|
|
|
Основой научной деятельности отдела является разработка исследование новых эффективных методов для различных актуальных задач математической физики, проведение фундаментальных математических исследований, ориентированных на их успешное проведение или связанных с ними, применение разработанных методов к решению важных прикладных задач, создание соответствующих вычислительных алгоритмов и комплексов программ на различные ЭВМ.
Основным направлением работ сектора вычислительных методов для обыкновенных дифференциальных уравнений (о.д.у.) является разработка методов решения сингулярных краевых задач для систем о.д.у., в том числе задач на собственные значения и собственные функции, многопараметрических спектральных задач, задач с сингулярно входящим малым параметром. Группой сотрудников под руководством г.н.с., профессора А.А. Абрамова и зав. сектором к.ф.-м.н. Н.Б. Конюховой разработаны основы нового научного направления - изучения устойчивых многообразий решений как целого для систем о.д.у. с особенностями или на бесконечном интервале.Это привело, в частности, к необходимости изучения новых классов сингулярных задач Коши для систем о.д.у. и квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка. В рамках этого направления создана и продолжает развиваться теория переноса граничных условий из особых точек. В основе этой теории лежит изучение поведения не отдельных решений, а нужного семейства решений, как единого целого, без учета поведения отдельных решений внутри семейства. Методы теории переноса граничных условий позволяют сводить сингулярные краевые задачи к задачам на конечных интервалах без особенностей. Для решения линейных краевых задач на конечном интервале используются методы, устойчивые в целом, в том числе, разработанные в отделе варианты ортогональной дифференциальной прогонки (А.А. Абрамова). На основе такого подхода разработаны новые устойчивые численные методы решения сингулярных краевых задач, включая и спектральные, для широкого класса уравнений.
Этими методами решено большое количество конкретных прикладных задач из различных областей физики: акустики, океанологии, квантовой физики, радиофизики, теории оболочек, электродинамики, ядерной физики, теории полупроводников,нелинейной теории поля и др.; ранее такие задачи либо вообще не поддавались решению другими методами, либо решались в ограниченных постановках. Сюда примыкают и работы по решению многопараметрических спектральных задач (самосопряженных и несамосопряженнных). В частности, в последние годы разработаны новые надежные методы вычисления волновых эллипсоидальных функций Ламе и подобных им для широкого диапазона параметров. Эти методы были применены к решению важной для эхолокации и чрезвычайно вычислительно трудной задачи о дифракции плоской звуковой волны на сфероидах и трехосных эллипсоидах; созданы соответствующие комплексы параллельных программ на транспьютерную сеть PARSYTEC.
В области численных методов для уравнений с частными производными получена серия результатов по теории разностных схем для решения линейных и нелинейных эволюционных уравнений, в частности с вырождением; исследованы разностные схемы для случаев, когда решение является обобщенным, предложены и исследованы разностные схемы для расчета самофокусировки лазерного луча, исследован характер сходимости решения с производными до некоторого порядка для уравнений параболического типа. На основе этих теоретических результатов был решен целый ряд важных прикладных задач: теория фильтрации, физики лазеров, циркуляции течений, вихреобразования динамики данных наносов в морских береговых зонах и др.
В последние годы в секторе численных методов для уравнений с частным производными интенсивно ведутся работы по созданию эффективных численных методов решения задач в течении вязкой жидкости. Для сингулярно возмущенной многомерной системы типа Стокса предложены и исследованы перспективные итерационные методы с расщеплением (неполным и полным) граничных условий, приводящие на итерациях к существенно более простым, как правило, скалярным задачам. Важным достоинством таких методов является их высокая скорость сходимости - они сходятся тем быстрее, чем "сингулярнее" становится задача. Осуществлены численные реализации этих итерационных процессов на базе конечных элементов и многосеточного метода. Созданные алгоритмы программно реализованы, проведенные расчеты подтвердили их высокую эффективность и обнаружили в отношении точности такие качества, которые не удается достичь при непосредственных конечноэлементных аппроксимациях исходных систем. Разработаны также новые, имеющие достаточно высокую скорость сходимости методы с полным расщеплением граничных условий и для системы Стокса в областях с круговой симметрией, например, в шаровом слое. На основе конечных элементов, в частности - повышенного порядка, разрабатываются численные реализации этих итерационных процессов.
В секторе ведутся также работы по созданию алгоритмов и программ на многопроцессорные вычислительные машины. Предложен, исследован и численно реализован, быстросходящийся, допускающий полное распараллеливание, итерационный метод с разделением на подобласти для сингулярного уравнения Гельмгольца. Созданы параллельные алгоритмы и программы решения краевых задач для уравнений Пуассона и Гельмгольца многосеточным методом на транспьютерную сеть с коэффициентом параллелизации приближающимся к единице.
Кроме того, в секторе выполнен ряд нужных для приложений теоретических работ: развита теория и создан аналог метода Винера-Хопфа для класса уравнений свертки на конечном интервале, разработаны методы получения асимптотических разложений для собственных значений и собственных функций таких операторов свертки, развита законченная общая теория векторной краевой задачи Римана с кусочно-непрерывным матричным коэффициентом; проводятся исследования по изучению сходимости и усреднений для уравнений в частных производных с сильно неоднородными коэффициентами.
В секторе вычислительных методов механики деформируемого твердого тела разрабатываются методы решения широкого класса задач теории упругости и пластичности. Развита теория тонких упругих сетчатых оболочек (профессор, чл.-корр. РААСН Г.И. Пшеничнов, бывший зав. сектором, умер в 1994 г.) и дано ее приложение к решению краевых задач для оболочек из физически нелинейных или композиционных материалов; эта теория нашла широкое применение в промышленном строительстве. Разработаны и исследованы вариационно-разностные методы некоторых краевых задач теории оболочек, предложен метод решения задач теории сетчатых оболочек, основанный на расчленении напряженного состояния на безмоментные и краевые эффекты. Изучались вопросы оптимального проектирования тонкостенных систем и рамных конструкций. Проводятся исследования по численному моделированию флаттера тонких оболочек. Разрабатываются аналитические и численные методы, а также программы для решения практически важных основных и смешанных задач, в частности и пространственных, для многослойных и непрерывно-неоднородных сред; результаты используются при расчете различных многослойных покрытий. Предложен и исследован метод декомпозиции, позволивший решить ряд актуальных задач упругости, теории пластин и оболочек.
В последнее время в секторе разрабатываются новые методы численно-аналитического исследования и решения пространственных и контактных, геометрически нелинейных с неизвестной заранее границей задач упругости и вязкоупругости: метод суперпозиции в контактных задачах, позволивший найти решения новых классов пространственных задач, и метод аналитического продолжения в линейной вязкоупругости, в том числе для неоднородных вязкоупругих тел. Разрабатываются подходы к исследованию и численному решению упругопластических и вязкопластических контактных задач в прямой и обратной постановках, когда определяются коэффициенты в определяющих соотношениях или в законе трения. Созданные алгоритмы доводятся до пакетов программ и применяются в математическом моделировании технологических процессов обработки металлов и иных материалов давлением.
Развиваются новые подходы к численному моделированию динамических явлений с учетом процессов разрушения материалов и конструкций. Эти подходы применяются к моделированию сильныx сейсмических воздействий на грунты и сооружения. Разработаны новые подходы к описанию потери устойчивости упругих стержней и оболочек при ударных нагружениях.
Разрабатываются новые подходы к моделированию геомеханических явлений в вулканических системах, в земной коре и литосфере в областях сильнейших землетрясений с целью прогноза землетрясений и извержений вулканов. Моделирование проводится с учетом тепловых явлений, фильтрационных и сложной геологии структурно-неоднородных сред. Предложены также новые подходы аналитико-численные (методы осреднения) и численные (новые граничные интегральные уравнения) для исследования практически важных задач геомеханики и механики композитов. Развит новый полуаналитический метод исследования задач Стефана о движении одной или нескольких фазовых границ в Земле.
Некоторые сотрудники сектора:
Сотрудниками отдела опубликовано большое количество статей, в основном в центральных научных журналах, среди них ряд обзорных. Опубликованы 3 монографии:
С 1994 г. А.А. Абрамов, Б.В. Пальцев и В.И. Власов получают Государственные стипендии выдающимся ученым России. Н.Б. Конюхова получала стипендию по математике Дж. Сороса 1993 г., а также грант по срочной программе Дж. Сороса индивидуальных грантов.
На юбилейном конкурсе научных работ ВЦ РАН в 1995 г. получили премии четыре группы сотрудников отдела.
В отделе ведется активная работа по подготовке научных кадров: ряд сотрудников работает по совместительству на различных математических кафедрах в МФТИ, МИФИ и МГУ профессорами, доцентами и преподавателями, в коллективе воспитано много кандидатов и докторов наук, постоянно осуществляется руководство студентами-дипломниками и аспирантами.
Сотрудники отдела ведут также значительную научно-организационную деятельность, ряд из них являются или являлись членами редколлегий центральных научных журналов, членами диссертационных советов не только в ВЦ РАН, но и в других институтах.
