто­ров.

 

 

20. Развитие теории векторной задачи Гильберта линейного сопряжения.

 

 

      Литература

 

 

 

Перенос граничных условий и решение регулярных краевых задач (КрЗ) для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Разработан эффективный универсальный метод переноса граничных условий (вариант метода прогонки) в [1] – для одного линейного ОДУ второго порядка, в [2] – для общих систем линейных ОДУ. Эти методы осуществляют перенос (по отрезку изменения независимого переменного t) линейного многообразия значений искомых функций, удовлетворяющих ОДУ и граничному условию, как целого. Это важно, в частности, при решении КрЗ на длинных интервалах, так как в этом случае отдельные решения, порождающие это многообразие, могут дать совокупность значений, близкую к вырождению. Решение возникающей задачи Коши (ЗК) для той вспомогательной системы (нелинейных) ОДУ, которая непосредственно решается, существует на всём отрезке изменения t; это решение меняется настолько плавно, насколько плавно перемещается переносимое многообразие. В [1] доказано, что если решаемая двухточечная КрЗ хорошо обусловлена, то применение метода [1] даёт численно устойчивые результаты. В [3] исследована обусловленность результирующей системы линейных алгебраических уравнений, возникающей при применении каких-либо вариантов метода прогонки. Первые численно устойчивые методы решения КрЗ со связанными краевыми условиями (условиями периодичности) предложены в [4]. Для различных типов ОДУ были предложены и другие методы переноса граничных условий, учитывающие специфику КрЗ и рассматриваемых ОДУ (см., например, [5-7] и следующий раздел данной статьи). В [8] разработан метод решения общих многоточечных КрЗ и задач с условиями интегрального типа. В [9, 10] предложен и исследован метод решения некоторых классов жёстких КрЗ, содержащих большой параметр, сводящийся к решению вспомогательных

КрЗ без большого параметра; метод является итерационным, сходящимся тем быстрее, чем больше значение параметра.

Теоретические основы и аналитико-численные методы решения сингулярных задач для систем ОДУ. Приложения к моделям в естественных науках.

Сингулярные КрЗ и устойчивые начальные многообразия. На протяжении многих лет в отделе разрабатываются теория и методы переноса граничных условий из особых точек для систем (не)линейных ОДУ, заданных на бесконечном интервале изменения независимого переменного t или вырождающихся по t в конечных точках. Изучены вопросы правильной постановки предельных условий в особой точке и их точного или приближённого переноса в близкую неособую точку для корректной аппроксимации сингулярных КрЗ регулярными КрЗ. Значения решений, удовлетворяющих таким условиям, порождают в фазовом пространстве устойчивое начальное многообразие (УНМ), зависящее от t как от параметра. Перенос граничных условий из особой точки осуществляется решением возникающей локальной сингулярной ЗК, описывающей изменение по t УНМ как целого (без изучения сложного поведения отдельных решений внутри УНМ) породила красивые сопутствующие математические проблемы – однозначно разрешимые сингулярные ЗК для систем нелинейных ОДУ (для описания поведения по t линейных УНМ), а также интересные алгебраические задачи. Полученные здесь результаты представляют существенный самостоятельный интерес.

Начало теории и методов положено в [11], где для систем линейных ОДУ с регулярной особенностью поставлена и решена проблема переноса из особой точки условия ограниченности решения. Первые результаты по переносу условий ограниченности решения из иррегулярной особой точки для достаточно широких классов систем линейных ОДУ получены в [12] и др. работах. В [11, 12], в частности, показано, что поведение линейного УНМ по t является гладким в отличие от отдельных решений, гладкость которых может нарушаться в особой точке. Это поведение описывается решением сингулярной ЗК для матричного уравнения типа Риккати; в [12] поставлены и исследованы более общие однозначно разрешимые сингулярные ЗК для классов систем нелинейных ОДУ, включающие сингулярные ЗК для матричных уравнений типа Риккати как частный случай. В [13] введено теоретически и практически важное понятие допустимого граничного условия в особой точке для однородной системы линейных ОДУ и в случае регулярной особенности дано решение задачи о выделении всех таких условий – построении всех возможных линейных УНМ. В [14] изучено поведение граничных условий, переносимых в окрестности регулярной особой точки; методы решения сопутствующих алгебраических задач предложены в [13, 15]. В [16, 17] выделены классы допустимых граничных условий для систем линейных ОДУ с иррегулярной особой точкой и более общей неинтегрируемой особенностью, описано поведение УНМ по t и сингулярно входящему в ОДУ большому параметру. Эти классы включают в себя такие практически важные предельные условия как условия типа излучения. О других работах этого направления см., например, в [6, 18-20], где наряду с дополнительными исследованиями отражено состояние теории в разные годы; из последующих работ укажем [21-24].

Наряду с [12] в последующих работах, например в [25, 26], поставлены и исследованы однозначно разрешимые сингулярные ЗК для достаточно широких классов систем нелинейных ОДУ; они охватывают и некоторые задачи, непосредственно возникающие в приложениях, например, в астрофизике и космологии. Результаты работ [25, 26] оказались также востребованными для корректной постановки нелинейных сингулярных КрЗ с граничными условиями типа существования конечного предела в особой точке. Обобщения теорем существования и единственности решения сингулярной ЗК (или задачи без начальных данных) для класса систем нелинейных функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) с (не)вольтерровыми операторами и (не)суммируемой особенностью получены, например, в [27] и цитированных там работах. Рассмотренные системы ФДУ включают в себя системы (обобщённых) ОДУ, в том числе с отклоняющимся аргументом, системы интегродифференциальных уравнений (ИДУ) и др. Развитие этого направления было стимулировано, в частности, задачами квантовой механики для сингулярных ИДУ типа Шрёдингера с нелокальными потенциалами.

С проблемами решения линейных КрЗ с особенностями имеют дело также следующие работы. В [28, 29] предложены и исследованы методы решения сингулярных КрЗ, возникающих при применении метода прямых для решения УрЧП эллиптического типа в неограниченных областях или областях неправильной формы. В [30] получены первые результаты по переносу граничных условий из бесконечности для некоторых систем линейных дифференциально- алгебраических уравнений (ДАУ). В [18, 31] для некоторых линейных эволюционных задач для УрЧП в пространственно неограниченных областях были предложены методы замены заданных условий поведения решения на бесконечности эквивалентным условием на границе ограниченной области и тем самым осуществлено сведение таких задач к решению начально- краевых задач в ограниченных областях (это направление получило, в частности, развитие в работах других авторов).

Создание разделов теории гладких УНМ для систем нелинейных ОДУ было начато в 70-е гг. В [32] и цитированных там работах поставлены и решены задачи по переносу граничных условий из иррегулярной особой точки для некоторых классов систем нелинейных ОДУ. На бесконечном интервале по независимой переменной t рассматривается система нелинейных ОДУ с экспоненциально дихотомической главной линейной частью и ставится задача о выделении всего семейства решений, стремящихся к нулю при t® ¥, т.е. построении в фазовом пространстве нелинейного УНМ, порождённого значениями решений этого семейства. Предполагается, что заданные в ОДУ функции являются голоморфными функциями по искомым переменным в окрестности начала координат фазового пространства. Поведение нелинейного УНМ по t описывается решением сингулярной ЗК для системы квазилинейных УрЧП первого порядка. В предположениях работы [32] такое УНМ является аналитическим многообразием, зависимость которого от времени определяется асимптотическими рядами по неположительным целым степеням t. Это позволяет строить УНМ приближённо и получать тем самым приближённые граничные условия в конечной точке. При t ® ¥ такое УНМ стремится к УНМ предельной автономной системы, которое описывается с помощью сингулярной задачи типа Ляпунова для системы квазилинейных УрЧП с вырождением по начальным данным. Аналогичные задачи для систем нелинейных ОДУ с регулярной особенностью при t = 0 исследованы в [33], где, в частности, было замечено, что сопутствующую описанию УНМ сингулярную ЗК для системы УрЧП первого порядка с вырождением на начальной гиперплоскости можно отождествить с частным случаем сингулярной задачи типа Ляпунова. Состояние разделов нелинейной теории в 80-е гг. коротко отражено в [18, 19].

В последующих работах были ослаблены условия, налагаемые на гладкость рассматриваемых систем нелинейных ОДУ и на их главные линейные части (линеаризаторы), вплоть до обобщённых ОДУ и асимптотически автономных систем. В силу единой схемы построения УНМ, описанной, например, в [32], достаточно изучать только сопутствующие сингулярные ЗК (или задачи без начальных данных) для систем квазилинейных УрЧП первого порядка при различных предположениях. В этом направлении достаточно общие теоремы получены в [34, 35] и цитированных там работах.

Отдельно проведены исследования автономных систем нелинейных ОДУ на бесконечном интервале независимого переменного t с точками (псевдо)гиперболического равновесия в фазовом пространстве. Инвариантные по t гладкие УНМ в окрестности такой точки описываются с помощью решения сингулярной задачи типа Ляпунова для системы квазилинейных УрЧП первого порядка с вырождением по начальным данным в этой точке. Задачи типа Ляпунова для описания дифференцируемых (необязательно аналитических) УНМ, их частные случаи (в том числе для систем нелинейных ОДУ с регулярной особенностью) и применения к корректной постановке и аппроксимации сингулярных нелинейных КрЗ изучены, например, в [36-38] и цитированных там работах, где даны также приложения результатов к конкретным прикладным задачам.

Существование нелинейного УНМ в окрестности начала координат фазового пространства установлено в [39] и для достаточно общих систем нелинейных ФДУ, рассматриваемых на полубесконечном интервале по независимой переменной t в декартовом произведении фазовых пространств, т. е. в виде двух подсистем. Теоремы статьи [39] (и других работ этого направления) обобщают, в частности, известные теоремы существования многообразий условной устойчивости по Ляпунову для систем нелинейных ОДУ.

Методы решения однопараметрических спектральных КрЗ (регулярных и сингулярных). На основе созданных методов локального устойчивого переноса граничных условий из особых точек, вариантов устойчивого в делом переноса краевых условий и дополнительных алгоритмических приёмов в отделе разработаны эффективные устойчивые численные методы поиска спектра и вычисления нормированных собственных функций (СФ) самосопряжённых, а также и несамосопряжённых сингулярных КрЗ для систем ОДУ, вычисления несобственных интегралов от СФ без вычисления самих СФ и без хранения в памяти ЭВМ какой-либо промежуточной информации. Обзор некоторых таких методов дан в [5]. Для однопараметрических спектральных задач при произвольной размерности систем ОДУ методы и алгоритмы расчёта собственных значений (СЗ), СФ и функционалов от СФ вещественного дискретного спектра (включая сингулярные КрЗ) достаточно полно изложены в [6], где также перечислены некоторые приложения методов к решению конкретных задач. В [40] предложены и исследованы экономичные методы вычисления спектра, СФ и несобственных интегралов от них в сингулярных самосопряжённых спектральных задачах для векторных систем ОДУ второго порядка, основанные на матричных преобразованиях типа Прюфера и методах переноса граничных условий из особых точек. В работах [41-43] для общих гамильтоновых систем линейных ОДУ, в том числе для систем ОДУ с особенностями и нелинейным вхождением спектрального параметра (СП) (в предположениях монотонной зависимости от СП матриц системы и граничных условий), предложены и исследованы новые варианты метода прогонки, позволяющие вычислять общее число точек спектра, лежащих на заданном интервале вещественной оси. Введено понятие номера СЗ, и дан метод вычисления СЗ с заданным номером. Для одного ОДУ второго порядка в [44] предложен и исследован метод решения самосопряжённой задачи Штурма-Лиувилля со связанными граничными условиями и нелинейным вхождением СП в ОДУ и граничные условия. В [45] дана постановка и предложен метод решения нелинейной по СП самосопряжённой спектральной задачи для класса систем линейных ДАУ.

Несамосопряжённые спектральные КрЗ (или самосопряжённые с нелинейным вхождением СП) для систем линейных ОДУ на отыскание точек дискретного спектра на комплексной плоскости СП являются весьма сложными спектральными задачами. Для решения сингулярных несамосопряжённых задач типа Штурма-Лиувилля (и задач с непрерывным спектром) для одного комплексного ОДУ второго порядка удобным оказался вариант устойчивой дифференциальной прогонки [46], который широко применялся в сочетании с методами движения по параметрам. Важным достижением отдела являются разработанные общие методы локализации комплексных СЗ и их вычисления. Для КрЗ, аналитически зависящих от СП, в [47, 48] и цитированных там работах разработаны топологические методы и методы типа принципа аргумента (хотя функции, к которым непосредственно применяются методы, не являются аналитическими) для вычисления совокупности СЗ, лежащих в заданной области комплексной плоскости СП.

Многопараметрические спектральные задачи и специальные функции. К числу теоретически мало исследованных и особо сложных для численного решения спектральных задач относятся многопараметрические, которые, в частности, встречаются в ряде важных конкретных приложений. В отделе получены значительные достижения по разработке методов решения таких задач и их применению.

С начала 80-х гг. в отделе (по инициативе Акустического института и при поддержке ИФП и ИАЭ АН СССР) разрабатывались универсальные методы расчёта сложных специальных функций, возникающих при разделении переменных в трёхмерном уравнении Гельмгольца в сфероидальных (сплюснутых и вытянутых) и эллипсоидальной системах координат (СК). Такое разделение приводит: к сингулярным самосопряжённым задачам Штурма-Лиувилля для угловых волновых сфероидальных функций (ВСФ), где роль СП играет параметр разделения; к двухпараметрической самосопряжённой спектральной задаче для системы из двух слабосвязанных ОДУ второго порядка (для угловых волновых эллипсоидальных функций (ВЭФ)) с двумя СП как параметрами разделения и к задачам с непрерывным спектром для ОДУ второго порядка на полубесконечном интервале (для радиальных ВСФ и ВЭФ). Здесь и далее под слабосвязанной понимается система ОДУ, в которой каждое ОДУ содержит только одну компоненту искомой СФ и связано с другими ОДУ только искомыми СП. Необходимость вычисления ВСФ и ВЭФ, а также решения некоторых задач квантовой физики привела к разработке высокоэффективных модификаций амплитудно-фазового метода решения сингулярных самосопряжённых задач Штурма-Лиувилля и задач с непрерывным спектром, в том числе при наличии больших параметров и при сильных осцилляциях решений [49-53]. Основой разработки устойчивых методов вычисления несобственных интегралов от СФ дискретного спектра (без вычисления самих СФ) послужила работа [54]

; для интегралов от СФ непрерывного спектра метод развит в [51].

На основе метода фазовых функций в [55, 56] и других статьях разработаны и исследованы быстросходящиеся процессы глобального поиска спектра в двух- и трёхпараметрических самосопряжённых КрЗ для слабосвязанных систем ОДУ второго порядка и методы вычисления сразу нормированных СФ с заданным числом узлов по каждой компоненте. В частности, созданы универсальные алгоритмы расчёта угловых ВЭФ как СФ двухпараметрической КрЗ. Разработке общих методов предшествовали работы [57, 58] по вычислению точек дискретного спектра в сингулярной двухпараметрической самосопряжённой спектральной задаче, связанной с высокоточным вычислением уровней энергии ионизированной молекулы водорода и подобных ионов. Эта задача возникает при разделении переменных в уравнении Шрёдингера в сфероидальной СК. Для её решения был предложен и обоснован глобально сходящийся итеративный метод с использованием метода фазовых функций.

Работа [55] стимулировала создание общих методов решения многопараметрических спектральных задач. В [59] разработан общий подход к решению многопараметрических самосопряжённых спектральных задач для слабосвязанных систем ОДУ второго порядка, возникающих при разделении переменных для УрЧП. В [60, 61] разработан новый метод решения многопараметрических самосопряжённых КрЗ для слабосвязанных систем ОДУ второго порядка при произвольном числе СП, в том числе для ОДУ с особенностями. Метод даёт возможность вычислять СЗ и СФ при заранее заданном числе нулей по каждой из компонент СФ.

Практически важный класс составляют также сложные многопараметрические несамосопряжённые КрЗ для слабосвязанных систем ОДУ второго порядка. Один подход к решению таких задач осуществлён в [62, 63] на примере решения двухараметрических несамосопряжённых сингулярных КрЗ, возникающих в задачах радиофизики, с применением методов переноса граничных условий из особых точек, варианта прогонки из работы [46] и методов движения по параметрам.

Корректная постановка и методы решения сингулярных нелинейных КрЗ. Основой правильной постановки сингулярных КрЗ для систем нелинейных ОДУ, их корректной аппроксимации регулярными КрЗ и аналитико-численного исследования являются результаты по сингулярным ЗК и гладким нелинейным УНМ в сочетании с использованием параметрических рядов Ляпунова, методов оптимальной стрельбы (с УНМ) по граничным данным на несингулярном конце интервала (с минимизацией целевых функционалов) и других итеративных методов.

Аналитико-численные решения и исследования конкретных прикладных задач. Методы, изложенные выше, применялись к решению многих конкретных задач из различных областей физики и техники, в том числе совместно с сотрудниками различных институтов АН, высших учебных заведений и отраслевых институтов, а также совместно с некоторыми зарубежными партнёрами (Венгрия, Швеция, Португалия, Англия).

Задачи физики твёрдого тела и ядерной физики. Эти задачи объединяет использование "неполного" метода Галёркина для приближённого решения многомерного уравнения Шрёдингера в (гипер)сферической СК с выбором базиса только по угловым переменным из (гипер)сферических функций, для отбора которых используются групповые свойства модели. Для неизвестных базисных функций, зависящих от (гипер)радиальной переменной, возникают спектральные задачи для векторных систем линейных ОДУ второго порядка на полуоси и с особенностью в нуле. Цикл работ по расчёту мелких акцепторных и донорных состояний в полупроводниках выполнен совместно с ИРЭ и МИИТ (см., например, [64]); расчёты использовались специалистами для развития применяемого в промышленности метода фотоэлектрической спектроскопии примесей в полупроводниках. Большой цикл работ выполнен совместно с ИТЭФ и ИАЭ по решению задач ядерной физики и квантовой хромодинамики на связанные состояния, резонансы и рассеяние частиц (см., например, [65, 66] и библиографию в [40]); результаты исследований использовались в ИТЭФ для развития теории элементарных частиц и подготовки новых физических экспериментов.

Задачи радиофизики. Задачи, поставленные в ИФП, сводятся (разделением переменных в уравнениях Максвелла) к решению спектральных задач для комплексных ОДУ второго порядка и слабосвязанных систем таких ОДУ, заданных на полубесконечном интервале и с особенностями в нуле или внутри интервала. В [46] рассматривалась задача В.А. Фока о распространении электромагнитных волн от вертикального диполя, расположенного над абсолютно проводящей сферой Земли (решались сингулярные несамосопряжённые задачи типа Штурма-Лиувилля). В [67] рассматривалась задача, описывающая эксперимент по волновой диагностике плазменного шнура П.Л. Капицы (математическая модель эксперимента была предложена Л.А. Вайнштейном): решалась задача рассеяния радиоволн на плазменном цилиндре в предположении, что диэлектрическая проницаемость плазмы есть монотонно возрастающая функция расстояния от оси цилиндра; величины, измеряемые в эксперименте, определялись решением задач с непрерывным спектром для комплексных ОДУ второго порядка с особенностью в нуле и движущейся особенностью внутри интервала, т. е. с особенностью, положение которой на оси зависит от параметра. Решена также задача о скин-эффекте в плазменном шнуре – явлении проникновения электромагнитной волны в плазму. Результаты исследований использовались в ИФП для сравнения с экспериментальными данными и уточнения математической модели эксперимента.

В [62, 63] решались сложные несамосопряжённые двухпараметрические сингулярные спектральные задачи для слабосвязанных систем линейных ОДУ второго порядка по расчёту комплексных квазичастот собственных внешних осесимметричных электрических колебаний идеально проводящих вытянутых и сплюснутых сфероидов как открытых резонаторов. В целях сравнения с результатами статьи [62] разработанные в отделе методы вычисления ВСФ применялись для расчёта характеристик излучения открытого резонатора в форме вытянутого сфероида при различных видах его возбуждения.

Задачи акустики и теории оболочек. Разработанные в отделе эффективные методы вычислений ВСФ и ВЭФ применялись к решению широкого круга задач (в том числе и другими авторами). В частности, по инициативе Акустического института решались задачи дифракции плоской звуковой волны на акустически идеальных вытянутых и сплюснутых сфероидах и трёхосных эллипсоидах в широком диапазоне изменения параметров задач, в том числе для сфероидов и эллипсоидов больших волновых размеров. Внешние КрЗ с условиями излучения на бесконечности для трёхмерного уравнения Гельмгольца решались методом разделения переменных в сфероидальных и эллипсоидальной СК (см., например, [68, 69] и приведённую там библиографию). В [70] методы вычисления ВСФ применялись для приближённого решения задач обработки сигналов и изображений. В [56] решалась трёхпараметрическая самосопряжённая спектральная задача для нахождения частот собственных колебаний акустической среды внутри трёхосного эллипсоида как полого замкнутого резонатора.

Достаточно сложные и разнообразные сингулярно возмущённые сингулярные КрЗ для систем линейных ОДУ поставляет теория свободных колебаний в вакууме и теория собственных и вынужденных колебаний в сжимаемой среде тонкостенных замкнутых вытянутых упругих оболочек вращения, а также задачи дифракции плоской звуковой волны на вытянутых упругих телах или оболочках вращения, заполненных акустической средой: неоднородные КрЗ с особыми точками, в том числе с разрывными элементами матрицы системы и обобщёнными функциями в правых частях ОДУ; сингулярные КрЗ для гамильтоновых систем ОДУ на отыскание вещественных СЗ со сложным распределением сгущающегося спектра; сингулярные КрЗ на отыскание комплексных СЗ вблизи вещественной оси для изучения резонансных свойств оболочек в сжимаемой среде, и др. Такие задачи возникают при (асимптотическом) разделении переменных в системе УрЧП теории оболочек типа Лява и при различных асимптотических подходах, использующих входящие в задачу малые параметры (малая толщина оболочки или её сильная вытянутость). Большой цикл работ этого направления (см., например, [71, 72]), выполнен совместно с Акустическим институтом, в котором результаты исследований использовались для развития теории приёмно-излучающих систем и их практического применения.

Задачи квантовой механики, В [73] методы вычисления обобщённых ВЭФ, возникающих при разделении переменных в трёхмерном уравнении Шрёдингера в эллипсоидальной СК, применялись для решения задач квантовомеханического рассеяния частиц на "эллипсоидальных" потенциалах, появляющихся в моделях молекул в квантовой химии. К задачам квантовой химии относятся также задачи, решённые в [57, 58]. В [51-53] разработаны методы решения задач квантовой механики на связанные состояния и рассеяние частиц, сводящиеся к ОДУ второго порядка с потенциалами достаточно общего вида. В [53] методы применялись к задаче об атоме водорода в однородном электрическом поле. Задача возникает при разделении переменных в трёхмерном уравнении Шрёдингера в параболоидной СК и является одной из признанно сложных задач квантовой механики (она важна для развития методов лазерной спектроскопии материалов). В [53], в частности, указано на неточные постановки в других работах сингулярных задач с параметрами для возникающих здесь ОДУ второго порядка на полуоси и с особенностью в нуле, на неверные или необоснованные подходы к решению этих задач, приводящие к расхождениям в расчётах. Для задачи рассеяния электрона на ядре атома водорода в присутствии однородного электрического поля задействован весь "арсенал" вычислительных средств. Указано, что для более строгого решения задачи о Штарк-эффекте (снятии вырождения энергетических уровней атома водорода в электрическом поле) следует поставить и решать двухпараметрическую несамосопряжённую сингулярную спектральную задачу (аналогичную задачам в [62, 63]).

Задачи устойчивости солитонов в нелинейной теории поля. Исследования устойчивости в рамках линейной теории возмущений точных или численно найденных регулярных решений нелинейных волновых уравнений и систем таких уравнений, определённых во всём пространстве, приводят к сложным спектральным задачам для векторных систем ОДУ второго порядка на полуоси с (не)линейным вхождением СП. Цикл работ по решению таких задач выполнен совместно с ИТЭФ [74, 75].

Применение к некоторым нелинейным задачам механики несжимаемой жидкости. В ряде работ, начиная с [37, 38], даны корректные постановки и предложены аналитико-численные методы исследования (на уровне автомодельных решений) трёх сингулярных КрЗ механики несжимаемой жидкости, сводящихся к решению на (полу)бесконечном интервале автономных систем нелинейных ОДУ, обладающих в фазовом пространстве бесконечным множеством точек псевдогиперболического равновесия: о двумерном течении в слое смешения при нулевом градиенте давления (в рамках теории пограничного слоя), о трёхмерном осесимметричном течении вблизи вращающегося диска бесконечно большого радиуса, а также вблизи бесконечной неподвижной плоскости при вращении над нею жидкости с постоянной угловой скоростью на бесконечности, в том числе и при наличии магнитного поля. В частности, устранены порой существеные неточности, допущенные при постановке этих задач в публикациях некоторых авторов.

В [76] и других работах даны корректные постановки и проведено аналитико-численное исследование сингулярных ЗК и КрЗ для нелинейных ОДУ второго порядка типа Эмдена-Фаулера (на примере конкретных задач астрофизики, атомной физики и теории пограничного слоя). В частности, сингулярная КрЗ с вырождением по фазовой переменной в граничной точке возникает в теории пограничного слоя, а именно в задаче обтекания бесконечной пластины потоком несжимаемой жидкости со степенным законом для касательного напряжения. Получены новые аналитические результаты для этой известной задачи, связанные с выделением однопараметрических семейств решений, ограниченных в точке вырождения ОДУ, и построены верхние и нижние функции в явном виде.

Нелинейные задачи релятивистской космологии. В [77] и цитированных там работах совместно с ИТЭФ были начаты исследования по изучению объектов типа сферических пузырей, порождённых скалярными полями Хиггса (ПХ) в пространстве Минковского. Решалась (методом характеристик) начально-краевая задача для нелинейного волнового уравнения в сферически-симметричном случае на полуоси (по радиальной переменной) с особенностью в нуле. Найдены пульсирующее решение типа пузыря, излучающего энергию на бесконечность, и долгоживущие малые локализованные осциллирующие решения типа бризеров. Устойчивость последних (а также устойчивость точных решений типа бризеров для уравнения Клейна-Гордона и синус-уравнения Гордона) изучалась в [74]. Эти исследования связаны с поисками моделей элементарных частиц, классические образы которых описываются ПХ в пространстве Минковского.

С середины 90-х гг. выполнен большой цикл работ по правильной постановке, качественному анализу и аналитико-численному исследованию сингулярных ЗК и КрЗ для нелинейных ОДУ второго порядка, возникающих в моделях релятивистской космологии со скалярным нейтральным ПХ или системой таких взаимодействующих полей. В [78] дано строгое математическое описание динамики сферических доменов (пузырей) ПХ в пространствах Минковского, Фридмана и де Ситтера в приближении тонкой стенки, когда можно пренебречь толщиной оболочки пузыря по сравнению с его радиусом. Нелинейные ОДУ второго порядка в этом приближении вырождаются по фазовой переменной (при коллапсе пузыря), имеют особенность по временной переменной t при t ® ¥ и в случае пространств Фридмана – особенность при t = 0.

В [79-81] поставлены и изучаются сингулярные задачи для описания различных объектов в космологических моделях ранней Вселенной – инфляционной космологии, когда пространство- время аппроксимируется пространством де Ситтера и в нём изучаются скалярные нейтральные ПХ и порождённые ими объекты. В результате многочисленных исследований в отделе была предложена наиболее общая математическая постановка задачи, охватывающая ранее полученные результаты. В [81] рассматриваются системы N взаимодействующих ПХ в (D + 1)-мерном пространстве де Ситтера (D ³ 1, 1 £ N £ D). Для полученной системы N нелинейных волновых уравнений в гиперсферической СК ставится задача о нахождении регулярных решений, существующих и ограниченных во всём пространстве-времени и удовлетворяющих на бесконечности (по пространственным переменным) определённым условиям (выхождения на вакуумы ПХ). Решение этой задачи ищется в классе автомодельных функций: для самоподобных объектов различной пространственной симметрии (доменных стенок, уединённых волн, (гипер)пузырей, (гипер)струн и (гипер)монополей) получено общее нелинейное ОДУ второго порядка с параметрами, характеризующими объект, и с двумя конечными и бесконечно удалённой регулярными особыми точками. Даны корректная постановка сингулярной КрЗ на интервале между конечными особыми точками, математический анализ её разрешимости и продолжимости её решений на весь бесконечный интервал, изучены проблемы множественности решений и их асимптотического поведения на бесконечности. Более ранние исследования и конкретные расчёты приведены в [80] для случая D = 3, N = 2, 3 (см. также работы, цитированные в [79-81].

Методы исследования и решения задач линейной алгебры (и их обобщений для операторов в гильбертовом пространстве). В [82-86] предложены и исследованы эффективные методы вычисления СЗ и собственных векторов (СВ) матриц высокого порядка, получаемых, в частности, при использовании метода Галёркина; методы имеют своей основой быстро сходящийся итерационный процесс, главная часть которого – решение соответствующей задачи для матриц существенно меньших порядков.

В [13, 15] разработаны эффективные методы численного нахождения инвариантных подпространств линейных преобразований, возникающих при решении ОДУ с особенностями. В [87-90] предложен и исследован метод решения линейной задачи исключения (задачи вычисления заданного линейного функционала от решения линейного уравнения без вычисления самого решения); метод особенно эффективен в применении к плохо обусловленным и некорректным задачам. В [91-94] разработан метод решения некоторых типов некорректных и плохо обусловленных линейных задач (уравнения и задачи исключения) с неточно заданными исходными данными; использовались достаточно эффективные итерационные методы, дополненные эффективными критериями прекращения итерационного процесса; доказана сходимость так получаемых приближённых решений к точным при стремлении исходных погрешностей к нулю.

В [95] предложена и исследована модификация метода Крандалла-Кикута нахождения СЗ и СВ матрицы (или оператора в гильбертовом пространстве), не приводящая к решению плохо обусловленных линейных уравнений. В [96] и цитированных там работах предложены и исследованы способы ускорения сходимости некоторых нелинейных итерационных процессов. В [97] исследован вопрос полноты СВ самосопряжённой спектральной задачи с нелинейным вхождением СП.

Разработка и расчёты линейных ускорителей и других электротехнических устройств.

Физические процессы в этих устройствах можно моделировать при определённом приближённом подходе краевыми задачами для систем нелинейных ОДУ большой размерности. В отделе был выполнен большой цикл работ [98-101 и др.], в которых разрабатывались численные методы решения таких задач, впервые изучались вопросы захвата частиц в режиме ускорения, их группировки, связи колебаний в различных плоскостях, зависимости решений от начальных данных, влияния взаимодействия частиц на их динамику и др. Получено авторское свидетельство [102]. Предложены методы расчёта ячеистого волновода [103]. Эти результаты непосредственно использовались инженерами на практике.

Разработка новых численных и аналитико-численных методов решения краевых задач для эллиптических уравнений и их применения. В работе [104] для вычислительно трудной задачи Римана–Гильберта для аналитических функций обоснован конечно-разностный метод, который обеспечивает точность 1-го порядка по шагу сетки. На основе оператора разрешения этой задачи осуществлено приведение задачи Пуанкаре для обобщённых аналитических (по И.Н. Векуа) функций к интегральному уравнению и дан алгоритм приближённого решения последнего. Для численного решения задачи Пуанкаре использован и обоснован также вариационно-разностный метод (на базе метода наименьших квадратов); проведённые численные эксперименты подтвердили реальную эффективность метода (см. [105] и цитированную там статью в ЖВМ и МФ, 1969, № 2).

Предложены и разработаны принципиально новые, основанные на сочетании аналитического и численного подходов методы решения двумерных и трёхмерных краевых задач для уравнения Пуассона и некоторых других уравнений второго порядка в сложных, а также сингулярно возмущённых областях [106-110 и др]. Границы областей могут содержать геометрические особенности различных типов. В частности, область может иметь узкие щели, длинные раструбы, скруглённые углы, конуса или рёбра при малых радиусах закругления и т.п. Созданные методы обладают рядом преимуществ по сравнению с ранее известными. Они адекватно отражают структуру решения вблизи особенностей границы и позволяют надёжно и с высокой точностью находить как само решение, так и его градиент, в частности вблизи особенностей, что исключительно важно для приложений. Получены оценки погрешности решения и его градиента в норме максимума модуля, а также оценки скорости сходимости методов. Выполненные численные реализации показали высокую эффективность и очень высокую точность вычисления не только решения, но и его дифференциальных характеристик вплоть до сингулярных элементов границы. Даны приложения этих методов к решению практически важных прикладных задач: к расчёту электрических полей в лазерах новой конструкции, содержащих электроды сложной формы, с оптимизацией формы последних [111], к расчёту полей в технологических установках по производству синтетических волокон и в других современных физических приборах [112].

Разработан также метод решения краевых задач для уравнения Пуассона в плоских областях сложной конфигурации, основанных на сочетании ранее разработанного метода мультиполей с блочным подходом и многокомпонентной итерационной процедурой Шварца [113, 114]. Такое сочетание позволило значительно расширить сферу применимости метода мультиполей и, в частности, охватить расчёт практически всех профилей стержней, используемых в машиностроении. Методы применены для расчёта концентрации напряжений в высоконагруженных элементах конструкций.

Получено продвижение в развитии аналитических методов решения некоторых краевых задач в сложных областях. Построено обобщение метода Леви-Гарабедяна решения задачи Коши в областях сложной формы, дано приложение этого результата к расчёту и оптимизации параметров электронной пушки [115]. Осуществлено развитие обобщённого аналитического метода Треффца для уравнения Пуассона на многоугольниках. На этой основе разработан алгоритм решения задачи кручения и изгиба стержней для широкого класса сечений, найден явный вид асимптотик при подходе трещины к границе для важных механических величин (жёсткости стержня и коэффициента интенсивности напряжений в кончике трещины) [116-117].

Отдел внёс вклад в создание и развитие тематики, вылившейся в дальнейшем в широкое направление по разработке методов декомпозиции областей. Одной из первых работ этого направления явилась инициированная А.А.Дородницыным работа [118], в которой были найдены условия сходимости и получил обоснование итерационный метод с разделением основной области на подобласти без перекрытия решения краевых задач для уравнения Пуассона. В дальнейшем в [119] был предложен и обоснован новый быстросходящийся, допускающий полное распараллеливание итерационный метод декомпозиции решения краевых задач для сингулярных эллиптических с параметром диссипативных уравнений 2-го порядка. Метод был численно реализован на основе билинейных конечных элементов (КЭ), и проведённые эксперименты подтвердили его очень высокую скорость сходимости. Кроме того, получено также обоснование альтернирующего метода Шварца для произвольного числа подобластей [114].

Работы по океанологии и численному моделированию гидрофизических процессов в водоёмах. По этой тематике в отделе было выполнено два больших цикла работ. В одном цикле работ [120-123 и др.], выполнявшемся совместно с сотрудниками института Океанологии АН СССР и МГУ, на уровне некоторых моделей изучалась устойчивость различных океанических течений, а также течений в прибрежных зонах. В рамках линейной теории возмущений задачи сводились к сложным спектральным задачам для систем линейных ОДУ, в том числе с особенностями. Для решения некоторых из таких задач наряду с приведёнными выше общими методами применялись методы и приёмы, предложенные в [124] и работе в ЖВМ и МФ, 1972, № 2.

В другом цикле работ [125-127 и др.] разрабатывались численные методы решения краевых задач для описывающих движение жидкости в приближении "мелкой воды" уравнений Сен-Венана, для рек и относительно неглубоких водоёмов. В [125] была рассмотрена многокамерная модель течения воды в реках и обоснован предельный переход при неограниченном увеличении числа камер. В [126] был предложен простой способ осуществления регуляризации на участках границы, которые могут становиться характеристическими, позволивший обеспечить устойчивость расчётов. В [127] производилось численное моделирование длинных волн в рамках однослойной и двухслойной моделей. Методы использовались и отрабатывались при расчёте циркуляции и уровня вод в конкретных водоёмах: в Аральском и Чёрном морях, в Северном Каспии, в Финском заливе и Онежском озере, в прибрежных зонах и в реках. Разрабатывались также методы численного моделирования гидродинамики прибрежных зон с учётом динамики донных наносов [128], влияния изменчивости береговой линии, а также ветровых полей [129]. Эти исследования проводились в рамках научного сотрудничества с рядом гидрологических институтов.

Исследования, методы и расчёты работ этих циклов использовались специалистами в гидрологических приложениях, при разработке методов рационального использования природных ресурсов и охраны морей, при разработке береговых и берегозащитных сооружений в прибрежной зоне Чёрного моря у берегов Крыма, и др.

Методы исследования и решения начально-краевых задач для нелинейных эволюционных УрЧП (в том числе с вырождениями и фазовыми переходами) и их применения.

Для некоторых типов систем нелинейных эволюционных УрЧП (класс систем включает уравнения параболического и гиперболического типов) для метода сеток и схемы Роте исследована сходимость не только самих приближённых решений, но и их производных различных порядков; доказана неулучшаемость полученных оценок (см. [130] и цитированные там работы).

В большом цикле работ детально исследованы свойства метода сеток решения уравнений типа нестационарной фильтрации. Здесь возможны ситуации, когда решение является обобщённым, но не классическим. Разностные схемы, не учитывающие этого, могут дать качественно неверный результат. Для предложенных схем доказана сходимость приближённого решения к точному [131-136]. В [137] предложен эффективный метод решения систем УрЧП, описывающих фильтрацию многокомпонентных смесей. Метод основан на замене такой системы эквивалентной системой, представляющей собой совокупность уравнений параболического или гиперболического типов, для решения которой используются разностные схемы специального вида. Методы применялись для решения конкретных прикладных задач, описывающих режим разработки нефтегазовых месторождений для многофазных смесей типа нефть-вода-газ и другие явления [138, 139].

В [140], [141] и других работах исследованы некоторые классы нелинейных операторных уравнений с разрывными монотонными операторами (в евклидовом и гильбертовом пространствах). Предложено определение решения таких уравнений, для некоторых типов этих уравнений доказаны существование и единственность решения, построен сходящийся итерационный метод решения, установлена скорость его сходимости в зависимости от свойств исходного оператора, предложен приём ускорения сходимости метода.

Важными прикладными задачами, решёнными в отделе совместно с ФИАН СССР, являются задачи о распространении лазерного луча в нелинейных средах с многократной его самофокусировкой. Явление описывается нелинейным уравнением типа Шрёдингера. Существенным свойством задачи в простейшей модели, делающим её очень сложной для численного решения, является наличие особых точек, при приближении к которым решение перестаёт быть ограниченным (точки самофокусировки луча). Предложенный в [142] численный метод и уточнение физической модели дали возможность продолжить решение после перехода через такие точки и провести численные исследования широкого круга задач. Результаты обширных вычислений хорошо согласовались с результатами экспериментов. Ограничимся указанием первых работ [143-145], которые явились частью цикла работ, зарегистрированного в Государственном реестре открытий СССР как научное открытие [146]. К этой тематике следует отнести также работу [147], в которой изучена разрешимость в целом смешанной КрЗ для нелинейного уравнения типа Шрёдингера.

Разработка новых численных методов решения краевых задач для линеаризованных и нелинейных систем Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Для предложенного А.А. Дородницыным (см. [148], работы [50,53] в списке этих трудов) итерационного метода с расщеплением граничных условий (ГУ) решения 1-й краевой задачи в двумерном случае для стационарного уравнения Навье-Стокса (в переменных "функция тока-вихрь") были найдены условия сходимости и получено теоретическое обоснование, причём сначала для бигармони- чёского уравнения и системы Озеена, а затем и для нелинейного уравнения Навье-Стокса (см. [149] и цитированные там работы). Несмотря на невысокую (степенного, а не экспоненциального характера) скорость сходимости, метод применялся для расчёта конкретных течений вязкой несжимаемой жидкости (см. [148] и работы [55, 60, 61], приведённые там).

Позже для разрешения (КЭ-) схемы Гриффитса, аппроксимирующей (скорости – биквадратными, а давление – кусочно-постоянными элементами) в целом 1-ю краевую задачу для системы типа Стокса с параметром на прямоугольнике были разработаны и численно исследованы алгоритмы многосеточного метода [150]. При этом существенным моментом явилось построение операции аппроксимативно соленоидальной интерполяции для перехода на более грубые сеточные уровни. Метод обладает высокой скоростью сходимости, однако сама КЭ-схема оказывается довольно громоздкой и вдобавок обеспечивает лишь 1-й порядок точности по шагу сетки для давления.

В дальнейшем под влиянием работы А.А.Дородницына ([148], статья [91] в списке трудов, первое сообщение сделано в 1985 г.), в которой был предложен новый итерационный метод с расщеплением ГУ для задачи пространственного обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью, в отделе были построены на дифференциальном уровне принципиально новые быстросходящиеся итерационные методы с неполным и полным расщеплением ГУ решения 1-й краевой задачи для упомянутой выше уже многомерной сингулярно возмущённой системы типа Стокса, возникающей при дискретизации по времени начально-краевых задач для нестационарных систем Стокса и Навье-Стокса (большой параметр m2 в системе типа Стокса при этом обратно пропорционален коэффициенту вязкости, умноженному на шаг по времени), см. [151] и первоначальную статью в ДАН, 1992, т. 325, № 5, цитированную там. Итерационные методы с неполным расщеплением ГУ были разработаны при взаимно полезных контактах с авторами статьи [152], в которой метод этого типа был предложен для сингулярно возмущённого уравнения типа бигармонического.

Для системы типа Стокса такие методы приводят на итерациях к существенно более простым, чем исходная, краевым задачам для уравнений Пуассона или Гельмгольца (дисси- пативного) и в процессе итераций выстраивают точные граничные значения для нормальной производной от давления одновременно с решением всей задачи. Для случая слоя при условии периодичности задачи по переменным вдоль слоя установлена сходимость методов в шкале пространств Соболева-Слободецкого с точной оценкой скоростей [153], получены так называемые "e-коэрцитивные" (e = 1/m) оценки решений в этих пространствах исходной сингулярно возмущённой задачи. Обоснование этих методов для системы типа Стокса получено также и для областей с круговой симметрией [154]. Наиболее простые – первые из указанных итерационных процессов, обеспечивают уменьшение ошибки за 1 итерацию не менее, чем в 10 раз, а вторые – несколько более сложные – в число раз пропорциональное даже величине m2 в случае слоя между плоскостями и величине m в случае шарового слоя.

Кроме того, были построены аналогичные методы с (полным) расщеплением ГУ в областях с круговой симметрией см. [155, 156] и для системы Стокса. И в этом случае, когда уже нет большого сингулярного параметра, наличие которого оказалось благоприятным фактором для повышения скорости сходимости, удалось обеспечить достаточно высокую скорость сходимости процессов: например, для шарового слоя уменьшения ошибки за итерацию – не менее чем в 8,9 раза, а для "толстых" слоёв – и значительно больше.

Разработке численных реализаций всех этих методов посвящён большой цикл работ группы сотрудников отдела. В [157] для случая полосы при условии периодичности и в [158] для случая шарового слоя при условии осевой симметрии были построены алгоритмы непосредственных билинейных КЭ-реализаций этих новых итерационных методов с расщеплением ГУ. Оказалось, что и скорости, и давление возможно аппроксимировать одинаково – билинейными КЭ (для случая шарового слоя в сферической системе координат), не заботясь при этом о выполнении каких-либо условий согласования аппроксимаций для скоростей и давления типа известного, трудно проверяемого условия устойчивости Ладыженской-Брецци-Бабушки (ЛББ-условия), необходимого при КЭ-аппроксимациях всей задачи в целом. Численными исследованиями обнаружено, что построенные КЭ-реализации обеспечивают в норме максимума модуля 2-й порядок точности и для скорости, и для давления во всей полосе – в случае полосы при условии периодичности, а в шаровом слое – вне малых конических окрестностей оси симметрии; вплоть же до оси симметрии порядок точности падает, для давления – даже до 1-го порядка.

Кроме того, у непосредственных билинейных КЭ-реализаций итерационных методов с расщеплением ГУ для системы типа Стокса обнаружилось ещё одно весьма нежелательное явление – существенное падение скорости сходимости на средних и высоких гармониках (по сравнению с дифференциальными версиями методов). В случае слоя при условии периодичности этот значительный недостаток удалось радикальным образом преодолеть в [159, 160] с помощью несложных модификаций КЭ-аппроксимаций формул пересчёта на границе. В результате в этом случае были разработаны численные реализации методов с расщеплением ГУ, имеющие следующие достоинства: 1) они оперируют в физических переменных "скорость-давление"; 2) обладают достаточной алгоритмической простотой; 3) имеют реально, при использовании многосеточного метода Р.П. Федоренко для разрешения этих КЭ-схем, высокие скорости сходимости; 4) обеспечивают в норме максимума модуля 2-й порядок точности численных решений. Такого порядка точности для давления не могут обеспечить многие из других известных методов, в частности КЭ-аппроксимации всей задачи в целом, удовлетворяющие ЛББ-условию.

Непосредственная, осуществлённая в [158] КЭ-реализация итерационного метода с расщеплением ГУ для системы Стокса в шаровом слое на удивление не страдает падением скорости сходимости на высоких гармониках. На её основе был построен новый итерационный метод расчёта стационарных осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости в шаровом слое [161]. С помощью этого метода был получен ряд высокоточных численных решений задачи о сферических течениях Куэтта при различных режимах вращения граничных сфер. Как показали сравнения с экспериментальными данными, метод сходится практически в области докритических значений числа Рейнольдса.

Построение модификаций КЭ-реализаций из [158] методов с расщеплением ГУ для систем Стокса и типа Стокса в осесимметричном случае, обеспечивающих 2-й порядок точности в норме максимума модуля по всему шаровому слою и для скоростей, и для давления, удалось осуществить в [162] на основе результатов работы [163]. В итоге и в случае шаровых слоёв при наличии осевой симметрии построены КЭ-реализации методов с расщеплением ГУ для систем Стокса и типа Стокса, обладающих теми же свойствами, что и перечисленные выше для случая слоя при условии периодичности.

Проводились также численные исследования методов решения начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса, заключающихся в дискретизации по времени задачи и численном решении возникающих на временных слоях краевых задач для системы типа Стокса с помощью методов с расщеплением ГУ. В [162] обнаружено следующее принципиально новое явление: шаги по времени нельзя брать очень малыми, так как это может приводить к чрезмерно большим ошибкам для давления при сохранении высокой точности для скорости. Условием, обеспечивающим достаточно высокую точность как для скорости, так и для давления, по- видимому, является сравнимость величин шагов по времени и по пространству. Такой метод интегрирования с дискретизацией по времени типа Кранка-Николсон численно исследовался в [164] именно при этом условии [164]; он обнаружил 2-й порядок точности по пространственным и временным шагам.

Для случая полосы при условии периодичности были разработаны также и бикубические КЭ-реализации всех итерационных процессов с расщеплением ГУ для систем Стокса [165]. При одинаковом аппроксимировании и скорости, и давления бикубическими КЭ методы обеспечивают 4-й порядок точности для сеточных значений как для скорости, так и для давления, однако лишь 3-й порядок точности численных решений в норме максимума модуля. Один результат работы [166] показал, что при построении бикубической КЭ-аппроксимации задачи Неймана (встречающейся на итерациях во всех фигурирующих процессах с расщеплением ГУ) вместо общепринятого по методу КЭ задания ГУ как естественного краевого условия следует использовать более жёсткое задание граничного условия Неймана, что позволяет повысить порядок точности до 4-го.

Разрабатываемые численные методы с расщеплением ГУ для системы типа Стокса допускают хорошее перенесение на случаи более общих областей. Так, разработаны и в основном численно исследованы КЭ-реализации на основе билинейных элементов итерационных методов с расщеплением ГУ: в [167] – на прямоугольнике, а в [168] – в неконцентрических кольцах, причём алгоритмика последней статьи переносится на случай произвольной двусвязной области, для которой известно конформное отображение на концентрическое кольцо. И в этих случаях, для которых уже не имеется обоснования методов даже на дифференциальном уровне, получены результаты, аналогичные предыдущим.

С целью выделения для различных значений сингулярного параметра наиболее быстрых итеративных методов (из таких как многосеточный метод, метод верхней релаксации, метод переменных направлений) разрешения билинейных и бикубических КЭ-схем численного решения краевых задач для диссипативного уравнения Гельмгольца, встречающихся в методах с расщеплением ГУ для системы типа Стокса, проведено исследование [166].

Численное исследование и применение кубатурных формул с теоретико-числовыми сетками к вычислению многократных интегралов. Изложение теории таких формул, которые на некоторых классах функций имеют более высокий порядок точности, чем метод Монте- Карло, приведено в монографии [169]. В отделе при участии и консультациях автора монографии и под руководством Ф.Г. Черемисина осуществлялось применение этих формул к вычислению интеграла столкновения Больцмана и сравнение их по эффективности с методом Монте-Карло [170]. Результаты, полученные с использованием "рендомизиро­ванных сеток", оказались существенно точнее, чем при использовании метода Монте-Карло. Кубатурные формулы с теоретико-числовыми сетками в настоящее время систематически используются в ВЦ РАН при решении кинетических уравнений; они находят применение для вычисления многомерных интегралов высокой кратности и в других научных институтах, например, в ОИЯИ (Дубна).

Работы по теории колебаний оболочек. Исследования по колебаниям жидкости в сосудах. Методом асимптотического интегрирования впервые проведено исследование спектров частот свободных колебаний тонких упругих оболочек вращения, дана классификация спектров [171-173]. На этой основе получены простые и достаточно точные алгоритмы определения частот и форм различных типов свободных колебаний оболочек.

Получены важные результаты в области исследования колебаний жидкости в жёстких и упругих сосудах [174-176]. Трёхмерная задача о колебаниях жидкости в жёстком сосуде произвольной формы при определённом механически разумном подходе сведена к двумерной. Установленные двусторонние оценки частот при этом подходе показывают высокую точность такого приближённого метода. Для задачи о колебаниях упругих систем с жидкостью дана новая оригинальная постановка, существенно упрощающая её решение.

Теория сетчатых оболочек и пластин. Создана основополагающая теория многослойных сетчатых оболочек как континуальных систем, получившая широкое признание как в нашей стране, так и за рубежом [177, 178] и целый ряд предшествовавших и последующих работ. На основе созданной фундаментальной теории были разработаны эффективные методы решения широкого класса актуальных задач статики, устойчивости и динамики сетчатых и ребристых оболочек. Эти методы нашли широкое применение при проектировании многих ответственных сооружений. В результате оптимизации структуры сеток оболочек были проведены расчёты многих рациональных систем народнохозяйственного значения, обладающих высокими прочностными свойствами; в том числе на основе выполненных прочностных расчётов налажен серийный заводской выпуск сетчатых и зонтичных оболочек специального назначения особо больших размеров. С помощью предложенного численного метода проведены соответствующие расчёты и даны рекомендации по оптимизации установки зеркала самого крупного в мире (в то время) шестиметрового телескопа [179]. Проведены исследования, которые внесли существенный вклад в развитие физически и геометрически нелинейной теории оболочек [180].

Разработка численных методов решения краевых задач, возникающих в теории оболочек. Метод декомпозиции. Для упругих безмоментных оболочек положительной, отрицательной и меняющей знак гауссовой кривизны, при использовании уравнений в перемещениях, рассмотрены краевые задачи с достаточно общими граничными условиями четырёх видов [181, 182]. Во всех случаях задачи сводятся к вариационным с положительно определённым функционалом (потенциальной энергии). Для численного решения рассмотренных задач использован вариационно-разностный метод (метод КЭ). Для оболочек с кривизной, меняющей знак, на линии смены знака задаются дополнительные условия сопряжения.

Для безмоментных сетчатых оболочек в [183] обоснованы численные методы и получены результаты, аналогичные результатам работ [181, 182]. Для различного типа задач для момент- ных сетчатых оболочек вращения в [184] обоснован приближённый метод решения, приводящий к соответствующей безмоментной задаче и нахождению поправок типа погранслоя; получены оценки погрешности метода.

Предложен (см. [185]) и развивался новый метод декомпозиции (по независимым переменным) численного решения краевых задач для уравнений с частными производными высокого порядка, в частности задач, встречающихся в механике твёрдого деформируемого тела и оболочек. Метод с успехом использовался для построения приближённых решений ряда вычислительно сложных задач с точностью вполне достаточной для инженерных расчётов [186-188]. В одном частном случае приближённого решения задач об изгибе сетчатых пластин различного типа (уравнение 4-го порядка) с общими граничными условиями в работе [189] получено теоретическое обоснование метода декомпозиции и дана оценка его точности. В общем же случае сходимость метода декомпозиции не получила пока математического обоснования.

Вклад в разработку систем автоматизированного проектирования самолётов. К числу весьма значимых работ отдела следует отнести исследования и разработки в области предварительного оптимального автоматизированного проектирования самолётов [190]. В частности, был разработан метод оптимизационного статического расчёта силовой системы крыла самолёта [191], которое представлялось тонкостенной оболочкой многозамкнутого профиля. При этом под оптимизационным понимался расчёт, приводящий к крылу с такими сечениями, при которых конструкция окажется в определённом смысле равнопрочной.

Решение задач линейной теории упругости для многослойных и непрерывно неоднородных сред. Для решения задач теории упругости и термоупругости для слоистых сплошных и полых цилиндров разработан аналитический метод функций влияния [192 и соответствующие ссылки там]. С помощью преобразований Фурье и Ганкеля построены аналитические решения первой основной краевой задачи теории упругости для полупространства, состоящего из произвольного конечного числа слоёв различных материалов, при произвольных нормальных и касательных нагрузках на внешней поверхности полупространства в плоском, пространственном и осесимметричном случаях [193]. Путём предельного перехода в решении этой задачи при бесконечном увеличении числа слоёв и стремлении их толщин к нулю в [194] получены также аналитические решения для непрерывно неоднородного пространства.

На основе предыдущих результатов разработаны методы решения плоских и осесиммет- ричных смешанных задач теории упругости для многослойных и непрерывно неоднородных полупространств, а именно контактных задач с двухсторонними и односторонними связями при известных и неизвестных областях контакта [195-197] и задачи о трещинах в слоистых средах [198, 199]. Методы сводят задачи к сингулярным интегральным уравнениям, которые с помощью регуляризадий приводятся к интегральным уравнениям типа Фредгольма; последние решаются численно.

Для упругих контактных задач с тонкими многослойными покрытиями в [200] разработан новый асимптотический метод, позволяющий получать сравнительно простые аналитические решения для любого числа слоёв, в том числе и для случая очень тонких слоёв, чего не удавалось осуществить ранее известными методами.

С применением интегральных преобразований Ганкеля и Лапласа-Карсона на основе теории Био получено аналитическое и численное решение осесимметричной задачи о консолидации многослойного, пористого, насыщенного водой полупространства при произвольной внешней нормальной нагрузке, а также о консолидации пористого упругого полупространства под давлением кругового штампа [201 и соответствующая ссылка там].

Результаты многих из этих работ нашли применение в практике конкретных инженерных расчётов напряжённого и деформированного состояния различных слоистых структур в ряде отраслевых научно-исследовательских и проектных институтов.

Работы по теории и численным методам решения задач линейной и нелинейной механики деформируемого твёрдого тела. В отделе получены фундаментальные результаты по теории нестационарных задач для деформируемых твёрдых тел под воздействием интенсивных термомеханических нагрузок, при высоких скоростях нагружения, конечных упругопластиче- ских деформациях [202-204], с учётом разрушения материала [202, 205, 206]. Предложен аналитический метод решения одномерных динамических задач для упруговязкопластических материалов с неизвестной заранее границей раздела между упругой и вязкопластическими областями. В [207] метод применён к решению задачи об определении волны упругой разгрузки в упруговязкопластических стержнях. Исследованы закономерности распространения нелинейных волн в упругопластических и упруговязкопластических средах [207 и др]. Исследованы закономерности распространения сильных и слабых разрывов в термоупруговязкопласти­ческих средах в связной постановке задачи [203, 208].

Большой цикл работ [207-209 и др.], посвящён развитию асимптотического метода решения начально-краевых задач для сингулярно возмущённых систем квазилинейных уравнений гиперболического типа от двух переменных и приложению этого метода к решению задач о структуре ударных волн в структуре полос локализации при квазистатическом и динамическом нагружении. Разработаны численные методы решения жёстких задач с несколькими масштабными факторами, разными по порядку величин [209, 203]; методы применены к решению задач о распространении упругопластических волн с малой вязкостью.

Разработаны численные методы первого и второго порядка точности решения пространственных задач теории упругости и пластичности методом пространственных характеристик [202, 210, 211] и дано их приложение к решению широкого класса двумерных задач о неупругом соударении [210, 205, 212]. В [213, 214] для статических задач линейной и нелинейной теории упругости, теории оболочек развиты модификации метода конечных элементов и метода сплайнов.

Проводились также практически важные работы в прикладных областях. Разработаны методы численного моделирования образования струй в кумулятивных снарядах, пробивания многослойных преград при высоких и сверхвысоких скоростях удара, см. [212, 204, 206]; созданные пакеты прикладных программ нашли применение в ряде отраслевых НИИ и КБ.

Разработаны новые методы исследования и решения квазистатических контактных задач для упругих, вязкоупругих и упругопластических тел. Эти работы были инициированы актуальными технологическими проблемами в машиностроении и обработке металлов давлением. При этом значительное внимание уделялось изучению и учёту трения, которое является едва ли не определяющим фактором и существенно влияет на разнообразные технологические процессы, качество получаемых изделий, надёжность и ресурс технологического оборудования [215].

В целях исследования напряжённо-деформированного состояния металла как при его нагрузке в некоторой части изделия, так и одновременно при его разгрузке в другой части в условиях больших деформаций нагружения, пространственного характера деформирования и сложного характера контактного взаимодействия с обрабатывающим инструментом разработан новый метод численного изучения технологических процессов – метод локальных функционалов. Этот метод является модификацией метода конечных элементов и позволяет использовать для получения приближённых решений возникающих задач современную теорию А.А. Ильюшина упругопластических процессов. С помощью разработанного метода были исследованы технологические процессы изготовления и эксплуатации прокладок автомобильных двигателей [216, 217].

Метод локальных функционалов применялся также для анализа несущей способности толстостенных упругопластических труб при их одновременной нагрузке внешним давлением и изгибом, возникающими при моделировании процесса прокладки трубопровода по дну моря [218, 219].

Работы по геофизике. Совместно с сотрудниками Института физики Земли АН СССР в большом цикле работ [220-223 и цитированные в них более ранние статьи] построена теория возмущений в задаче о собственных колебаниях Земли, которые фиксируются при очень мощных (катастрофических) землетрясениях. Эта теория может быть использована для уточнения существующих моделей внутреннего строения Земли. В частности, она была применена к изучению диссипативных свойств её недр.

Проведены численные и аналитические исследования задач о деформировании и разрушении геологической среды под действующими вулканами. Разработаны новые представления о прорывах магмой питающих каналов, образовании даек и других пластовых интрузий. Новые представления созданы на основе комплекса данных о вулканах Карымском и Ключевском на Камчатке и вносят важный вклад в создание научно-обоснованных прогнозов извержений [224, 225].

Проведены исследования возможностей и эффективности использования моментных теорий механики сплошной среды при анализе состояний геомеханического континуума [226].

Разработка аналитико-численных методов, основанных на применении специальных голомор­фных разложений одной или нескольких комплексных переменных к решению ряда уравнений с частными производными и краевых задач. Отправляясь от методики, использующей известное представление Колосова-Мусхелишвили общего решения уравнений теории упругости в двумерном случае, проведено существенное расширение этого классического метода на случай трёхмерных задач, а также разработана методика применения голоморфных функций для некоторых нелинейных задач.

Проведены разработки и исследования по применению теории функций нескольких комплексных переменных для построения аналитико-численных приближённых решений некоторых пространственных линейных задач теории упругости и других задач математической физики [227-229]. Предложен способ выделения некоторых линейных уравнений математической физики, у которых существуют решения, допускающие конечные специальные представления через голоморфные функции одного и нескольких переменных. В частности, с использованием теории функций двух комплексных переменных получены приближённые решения некоторых трёхмерных краевых задач моментной теории упругости Коссера для цилиндрических тел с боковыми вырезами [230].

Для ряда двумерных нелинейных уравнений математической физики, таких как уравнения для плоских физически нелинейных задач теории упругости при малых деформациях, уравнения плоских задач теории упругости в модели Синьорини при больших деформациях, система уравнений Навье-Стокса, уравнение sin-Gordon, уравнение Кортевега-де-Фриза, разработан метод получения многообразий аналитико-численных частных решений, основанный на специальных представлениях решений исследуемой системы комплексифицированных уравнений [231, 232].

Работы по теории разрешимости и качественной теории краевых задач для уравнений с частными производными, по теории некоторых функциональных пространств. В работе [233] изучено поведение решений задачи Коши для 2-р параболического, p ³ 1, уравнения с малым параметром e, вырождающегося при e = 0 в уравнение с частными производными 1-го порядка, при начальных данных, разрывных на некоторой поверхности. Установлено важное представление решений в виде суммы трёх слагаемых: решения невозмущённой задачи, разрывного на характеристической поверхности, функции типа внутреннего погранслоя и остаточного члена, равномерно стремящегося к нулю при e ® 0.

Исследовано предельное поведение при больших временах решений задачи Коши-Пуассона о волнах в водоёме постоянной глубины, поддерживаемых периодическим по времени поверхностным давлением [234]. Установлено существование предельной амплитуды, получены некоторые другие результаты качественного характера о поведении решений, а также некоторые их оценки.

Для эллиптических с параметром диссипативных уравнений 2-го порядка с дивергентной главной частью в областях с липшицевой границей в [235] описана теория смешанных краевых задач (типа Зарембы) с неоднородными граничными условиями в рамках обобщённых решений из пространства Соболева  Изучены порождаемые такими задачами операторы типа Пуанкаре-Стеклова. При определённых условиях при минимальной гладкости граничных функций проведено обоснование метода Фурье. Полученные результаты существенно использовались в [119] при обосновании метода декомпозиции области.

Построена теория весовых пространств типа Харди гармонических функций и аналогичных пространств аналитических функций в области со спрямляемой границей [236]. При этом получены аналоги ряда основных результатов классических пространств Харди, относящиеся к граничным свойствам, приближению многочленами, установлены оценки решений краевых задач и др. Эти результаты были применены для обоснования развиваемых аналитико-численных методов решения краевых задач.

Получены новые результаты по асимптотическому поведению при больших временах решений 1-й краевой задачи для квазилинейных параболических уравнений [237], а также линеаризованных систем уравнений Навье-Стокса с нерегулярными коэффициентами [238]. Использование методов теории предельного перехода в уравнениях со слабо сходящимися (в частности, осциллирующими) коэффициентами позволило доказать асимптотическую близость решений к решению предельной стационарной задачи.

Построение аналога метода Винера-Хопфа для уравнений с операторами свёртки на конечном интервале. Работы по спектральной теории таких интегральных операторов. Для одного класса уравнений свёртки на конечном интервале с символами, имеющими невырожденную степенную асимптотику на бесконечности в [239] получен достаточно конструктивный аналог метода Винера-Хопфа, сводящий уравнение в образах Фурье-Лапласа к векторной (с двумя компонентами) задаче Гильберта линейного сопряжения на некотором контуре в комплексной плоскости, проходящем через ¥. Этот класс включает в себя ряд уравнений, встречающихся в математической физике и других областях. В [240] разработан метод построения канонической матрицы решений возникающей задачи Гильберта.

С помощью результатов работы [239] в [241] получено обобщение метода Винера-Хопфа уже для произвольных уравнений свёртки на конечном интервале с символами, имеющими невырожденную степенную асимптотику на бесконечности. В этом обобщении метода уравнение приводится в образах Фурье к неклассической задаче сопряжения на действительной оси, для которой построена необходимая теория. Установлена нетеровская разрешимость рассмотренных уравнений в шкале пространств Соболева-Слободецкого обобщённых функций на интервале.

Проведено обстоятельное изучение спектральных свойств интегральных операторов свёртки на конечном интервале с ядрами, образы Фурье которых (символы) являются рациональными функциями [242, а также цитированная там статья в ДАН СССР, Т. 194, № 4]. Выделены случаи "слабо" несамосопряжённых регулярных ядер, для которых обеспечивается "правильность" асимптотики для собственных значений (СЗ), и "существенно" несамосопряжённых ядер, спектр которых имеет патологический характер. В первом случае получена асимптотика собственных функций (СФ) и установлена их базисность по Риссу.

Впервые получены асимптотические разложения для СЗ и СФ интегральных операторов свёртки на конечном интервале с общими невырожденными однородными полярными ядрами [243, а также цитированная там первоначальная работа автора в ДАН СССР, 1974, т. 218, № 1]. Получены принципиально новые результаты, обнаружены новые неожиданные эффекты у спектральных асимптотик таких уже по существу псевдодифференциальных операторов. Методы, разработанные в последней из указанных работ, послужили началом создания теории решения уравнений свёртки на конечном интервале, представленной в работах [239-241]. Эти методы допускают развитие и позволяют получать спектральные асимптотики и для более сложных операторов свёртки.

Развитие теории векторной задачи Гильберта линейного сопряжения. В связи с запросами, появившимися в ходе выполнения работ по разрешимости уравнений свёртки на конечном интервале, в [244] была построена достаточно законченная теория векторной задачи Гильберта линейного сопряжения (этой чрезвычайно важной задачи и для ряда других приложений) с кусочно-непрерывным невырожденным матричным коэффициентом на произвольной кусочно-гладкой кривой с самопересечениями (сети). Установлено существование канонической матрицы решений однородной задачи с элементами, представимыми интегралами типа Коши с плотностями из Lp-пространств с весами, удовлетворяющими условию Макенхаупта, и получены соответствующие необходимые оценки решений неоднородной задачи в таких пространствах. Построение такой теории даже с непрерывной матрицей на гладком контуре долгое время оставалось проблемой. В [244] оно осуществлено при использовании развитого в работах Б.В. Хведелидзе метода интегралов типа Коши, а также принципа локализации для этой задачи. Кроме того, в [245] были найдены условия минимального характера, обеспечивающие непрерывность вплоть до контура и степенное поведение в окрестностях узловых точек решений однородной векторной задачи линейного сопряжения.

Литература

 

 

 

1.      

Абрамов А.А. Вариант метода прогонки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т.1, № 2. С. 349-351.

 

 

2.      

Абрамов А.А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1, № 3. С. 542-545.

 

 

3.      

Курочкин С.В. О свойствах устойчивости методов дифференциальной прогонки// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40, № 11. С. 1611-1614.

 

 

4.      

Абрамов А.А., Андреев В.Б. О применении метода прогонки к нахождению периодических решений дифференциальных и разностных уравнений// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3, № 2. С. 377-381.

 

 

5.      

Abramov A.A., Birger E.S., Konyukhova N.B., Ulyanova V.I. On methods of numerical solution of boundary-value problems for systems of linear ordinary differential equations 11 Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai, 22 (Keszthely, Hungary). Numer. Methods. Amsterdam-Oxford-New York: North- Holland Publ. Co., 1977. P. 33-67.

 

 

6.      

Абрамов А.А., Диткин В.В., Конюхова Н.Б., Парийский B.C., Ульянова В.И. Вычисление собственных значений и собственных функций обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20, № 5. С. 1155-1173.

 

 

7.      

Абрамов А.А., Бураго Н.Г., Диткин В.В., Дышко А.Л., Заболоцкая А.Ф., Конюхова Н.Б., Парийский Б.С., Ульянова В.И., Чечель И.И. Пакет прикладных программ для решения линейных двухточечных краевых задач // М.: ВЦ АН СССР, 1982. 63 с.

 

 

8.      

Джангирова С.А. О многоточечных задачах для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27, № 9. С. 1375-1380.

 

 

9.      

Абрамов А.А., Альварес Л.М. Метод решения жёстких краевых задач, основанный на расщепле¬нии оператора // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29, № 12. С. 1800-1810.

 

 

10.   

Абрамов А.А., Альварес Л.М., Гонсалес-Фелипе Р., Родригес А.Р. О некоторых возможностях метода расщепления оператора // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, № 7. С. 953-961.

 

 

11.   

Абрамов А.А. О переносе условия ограниченности для некоторых систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1, № 4. С. 733-737.

 

 

12.   

Биргер Е.С., Ляликова (Конюхова) Н.Б. О нахождении для некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений решений с заданным условием на бесконечности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.: I. 1965. Т. 5, № 6. С. 979-990; И. 1966. Т. 6, № 3. С. 446-453.

 

 

13.   

Абрамов А.А. О граничных условиях в особой точке для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11, № 1. С. 275-278.

 

 

14.   

Абрамов А.А. О поведении граничных условий, переносимых в окрестности регулярной особой точки// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20, № 4. С. 901-908.

 

 

15.   

Абрамов А.А. О численном решении некоторых алгебраических задач, возникающих в теории устойчивости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24, № 3. С. 339-348.

 

 

16.   

Конюхова Н.Б. О допустимых граничных условиях в иррегулярной особой точке для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1983. Т. 23, № 4. С. 806-824.

 

 

17.   

Конюхова Н.Б., Пак Т. В. К переносу допустимых граничных условий из бесконечности для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с большим параметром // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27, № 6. С. 847-866.

 

 

18.   

Абрамов А.А., Балла К., Конюхова Н.Б. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: ВЦ АН СССР, 1981. 64 с.

 

 

19.   

Абрамов А.А., Конюхова Н.Б., Балла К. Устойчивые начальные многообразия и сингулярные краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Cornput. Math. Banach Center Pubis. Warsaw: PWN – Polish Scient. Publishers, 1984. V. 13. P. 319-351.

 

 

20.   

Abramov A.A., Konyukhova N.B. Transfer of admissible boundary conditions from a singular point for systems of linear ordinary differential equations // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. Utrecht: VNU Science Press, 1986. V. 1, № 4. P. 245-265.

 

 

21.   

Курочкин С. В. Дискретность спектра линейной двухточечной краевой задачи с условиями ограниченности решения в особых точках // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, № 1. С. 1999-2004.

 

 

22.   

Абрамов А.А., Балла К. О приближённых решениях, основанных на теоремах сравнения, скалярных и матричных уравнений Риккати на бесконечном интервале // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 33, № 1. С. 35-52.

 

 

23.   

Курочкин С. В. О сингулярных краевых задачах для линейных гамильтоновых систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34, № 1. С. 58-67.

 

 

24.   

Абрамов А.А., Асланян А.А., Балла К. Сравнение решений прогоночных уравнений при переносе граничных условий из бесконечности для гамильтоновых линейных систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 12. С. 1808-1818.

 

 

25.   

Конюхова Н.Б. Сингулярные задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1983. Т. 23, № 3. С. 629-645.

 

 

26.   

Староверова Н.Б. О корректности и оценках решений сингулярных задач Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34, № 8/9. С. 1150-1167.

 

 

27.   

Конюхова Н.Б. Сингулярные задачи Коши для некоторых систем нелинейных функционально- дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 8. С. 1340-1347.

 

 

28.   

Нгуен Там. О применении метода прямых к областям неправильной формы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, № 2. С. 334-343.

 

 

29.   

Ханкишиев З.Ф. О сходимости метода прямых при решении уравнений эллиптического типа с вырождением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т. 18, № 1. С. 126-138.

 

 

30.   

Абрамов А.А., Ульянова В.П., Юхно Л.Ф. О выделении решений, ограниченных в особой точке, для некоторых дифференциально-алгебраических систем уравнений // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 7. С.893-897.

 

 

31.   

Насибов Ш.М. О численном выделении ограниченных решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных эволюционного типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1977. Т. 17, № 1. С. 119-135.

 

 

32.   

Конюхова Н.Б. О выделениии устойчивых многообразий для некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13, № 3. С. 609-626.

 

 

33.   

Балла К. К решению сингулярных краевых задач для некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20, № 4. С. 909-922.

 

 

34.   

Конюхова Н.Б. О существовании и единственности ограниченных решений систем эволюционных квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 3. С. 469-482.

 

 

35.   

Конюхова Н.Б. О предельном поведении ограниченного решения системы эволюционных квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка при неограниченном возрастании времени// Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 9. С. 1561-1573.

 

 

36.   

Конюхова Н.Б. О стационарной задаче Ляпунова для системы квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 8. С.1384-1395.

 

 

37.   

Конюхова Н.Б. Гладкие многообразия Ляпунова и сингулярные краевые задачи // М.: ВЦ РАН, 1996. 41 с.

 

 

38.   

Konyukhova N.B., Sukov A.I. Smooth Lyapunov manifolds and correct mathematical simulation of nonlinear singular problems in mathematical physics 11 In: Mathematical Modeling. Problems, Methods, Applications / Ed. by L.A. Uvarova, A.V. Latyshev. New York-Boston-Dordrecht-London-Moscow: Kluwer Academic/ Plenum Publishers, 2001. P. 205-217.

 

 

39.   

Конюхова Н.Б. О существовании устойчивых начальных многообразий для систем нелинейных функционально-дифференциальных уравнений // ДАН СССР. Математика. 1989. Т. 306, № 3. С. 535-540.

 

 

40.   

Китороагэ Д.И., Конюхова Н.Б., Парийский Б.С. Метод тригонометрических матриц решения систем гиперрадиальных уравнений Шрёдингера (в задачах квантовой физики на связанные состояния частиц) // М.:ВЦ АН СССР, 1989. 67 с.

 

 

41.   

Абрамов А.А. Об отыскании собственных значений и собственных функций самосопряжённой дифференциальной задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, № 6. С. 819-831.

 

 

42.   

Асланян А.А. О решении самосопряжённой задачи на собственные значения при больших значениях спектрального параметра// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 11. С. 1653-1655.

 

 

43.   

Абрамов А.А. О вычислении собственных значений нелинейной спектральной задачи для гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, № 1. С. 29-38.

 

 

44.   

Абрамов А.А., Юхно Л.Ф. Нелинейная спектральная задача для уравнения типа Штурма-Лиувилля со связанными граничными условиями, зависящими от спектрального параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39, № 7. С. 1119-1133.

 

 

45.   

Абрамов А.А., Балла К., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. Нелинейная самосопряжённая спектральная задача для дифференциально-алгебраических уравнений // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 7. С. 867-878.

 

 

46.   

Биргер Е.С., Конюхова Н.Б. Численный расчёт распространения радиоволн в вертикально- неоднородной тропосфере // Радиотехника и электроника. 1969. Т. XIV, № 7. С. 1147-1156.

 

 

47.   

Курочкин С. В. Топологические методы локализации собственных значений краевых задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 8. С. 1165-1174.

 

 

48.   

Абрамов А.А., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. Метод решения нелинейной несамосопряжённой спектральной задачи для некоторых систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44, № 1. С. 104-110.

 

 

49.   

Абрамов А.А., Дышко А.Л., Конюхова Н.Б., Пак Т. В., Парийский Б.С. Вычисление вытянутых сфероидальных функций решением соответствующих дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24, № 1. С. 3-18.

 

 

50.   

Абрамов А.А., Дышко А.Л., Конюхова Н.Б., Левитина Т. В. Вычисление радиальных волновых функций для сфероидов и трёхосных эллипсоидов модифицированным методом фазовых функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, № 2. С. 212-234.

 

 

51.   

Конюхова Н.Б., Масалович С. Е., Староверова И.Б. О вычислении быстроосциллирующих собственных функций непрерывного спектра и несобственных интегралов от них // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 3. С. 360-379.

 

 

52.   

Конюхова Н.Б., Староверова И.Б. Модификация фазового метода решения сингулярных самосопряжённых задач Штурма-Лиувилля // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37, № 10. С.1183-1200.

 

 

53.   

Конюхова Н.Б., Линь В.Х., Староверова И.Б. О модифицикациях фазового метода в сингулярных задачах квантовой физики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39, № 3. С. 492-522.

 

 

54.   

Биргер Е.С. Об устойчивом вычислении некоторых функционалов от собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на бесконечном интервале // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, № 5. С. 1126-1133.

 

 

55.   

Абрамов А.А., Дышко А.Л., Конюхова Н.Б., Левитина Т. В. Вычисление угловых волновых функций Ламе решением вспомогательных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29, № 6. С. 813-830.

 

 

56.   

Левитина Т. В. О численном решении некоторых трёхпараметрических спектральных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39, № 11. С. 1787-1801.

 

 

57.   

Абрамов А.А., Ульянова В.И. О решении уравнений для определения уровней энергии ионизированной молекулы водорода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1, № 2. С. 351-354.

 

 

58.   

Абрамов А.А., Ульянова В.И. О вычислении уровней энергии системы: два ядра – один электрон // Теор. и эксперим. хим. 1970. Т. 6, № 3. С. 384-386.

 

 

59.   

Абрамов А.А. Метод решения некоторых многопараметрических задач на собственные значения, возникающих при использовании метода Фурье // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34, № 10. С. 1524-1527.

 

 

60.   

Абрамов А.А., Ульянова В.И. Один метод решения самосопряжённых многопараметрических спектральных задач для систем уравнений с особенностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 10. С.1636-1640.

 

 

61.   

Абрамов А.А., Ульянова В. И., Юхно Л.Ф. Метод решения многопарамет­рической спектральной задачи для некоторых систем дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40, № 1. С.21-29.

 

 

62.   

Абрамов А.А., Вайнштейн Л.А., Дышко А.Л., Конюхова Н.Б. Численные иссле­до­вания свободных электрических осесимметричных колебаний идеально проводящего вытянутого сфероида // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29, № 4. С. 535-553.

 

 

63.   

Конюхова Н.Б., Фот Т. Е. Численные исследования свободных электрических осесимметричных колебаний идеально проводящего сплюснутого сфероида // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 8. С. 1209-1232.

 

 

64.   

Коган Ш.М., Таскинбоев Р. Спектры мелких доноров в германии и кремнии // Физика и техника полупроводников. 1983. Т. 17, № 9. С. 1583-1587.

 

 

65.   

Бадалян A.M., Белова Т. И., Конюхова Н.Б., Эфрос В.Д. Резонансы в системе 4Н// Ядерная физика. 1985. Т. 41, № 6. С. 1460-1469.

 

 

66.   

Бадалян A.M., Конюхова Н.Б., Парийский Б.С. Спектр состояний в квантовой механике Янга- Миллса // Ядерная физика. 1987. Т. 45. Вып. 6. С. 1768-1779.

 

 

67.   

Биргер Е.С., Вайнштейн Л.А., Конюхова Н.Б. Дифракция волнового пучка на плазменном цилиндре // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16, № 6. С. 1526-1538.

 

 

68.   

Абрамов А.А., Конюхова Н.Б., Левитина Т. В. О задаче дифракции плоской звуковой волны на трёхосном эллипсоиде // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 8. С. 1347-1357.

 

 

69.   

Абрамов А.А., Дышко А.Л., Конюхова Н.Б., Левитина Т. В. О численно-аналитическом исследовании задач дифракции плоской звуковой волны на идеальных вытянутых сфероидах и трёхосных эллипсоидах// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 9. С. 1374-1400.

 

 

70.   

Levitina T.V., Brandas E.J. Computational techniques for prolate spheroidal wave functions in signal processing// J. Сотр. Meth. Sci. and Engrg. (JCMSE; Cambridge Intern. Science Publishing). 2001. V. l, № 28-38. P. 287-313.

 

 

71.   

Абрамов A.A., Конюхова Н.Б., Парийский Б.С., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Численные исследования свободных и вынужденных колебаний в сжимаемой среде замкнутых упругих моментных оболочек вращения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29, № 5. С. 747-764.

 

 

72.   

Абрамов А.А., Конюхова Н.Б., Курочкин С. В., Парийский Б.С., Приходько В.Ю. Численные исследования осесимметричных свободных колебаний в вакууме и возбуждения в сжимаемой среде вытянутой цилиндрической оболочки с полусферическими торцами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 33, № 10. С. 1550-1580.

 

 

73.   

Levitina Т., Brandas E.J. Scattering by a potential separable in ellipsoidal coordinates 11 Int. J. Quant. Chem. 1997. V. 65. P. 601-608.

 

 

74.   

Белова Т. И., Воронов П.А., Конюхова Н.Б., Парийский Б.С. Численные исследования устойчивости частицеподобных решений уравнений скалярного поля // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. Т. 21, № 1. С. 89-106.

 

 

75.   

Гани В.А., Конюхова Н.Б., Курочкин С. В., Ленский В.А. Исследование устойчивости заряженного топологического солитона в системе двух взаимодействующих скалярных полей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44, № 11. С. 2069-2083.

 

 

76.   

Дышко А.Л., Карпентьер М., Конюхова Н.Б., Лима П. О сингулярных задачах для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка типа Эмдена-Фаулера // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, № 4. С. 595-619.

 

 

77.   

Белова Т. И., Воронов П.А., Кобзарев И.Ю., Конюхова Н.Б. Частицеподобные решения скалярного уравнения Хиггса // Ж. эксперим. и теоретич. физ. 1977. Т. 73. Вып. 5(11). С. 1611-1622.

 

 

78.   

Воронов Н.А., Дышко А.Л., Конюхова Н.Б., Староверова Н.Б. О нелинейных сингулярных задачах в релятивистской космологии. I – Поле Хиггса в пространствах Минковского и Фридмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37, № 11. С. 1345-1361; II – Поле Хиггса в пространстве де Ситтера// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37, № 12. С. 1506-1519.

 

 

79.   

Дышко А.Л., Конюхова Н.Б. Множественные одномерные и сферически симметричные автомодельные решения нелинейного волнового уравнения поля Хиггса в пространстве де Ситтера // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, № 3. С. 467-488.

 

 

80.   

Дышко А.Л., Конюхова Н.Б. Множественные автомодельные решения типа струн и монополей систем нелинейных волновых уравнений в инфляционной космологии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42, № 4. С. 471-490.

 

 

81.   

Konyukhova N.B., Dyshko A.L., Voronov N.A. On singular problems for self-similar solutions to the systems of nonlinear wave equations arising in the inflationary cosmology// Матем. журн. Алматы, 2004. Т. 4, № 1(11). С. 84-94.

 

 

82.   

Abramov A., Neuhaus М. Bemerkungen fiber Eigenwertprobleme von Matrizen hoherer Ordnung// Math. Ingr. C. r. Congr. Intern. Mons et Bruxelles, 1958. P. 176-179.

 

 

83.   

Ши Чжун-цы. Замечание о вычислении старшего собственного значения по методу Галёркина // Вычисл. матем. М.: АН СССР, 1960. № 6. С. 84-86.

 

 

84.   

Абрамов А.А. О выделении главной части некоторых алгебраических задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2, № 1. С. 141-145.

 

 

85.   

Шишов B.C. Применение группового исключения неизвестных в задаче об отыскании собственных значений и собственных функций линейного интегрального оператора с симметрическим ядром // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2, № 3. С. 398-410.

 

 

86.   

Абрамов А.А., Юхно Л.Ф. Об одном методе отыскания наименьшего собствен­ного значения нелинейной самосопряжённой спектральной задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 7. С. 1095-1105.

 

 

87.   

Абрамов А.А., Белаш В.О. Об одном методе исключения для линейных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 4. С. 499-510.

 

 

88.   

Абрамов А.А. О сходимости одного метода исключения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 3. С. 355-364.

 

 

89.   

Абрамов А.А., Юхно Л.Ф. Один метод исключения для линейных задач// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 4. С. 547-556.

 

 

90.   

Абрамов А.А., Белаш В.О., Юхно Л.Ф. Модификация некоторых методов исключения//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 7. С. 974-979.

 

 

91.   

Абрамов А.А. Об одном методе решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, № 4. С. 483-491.

 

 

92.   

Абрамов А.А. О свойствах метода Крейга при решении линейных некорректных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 1. С. 144-150.

 

 

93.   

Абрамов А.А., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. О применении метода Крейга к решению линейных уравнений с неточно заданными исходными данными // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42, № 12. С.1763-1770.

 

 

94.   

Абрамов А.А., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. О реализации одного метода исключения в линейных задачах с неточно заданными исходными данными // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44, № 4. С. 640-649.

 

 

95.   

Диткин В.В. Модифицированный метод Крандалла-Кикута // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16, № 4. С. 838-846.

 

 

96.   

Заболоцкая А.Ф. Ускорение сходимости метода скорейшего спуска в гильбертовом пространстве // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1974. Т. 14, № 1. С. 218-221.

 

 

97.   

Абрамов А.А., Юхно Л.Ф. О полноте совокупности собственных векторов нелинейной самосопряжённой спектральной задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 4. С. 503-504.

 

 

98.   

Ломнев С. П. Методы расчёта линейных электронных ускорителей М.: ВЦ АН СССР, 1962. 203 с.

 

 

99.   

Ломнев С. П. Решение задачи о движении частиц разных знаков и масс в поле "магнитных бутылок" на ЭВМ // ДАН СССР. 1963. Т. 151, № 2. С. 315-317.

 

 

100.  

Ломнев С. П. Вариант магнитной ловушки // ДАН СССР. 1964. Т. 158, № 4. С. 827-830.

 

 

101.  

Ломнев С. П. Эволюционный метод решения задач электродинамики // ДАН СССР. 1964. Т. 159, № 6. С.1249-1251.

 

 

102.  

Ломнев С. П., Переславцев Э.Б., Шатунов В.М. Способ удержания и накопления в ловушке высокотемпературной плазмы. Авторское свидетельство № 167260. 1964.

 

 

103.  

Ломнев С. П., Краснушкин П.Е. Методы расчёта ячеистого волновода // Радиотехника и электроника. 1966. Т. 11, № 6. С.1051-1065.

 

 

104.  

Клабукова Л.С. Приближённый метод решения задач Гильберта и Пуанкаре //Вычислит, матем. М.: Изд-во АН СССР. I. 1958, № 3. С. 34-87. И. 1961, № 7. С. 115-132.

 

 

105.  

Клабукова Л. С., Чечель И.И. Решение краевых задач теории обобщённых аналитических функций вариационно-разностным методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24, № 1. С. 19-36.

 

 

106.  

Власов В.И., Пальцев А.Б. Метод решения задачи Дирихле для областей с узкой щелью //Докл. РАН. 1993. Т. 330, № 2. С. 140-143.

 

 

107.  

Власов В.И., Рачков А.В. Метод решения уравнения Пуассона в областях с криволинейной границей // М.: ВЦ РАН, 1994. 59 с.

 

 

108.  

Власов В.И., Рачков А.В. Некоторые обобщения методамультиполей // М.: ВЦ РАН, 1994. 40 с.

 

 

109.  

Власов В.И., Рачков А.В. Аналитико-численный метод решения уравнения Пуассона в сложных областях // Докл. РАН 1995. Т. 344, № 3. С. 301-304.

 

 

110.  

Власов В.И., Волков Д.Б. Метод мультиполей для решения уравнения Пуассона в областях со скруглённым углом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 6. С. 867-892.

 

 

111.  

Paltsev А.В., Vlasov V.I., Volkov D.B. Modification of Multipole method and Its Application to Analysis of Lasers. In the book: "Integral Methods in Science and Engineering", Harlow: Longman Scientific. Technical, 1994. P. 51-60.

 

 

112.  

Власов В.И., Волков Д.Б. Исследование электрического поля в технологической установке для производства полимерных волокон. М.: ВЦ РАН, 1995. 38 с.

 

 

113.  

Власов В.И., Рачков А.В. Аналитико-численный метод решения краевых задач для уравнения Пуассона в сложных областях // Тр. междунар. конф. "Современные проблемы математики и механики", посвящённой 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышёва. I. М.: МГУ, 1996. С. 83-87.

 

 

114.  

Рачков А.В. О сходимости метода Шварца для произвольного числа подобластей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 2. С. 260-270.

 

 

115.  

Власов В.И., Волков Д.Б., Скороходов С. Л. Оптимизация параметров электронной пушки. М.: ВЦ РАН, 1994. 23 с.

 

 

116.  

Власов В.И., Скороходов С. Л. О развитии метода Треффца//Докл. РАН. 1994. Т. 337, № 6. С. 713-717.

 

 

117.  

Skorokhodov S.L., Vlasov V.I. An exact method for torsion and bending problems for beams with polygonal cross-sections 11 Integral methods in science and engineering (Pitman research notes in mathematics). 1997. V. 2. John Wiley & Sons. New York. P. 174-178.

 

 

118.  

Матеева Э.Й., Пальцев Б.В. О разделении областей при решении краевых задач для уравнения Пуассона в областях сложной формы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13, № 6. С. 1441-1458.

 

 

119.  

Меллер П.Л., Пальцев Б.В., Чечель И.И. О быстросходящемся итерационном методе с разделением на подобласти решения краевых задач для эллиптического с параметром уравнения второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36, № 10. С. 26-45.

 

 

120.  

Абрамов А.А., Тареев Б.А., Ульянова В.И. Неустойчивость двухслойного геострофического течения с антисимметричным профилем скорости в верхнем слое // Изв. АН СССР. ФАО. 1972. Т. VIII, № 10. С. 1017-1028.

 

 

121.  

Иванов Ю.А., Ульянова В.И. Устойчивость волн Россби // Изв. АН СССР. ФАО. 1978. Т. 14, № 3. С.251-256.

 

 

122.  

Блатов А.С., Ульянова В.И. Исследование гидродинамической устойчивости крупномасштабных течений в океане в рамках многоуровенной квазигеострофической модели // Изв. АН СССР. ФАО. 1986. Т. 22, № 11. С. 1161-1168.

 

 

123.  

Абрамов А.А., Михинов А.Е., Ульянова В.И. Неустойчивость вдольбереговых течений в прибойной зоне // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36, № 10. С. 103-110.

 

 

124.  

Ульянова В.И. О переносе неоднородных граничных условий и о вычислении собственных функций// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16, № 4. С. 1057-1059.

 

 

125.  

Баклановская В.Ф., Чечель И.И. Численный метод решения уравнений Сен-Венана (камерная модель) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16, № 5. С. 1218-1232.

 

 

126.  

Баклановская В.Ф., Пальцев Б.В., Чечель И.И. О краевых задачах для системы уравнений Сен- Венана на плоскости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т. 19, № 3. С. 708-725

 

 

127.  

Баклановская В.Ф., Блатов А.С., Даулетияров К.Ж., Джумагазиева С.Х., Кондрин А.Т., Чечель И.И. О численном моделировании длинных поверхностных волн в замкнутом медленно вращающемся бассейне // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24, № 7. С. 1066-1078.

 

 

128.  

Баклановская В.Ф., Михинов А.Е., Чечель И.И. Численное моделирование гидродинамики морской прибрежной зоны с учётом литодинамических процессов. // Моделирование гидрофизических процессов и полей в замкнутых водоёмах и морях. М.: Наука, 1989. С. 117-131.

 

 

129.  

Баклановская В.Ф., Блатов А.С., Перминов С. М., Чечель И.И. Численное моделирование влияния изменчивости поля ветра, конфигурации береговой линии и стока Волги на циркуляцию вод Северного Каспия //Структура и динамика вод. М.: Наука, 1990. С. 31-38.

 

 

130.  

Юхно Л.Ф. О характере сходимости метода сеток при решении нелинейных эволюционных уравнений // ДАН СССР. 1976. Т. 228, № 2. С. 325-328.

 

 

131.  

Баклановская В.Ф. Численное решение одномерной задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1, № 3. С. 461-469.

 

 

132.  

Гаипова А.Н. Об однородной неявной разностной схеме для решения эволюционных уравнений с фазовыми изменениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, № 3. С. 534-543.

 

 

133.  

Абрамов А.А., Гаипова А.Н. О численном решении некоторых систем для задач типа Стефана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11, № 1. С. 121-128.

 

 

134.  

Баклановская В.Ф. Исследование метода сеток для параболических уравнений с вырождением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1977. Т. 17, № 6. С. 1458-1473.

 

 

135.  

Тихомирова Е.И. О сходимости схемы Роте для нелинейного эволюционного уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1983. Т. 23, № 6. С. 1370-1380.

 

 

136.  

Джумагазиева С. X. Исследование свойств решений некоторых нелинейных уравнений// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26, № 10. С. 1482-1492.

 

 

137.  

Юхно Л.Ф. О численном решении системы дифференциальных уравнений теории фильтрации// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15, № 4. С. 977-984.

 

 

138.  

Юхно Л.Ф. Нестационарная фильтрация с учётом гравитации // Инж.-физ. журн. 1976. Т. XXXI, № 2. С. 355-362.

 

 

139.  

Баклановская В.Ф., Гаипова А.Н. Об одной осесимметричной задаче неустановившейся фильтрации газа в пористой среде // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1966. Т. 4. С. 162-164.

 

 

140.  

Абрамов А.А., Гаипова А.Н. О некоторых уравнениях, содержащих монотонные разрывные операторы // ДАН СССР. 1973. Т. 212, № 3. С. 529-531.

 

 

141.  

Абрамов А.А., Джумагазиева С. X. О скорости сходимости одного итерационного метода решения уравнений, содержащих монотонные операторы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24, № 2. С. 305-308.

 

 

142.  

Дышко А.Л. Разностный метод решения уравнения распространения светового луча в нелинейной среде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, № 1. С. 238-242.

 

 

143.  

Дышко А.Л., Луговой В.Н., Прохоров A.M. Самофокусировка интенсивных световых пучков// Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. № 5. С. 655-659.

 

 

144.  

Дышко А.Л., Луговой В.Н., Прохоров A.M. Многофокусная структура светового пучка в нелинейной среде // Ж. эксперим. и теоретич. физ. 1971. Т. 61. Вып. 6(12). С. 2305-2318.

 

 

145.  

Дышко А.Л., Луговой В.П., Прохоров A.M. О многофокусной структуре световых пучков в нелинейной среде // Ж. эксперим. и теоретич. физ. 1973. Т. 65. Вып. 4(10). С. 1367-1374.

 

 

146.  

Дышко А.Л., Коробкин В.В., Луговой В.Н., Прохоров A.M. Явление многофокусности волнового пучка в нелинейной среде// Открытие № 147 с приоритетом от 19/VI-1967 (зарегистрировано в Государственном реестре открытий СССР 23 июля 1974 г.).

 

 

147.  

Насибов Ш.М. Об одном нелинейном уравнении типа Шрёдингера // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 4. С. 660-670.

 

 

148.  

Дородницын А.А. Избранные научные труды в 2-х т. М.: ВЦ РАН, 1997. Т. 1. (содержит список основных научных трудов А.А. Дородницына); 395 с. Т. 2. 351 с.

 

 

149.  

Пальцев Б.В. О сходимости метода последовательных приближений с расщеплением граничных условий при решении краевой задачи для уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. Т. 10, № 3. С. 785-788.

 

 

150.  

Пальцев Б.В., Чечель П.И. Многосеточный метод разрешения одной конечно­эле­мен­тной схемы для двумерной системы типа Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т. 30, № 12. С. 1797-1804.

 

 

151.  

Пальцев Б.В. О быстросходящихся итерационных методах с (I) неполным (И) полным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущённой системы типа Стокса // Матем. сб. 1994. Т. 185. I. № 4. С. 101-150; И. № 9. С. 109-138.

 

 

152.  

Абрамов А.А., Ульянова В.И. Об одном методе решения уравнений типа бигармонического с сингулярно входящим малым параметром // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, № 4. С. 567-575.

 

 

153.  

Пальцев Б.В., Чечель П.И. О точных оценках скорости сходимости итерационных процессов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в слое с условием периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 12. С. 1823-1837.

 

 

154.  

Пальцев Б.В. О методах с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в областях с круговой симметрией // Функциональные пространства. Дифференц. операторы. Проблемы матем. образования. Тр. междунар. конф., посвящённой 75-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева. М.: Изд-во РУДН, 1998. Т. 2. С. 124-128.

 

 

155.  

Пальцев Б.В. Об условиях сходимости итерационных методов с полным расщеплением граничных условий для системы Стокса в шаре и шаровом слое // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 6. С. 935-963.

 

 

156.  

Пальцев Б.В. Оптимизация значений релаксационных параметров одношагового варианта итерационного метода с расщеплением граничных условий для системы Стокса в шаровом слое // Вестник РУДН. 2001. Т. 8. Вып. 2. С. 74-90.

 

 

157.  

Пальцев Б.В., Чечель П.И. Алгоритмы численных реализаций на основе билинейных конечных элементов итерационных методов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в полосе при условии периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37, № 7. С. 799-815.

 

 

158.  

Меллер П.А., Пальцев Б.В., Хлюпина Е.Г. О конечно-элементных реализациях итерационных методов с расщеплением граничных условий для систем Стокса и типа Стокса в шаровом слое. Осесимметричный случай // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39, № 1. С. 98-123.

 

 

159.  

Пальцев Б.В., Чечель И.И. О некоторых способах повышения скорости сходимости на высоких гармониках билинейных конечно-элементных реализаций итерационных методов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 6. С. 956-970.

 

 

160.  

Лозинский А.С. Об ускорении конечно-элементных реализаций итерационных процессов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в слое с условием периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 9. С. 1339-1363.

 

 

161.  

Меллер П.А., Пальцев Б.В., Хлюпина Е.Г. О численном методе с расщеплением граничных условий для стационарной системы Навье-Стокса в шаровом слое в случае осевой симметрии // Междунар. конф. "Differential Equations and Related Topics", посвящённая 100-летию со дня рождения И.Г. Петровского. Тез. докл. М.: Изд-во МГУ, 2001. С. 311-313.

 

 

162.  

Пальцев Б.В., Чечель И.И. Конечно-элементные реализации итерационных методов с расщеплением граничных условий для систем Стокса и типа Стокса в шаровом слое, обеспечивающие 2-й порядок точности вплоть до оси симметрии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45, № 5. С. 846-889.

 

 

163.  

Пальцев Б.В., Чечель И.И. О конечно-элементных, типа линейных, 2-го порядка точности вплоть до полюсов, аппроксимациях операторов Лапласа-Бельтрами, градиента и дивергенции на сфере Â3 в осесимметричном случае // Докл. РАН. 2004. Т. 395, № 3. С. 308-315.

 

 

164.  

Chechel' I. I., Pal'tsev B.V. On numerical method for a nonsteady Stokes system on the basis of the Grank-Nicolson scheme and methods with splitting of boundary conditions // Тезисы докладов Второй международной конференции "Modern Trends in Computational Phisics". 2000. JINR, Дубна, Россия. С. 49.

 

 

165.  

Белаш В.О., Пальцев Б.В. О бикубических конечно-элементных реализациях методов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в полосе при условии периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42, № 2. С. 197-221.

 

 

166.  

Belash V.O., Pal'tsev B.V., Chechel' I.I. On convergence rate of some iterative methods for bilinear and bicubic finite element schemes for the dissipative Helmholtz equation with large values of a singular parameter // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2002. T. 17, № 6. P. 485-520.

 

 

167.  

Пальцев Б.В., Чечель И.И. О билинейных конечно-элементных реализациях итерационных методов с неполным расщеплением граничных условий для системы типа Стокса на прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39, № 11. С. 1838-1864.

 

 

168.  

Лозинский А.С. Конечно-элементная реализация итерационных методов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в неконцентрических кольцах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, № 8. С. 1203-1216.

 

 

169.  

Коробов П.М. Тригонометрические суммы и их приложения М.: Наука, 1989.

 

 

170.  

Меллер П.А., Черемисин Ф.Г. Испытание различных стратегий метода Монте-Карло при решении уравнения Больцмана // Тр. III Всесоюзной конференции по актуальным проблемам вычислительной математики. Новосибирск, 1990. С. 111-113.

 

 

171.  

Пшеничнов Г.И. Малые свободные колебания упругих оболочек вращения // Инж. журн. 1965. Т. 5. Вып. 4. С. 685-690.

 

 

172.  

Пшеничнов Г.И. Свободные и вынужденные колебания тонкой упругой цилиндрической оболочки открытого профиля М.: ВЦ АН СССР, 1967. 100 с.

 

 

173.  

Пшеничнов Г.И. Свободные осесимметричные колебания тонких упругих оболочек вращения// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9, № 5. С. 1202-1207.

 

 

174.  

Пшеничнов Г.И. Применение асимптотического метода интегрирования в задаче о свободных колебаниях тонкой упругой оболочки вращения, частично заполненной жидкостью. // Тр. VII Всесоюзн. конф. по теории пластин и оболочек. М.: Наука. 1970. 5 с.

 

 

175.  

Пшеничнов Г.И. Свободные колебания жидкости в твёрдых сосудах // Прикл. матем. и механ. 1971. Т. 35. Вып. 4. С. 248-254.

 

 

176.  

Пшеничнов Г.И. Точные решения некоторых задач о колебаниях жидкости в упругих безмомент- ных оболочках // Прикл. матем. и механ. 1972. Т. 36. Вып. 2. С. 739-743.

 

 

177.  

Пшеничнов Г.И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок М.: Наука, 1982. 352 c.

 

 

178.  

Пшеничнов Г.И. A theory of latticed plates and shells // Series on Advances in Mathematics for Applied Scientific. Singapore, New Tersey, London, Hong Kong. 309 p.

 

 

179.  

Пшеничнов Г.И., Кукуджанов В.П., Любимов В.М. Расчёт деформируемых состояний отражающей поверхности зеркал телескопов // Численные методы в механике твёрдого деформируемого тела. М.: ВЦ АН СССР, 1978. С. 66-72.

 

 

180.  

Пшеничнов Г.И., Орлов Б.А. Осесимметричное физически нелинейное деформирование сетчатых оболочек // Строительная механика и расчёт сооружений. 1989, № 3. 0.2 печ. л.

 

 

181.  

Клабукова Л. С. О дифференциальном операторе задач теории безмоментных упругих оболочек и о решении их вариационно-разностным методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20, № 1. С. 208-225.

 

 

182.  

Клабукова Л.С. О корректности краевых задач теории безмоментных упругих оболочек, кривизна которых может обращаться в нуль // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29, № 5. С. 732-746.

 

 

183.  

Клабукова Л.С. О корректности краевых задач и приближённом решении их для безмоментных сетчатых оболочек // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, № 11. С. 1717-1726.

 

 

184.  

Клабукова Л. С., Пшеничнов Г.И. Решение краевых задач моментных сетчатых оболочек вращения как безмоментных с поправками типа погранслоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 35, № 12. С.1855-1871.

 

 

185.  

Пшеничнов Г.И. Метод декомпозиции решений уравнений и краевых задач // ДАН СССР. 1985. Т. 282, № 4. С. 792-794.

 

 

186.  

Пшеничнов Г.И. Решение некоторых задач строительной механики методом декомпозиции // Строительная механика и расчёт сооружений. 1986, № 4. 0.6 печ. л.

 

 

187.  

Пшеничнов Г.И., Скорикое А.В. Свободные колебания ортотропной прямоугольной пластины с упругим контуром // Изв. РАН. МТТ. 1992, № 2. С. 166-169.

 

 

188.  

Абрамов А.А., Пшеничнов Г.И., Ульянова В.И. Поперечный изгиб растянутой прямоугольной пластины // Изв. РАН. МТТ. 1993, № 5. С. 160-165.

 

 

189.  

Клабукова Л.С., Пшеничнов Г.И., Ульянова В.И. Решение методом декомпозиции краевых задач об изгибе сетчатой прямоугольной пластинки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 3. С. 433-447.

 

 

190.  

Пшеничнов Г.И., Кашин Г.М., Флёров Ю.А. Метод автоматизированного проектирования самолёта М.: Машиностроение, 1979. 165 с.

 

 

191.  

Пшеничнов Г.И., Кукуджанов В.П., Любимов В.М., Пантелеев С. Д., Пичкова М.В. Оптимизационный статический расчёт крыла самолёта // Численне методы в механике твёрдого деформируемого тела. М.: ВЦ АН СССР, 1978. С. 122-129.

 

 

192.  

Nikishin V.C. Thermal Stresses in a Composite Cylinder with an Arbitrary Temperature Distribution Along Its Length. Plenum Press Data Division. New York. 1966. 119 p.

 

 

193.  

Никишин B.C., Шапиро Г.С. Задачи теории упругости для многослойных сред М.: Наука, 1973. 132 с.

 

 

194.  

Никишин B.C. Задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: ВЦ АН СССР, 1976. Вып. 4. 60 с.

 

 

195.  

Никишин B.C., Шапиро Г.С. Задачи о неполном контакте кольцевого или кругового штампа с упругой слоистой средой // Изв. АН СССР. МТТ. 1976, № 5. С. 27-38.

 

 

196.  

Никишин B.C., Заболоцкая А.Ф., Парийский B.C. Аналитическое и численное исследование контактных задач теории упругости для слоистых сред с односторонними связями // Проблемы прикладной математики и информатики. М.: Наука, 1987. С. 145-169.

 

 

197.  

Никишин B.C., Китороаге Т. В. Плоские контактные задачи теории упругости с односторонними связями для многослойных сред. // М.: ВЦ АН СССР, 1994. 43 с.

 

 

198.  

Никишин B.C., Шапиро Г.С. О локальном осесимметричном сжатии упругого слоя, ослабленного кольцевой или круговой щелью // Прикл. матем. и механ. 1974. Т. 38. Вып. 1. С. 139-144.

 

 

199.  

Никишин B.C. Осесимметричные контактные задачи для двухслойного упругого полупространства с кольцевой или круговой трещиной на границе раздела слоёв // Прикл. матем. и механ. 2002. Т. 66. Вып. 4. С. 670-680.

 

 

200.  

Ефимов А.В., Смирнов В.Г. Асимптотическое точное решение плоской контактной задачи для тонкого многослойного покрытия // Изв. РАН МТТ. 1996, № 2. С. 101-122.

 

 

201.  

Никишин B.C., Парийский B.C., Шапиро Г. С. Задача о консолидации упругой пористой многослойной среды под давлением кругового в плане штампа // Прикл. матем. и механ. 1976. Т. 40. Вып. 5. С. 909-918.

 

 

202.  

Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твёрдого деформируемого тела// Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Изд-во Мир, 1975. С. 45-90.

 

 

203.  

Kukudzhanov V.N. On wave propagation in a coupled termoelastoplastic medium // Arch, of Mech. 1977. V. 29, № 2. P. 325-338.

 

 

204.  

Кукуджанов B.H. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред // М.: Успехи механики. 1985. Вып. 8, № 4. С. 21-65.

 

 

205.  

Kukudzhanov V.N., Kondaurov V.I. On constitutive equations and numerical solution of multidimensional problems of dynamics of nonisotermal elastoplastic media with finite deformations // Arch, of Mech. V. 31, №. 5. 1979. P. 623-647.

 

 

206.  

Кузьмина В.И., Кукуджанов B.H. К моделированию откольного разрушения при соударении пластин // Изв. АН СССР МТТ. 1985, № 3. С. 94-100.

 

 

207.  

Кукуджанов В.Н. Распространение упругопластических волн в стержнях с учётом влияния скорости деформации (монография). М.: ВЦ АН СССР, 1967.

 

 

208.  

Kukudzhanov V.N. The investigation of shock waves structure in elastoviscoplastic bars using the asymptotic method// Arch, of Mech. V. 33. N. 5. 1981. P. 739-751.

 

 

209.  

Кукуджанов В.Н. Одномерные задачи распространения волн напряжений в стержнях. М.: ВЦ АН СССР, 1977. Вып. 7. 56 с.

 

 

210.  

Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн напряжений в твёрдых телах. М.: ВЦ АН СССР, 1976. Вып. 6. 67 с.

 

 

211.  

Веденяпин Е.Н., Кукуджанов В.Н. Метод численного интегрирования задач распространения волн в упругих средах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. Т. 21, № 5. С. 1233-1248.

 

 

212.  

Заппаров К.И., Кукуджанов В.Н. Решение нестационарных задач динамики упругопластиченской среды методом подвижных сеток // Численные методы в МДТТ. М.: ВЦ АН СССР, 1984. С. 64-85.

 

 

213.  

Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Численный метод решения геометрически нелинейных задач для упругопластических оболочек вращения // Строительная механика и расчёт сооружений, 1976, № 5. С. 44-49.

 

 

214.  

Кукуджанов В.Н., Любимов В.М., Мышее В.Д. Метод определения нижних оценок предельной нагрузки // В сб. по численным методам в МДТТ. М.: ВЦ АН СССР, 1984. С. 139-150.

 

 

215.  

Ефимов А.Б., Романюк С. Н., Чумаченко Е.Н. Об определении закономерностей трения в процессах обработки металлов давлением // Изв. РАН МТТ. 1995, № 6. С. 82-95.

 

 

216.  

Александрович А.И., Корноухое А.К., Попиелас Ф. Математическое моделирование процесса осесимметричной штамповки кольцевой пластины с тонким резиноподобным покрытием // Изв. РАН. Пробл. машиностр. и надёжности машин. 1998. № 4. С. 61-68.

 

 

217.  

Александрович А.И., Корноухое А.К., Попиелас Ф., Вайс А. Решение осесимметричных упругопластических задач деформирования тонкостенных изделий методом локальных функционалов (на немец, яз.). М.: ВЦ РАН, 1999. 39 с.

 

 

218.  

Ефимов А.Б., Александрович А.П., Корноухое А.К. Закритическое поведение и несущая способность толстостенных упругопластических труб при внешнем давлении и изгибе. // Математическое моделирование. 2002. Т. 14, № 9. С. 59-65.

 

 

219.  

Александрович А.П., Кувшинов П.А. Решение трёхмерной упругопластической задачи для конечного отрезка толстостенной трубы методом локальных функционалов // Изв. РАН. МТТ. 2004, № 4. С. 76-85.

 

 

220.  

Акопян С.Ц., Жарков В.Н., Любимов В.М. Теория возмущений для крутильных колебаний Земли. Второе приближение // ДАН. СССР. 1972. Т. 204, № 3. С. 596-599.

 

 

221.  

Акопян С.Ц., Жарков В.Н., Любимов В.М. Теория возмущений для радиальных колебаний Земли. Второе приближение // ДАН. СССР. 1973. Т. 210, № 3. С. 584-587.

 

 

222.  

Акопян С.Ц., Жарков В.Н., Любимов В.М. Теория возмущений для сфероидальных колебаний Земли. Второе приближение // ДАН. СССР. 1972. Т. 218, № 5. С. 1078-1081.

 

 

223.  

Жарков В.Н., Дорофеева Л.П., Дорофеев В.М., Любимов В.М. Пробные распределения диссипативной функции Q-1 в оболочке Земли // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1974, № 12. 0.6 печ. л.

 

 

224.  

Ефимов А.Б., Ершова Т. Я., Федотов С. А. О прорывах магмой питающего канала и образовании даек и других пластовых интрузий под Ключевским вулканом // Вулканология и сейсмология. 1996, № 1. С. 3-23.

 

 

225.  

Ефимов А.Б., Ершова Т. Я. О термомеханическом режиме системы, окружающей магматический канал // Вулканология и сейсмология. 1998. № 4-5. С. 88-102.

 

 

226.  

Александрович А.И., Иванов А.И. О напряжённом состоянии геомеханической среды в откосах и склонах // Геология, инженерная геология, гидрогеология, геокриология. 2003. № 1. С. 87-97.

 

 

227.  

Александрович А.И., Кувшинов П.А., Титоренко Д.Ф. Решение уравнений трёхмерной теории упругости методами комплексного анализа // М.: ВЦ РАН, 1998. 22 c.

 

 

228.  

Александрович А.И., Кувшинов П.А., Титоренко Д. Ф. Решение уравнений трёхмерной теории упругости методом голоморфного разложения комплексных перемещений по степенным функциям и функциям Бесселя // Изв. РАН. МТТ. 2001. Т. 2. С. 31-41.

 

 

229.  

Александрович А.И., Кувшинов П.А., Титоренко Д.Ф. Построение приближённых решений краевых задач теории упругости методом конечных аналитических элементов // Математическое моделирование. 2001. Т. 13, № 4. С. 109-116.

 

 

230.  

Александрович А.И., Титоренко Д.Ф. Голоморфные разложения решений некоторых линейных дифференциальных уравнений математической физики в применении к теории упругости // М.: ВЦ РАН, 2001. 56 с.

 

 

231.  

Александрович А.И., Воробьёв И.А., Жовноватюк В.Г., Соловьёв М.Б. Построение решений уравнений Навье-Стокса, Кортевега-де Фриза и синус-Гордон. М.: ВЦ РАН, 2004. 22 с.

 

 

232.  

Александрович А.И., Горлова А.В., Демидова АЛ., Титоренко Д.Ф. Решение некоторых нелинейных задач теории упругости в комплексных переменных. М.: ВЦ РАН, 2004. 22 с.

 

 

233.  

Исакова Е.К. Асимптотическое разложение решения параболического уравнения с малым параметром // Матем. сб. 1966. Т. 69, № 2. С. 300-320.

 

 

234.  

Исакова Е.К. Принцип предельной амплитуды для задачи Коши-Пуассона // Дифференц. уравнения. 1970. I. Т. 6, № 1. С. 56-71; И. Т. 6, № 4. С. 721-730; III. Т. 6, № 7. С. 1289-1297.

 

 

235.  

Пальцев Б.В. О смешанной задаче с неоднородными граничными условиями для эллиптических с параметром уравнений второго порядка в липшицевых областях // Матем. сб. 1996. Т. 187, № 4. С. 59-116.

 

 

236.  

Власов В.И., Рачков А.В. О весовых пространствах типа Харди //Докл. РАН. 1993. Т. 328, № 3. С. 281-284.

 

 

237.  

Камынин В.Л. Асимптотическое поведение решений квазилинейных параболи­ческих уравнений в ограниченной области // Сибирский матем. журнал. 1994. Т. 35, № 2. С. 310-358.

 

 

238.  

Камынин В.Л. Асимптотическое поведение решений линеаризованных систем Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37, № 8. С. 958-967.

 

 

239.  

Пальцев Б.В. Уравнения свёртки на конечном интервале для одного класса символов, имеющих степенную асимптотику на бесконечности // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44, № 2. С. 322-393.

 

 

240.  

Пальцев Б.В. Об одном методе построения канонической матрицы решений задачи Гильберта, возникающей при решении уравнений свёртки на конечном интервале // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1981. Т. 45, № 6. С. 1332-1390.

 

 

241.  

Пальцев Б.В. Обобщение метода Винера-Хопфа для уравнений свёртки на конечном интервале с символами, имеющими степенную асимптотику на бесконечности // Матем. сб. 1980. Т. 113, № 3. С. 355-399.

 

 

242.  

Пальцев Б.В. Разложение по собственным функциям интегральных операторов свёртки на конечном интервале с ядрами, преобразования Фурье которых рациональны. "Слабо" несамосопряжённые регулярные ядра // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, № 3. С. 591-634.

 

 

243.  

Пальцев Б.В. Асимптотика спектра интегральных операторов свёртки на конечном интервале с однородными полярными ядрами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 2003. Т. 67, № 4. С. 67-155.

 

 

244.  

Пальцев Б.В. О канонической матрице решений задачи линейного сопряжения с кусочно-непрерывным матричным коэффициентом на элементарной кусочно-гладкой кривой // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297, № 5. С. 1054-1058.

 

 

245.  

Пальцев Б.В. Об условиях, обеспечивающих непрерывность вплоть до контура и степенное поведение в окрестностях узловых точек решений однородной задачи линейного сопряжения с кусочно-непрерывным матричным коэффициентом // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299, № 3. С. 558-562.