В секторе аналитико-численных методов математической физики созданы принципиально новые вычислительные методы, имеющие ряд преимуществ по сравнению с известными. Эти методы ориентированы на решение краевых задач в плоских и пространственных областях сложной формы. Их граница может содержать различные геометрические особенности или сложные структурные элементы, в том числе узкие щели с криволинейным дном, полости, длинные полки или раструбы, а также скругленные (или нескругленные) углы, конусы или ребра с произвольным радиусом закругления. Эти методы, основанные на сочетании аналитического и численного подходов, обладают экспоненциальной скоростью сходимости и исключительно высокой точностью при численной реализации, на порядки превышающей точность традиционных методов. Наличие геометрических особенностей или указанных сложных структурных элементов, обычно вызывающее значительные трудности, является для рассматриваемых методов даже благоприятствующим фактором. Математическая сущность этих методов заключается в представлении решения в таком виде, который адекватно отражает геометрию области и обладает возможностью высокоточной аппроксимации решения.

Основными приложениями этих методов являются: расчет напряженнодеформированного состояния в телах сложной пространственной конфигурации при произвольном нагружении, расчет резко неоднородных полей в современных приборах, технологических установках и др. Методы были реализованы в виде комплексов программ и применялись для решения ряда конкретных проблем, в том числе в электронной и химической промышленности, в машино- и приборостроении, а также в прикладных научных исследованиях в физике электронных пучков, физике плазмы, электронике, астрофизике и математической экономике.

В секторе выполнен целый ряд теоретических исследований. Достигнут значительный прогресс в развитиии некоторых классических методов математической физики, в том числе: метода Треффца, метода Леви-Гарабедяна- Харкера, метода Зоммерфельда для задач дифракции и других пространственных краевых задач. Создан новый аналитический метод для представления конформного отображения круговых многоугольников. Дана его полная алгоритмическая и численная реализация в случае круговых четырехугольников; решена соответствующая проблема акцессорных постоянных, построены группа монодромии и группа перехода. Построена теория вариации конформного отображения при сингулярном деформировании области, причем изучен способ деформирования, существенно более общий по сравнению с рассматривавшимися ранее, что позволило получить ряд новых имеющих важное прикладное значение результатов, в том числе в теории струй, физике плазмы и проблеме концентрации напряжений. Построена теория весовых пространств типа Харди. Она применена для обоснования указанных выше новых вычислитепьных методов.

Возврат на первую страницу ВЦРАН: