Е.В.Зима (Университет Вилфреда Лорие, Ватерлоо, Онтарио, Канада)
Ускоренное неопределенное суммирование.
Аннотация
Представлена история неопределенного суммирования, начиная с классиков (Ньютон, Монмор, Тейлор, Стирлинг, Эйлер, Буль), затем неоклассиков (Абрамов, Госпер, Карр), до реализации в современной системе компьютерной алгебры Maple. Наряду с историческим обзором описываются методы ускорения алгоритмов неопределенного суммирования, которые дают не только теоретическое, но и практическое улучшение времени работы этих алгоритмов. Проводится сравнение работы этих алгоритмов со стандартными средствами суммирования системы Maple.
E.V.Zima (Wilfrid Laurier University, Waterloo, Ontario, Canada)
Accelerated indefinite summation.
Abstract
We present the history of indefinite summation starting with classics (Newton, Montmort, Taylor, Stirling, Euler, Boole) followed by modern classics (Abramov, Gosper, Karr) to the current implementation in computer algebra system Maple. Along with historical presentation we describe several “acceleration techniques” of algorithms for indefinite summation which offer not only theoretical but also practical improvement in running time. Implementations of these algorithms in Maple are compared to standard Maple summation tools.
1. А.И.Егоров (МФТИ)
Высшая математика и компьютерные технологии.
Аннотация
Доклад посвящен совершенствованию высшего математического образования. В нем дается анализ состояния математической подготовки студентов, На конкретных примерах показывается, что значительная часть учебного времени планово тратится бесполезно.
Затем приводится детальный анализ (с разнообразными примерами) возможностей использования системы Maple в изложении теории и в решении конкретных задач на семинарах и при самостоятельной работе студента. На основании этого анализа предлагаются меры совершенствования математического образования, основанные на широком использовании компьютерных технологий.
2. М.Д.Малых (МГУ)
Обучение основам высшей математики с использованием систем компьютерной алгебры.
Аннотация
В коротком докладе речь пойдет об использовании CAS в учебном процессе на ФНМ МГУ [1] и в РУДН [2]. Будет представлено пособие «Математические анализ вместе с Microsoft Mathematics» для студентов РУДН.
Ссылки:
[1] http://malykh.a.freewiki.in;
[2] http://web-local.rudn.ru/web-local/prep/rj/index.php?id=2281
3. Н.Н.Сосновский (СПбГЭТУ)
Разработка методических материалов в среде системы Mathematica.
Аннотация
Важным элементом процесса преподавания математики является разработка методических материалов для студентов. Студент должен выполнить обязательный минимум упражнений для того, чтобы достигнуть определенного уровня понимания материала и закрепить его в навыках. Предлагаемые упражнения бывают двух типов.
Первый тип упражнений - это достаточно простые упражнения (задачи), цель которых проверить понимание излагаемого материала и помочь студентам приобрести навыки решения типовых задач.
Второй тип упражнений – это упражнения, требующие искусства для их выполнения. Такие упражнения предназначены для углубленного понимания математики и могут быть осилены не всеми студентами.
Разработка таких упражнений не может быть осуществлена стандартными способами и требует творческого подхода от преподавателя. Напротив, разработка упражнений первого типа может и должна быть автоматизирована, так как здесь требуется приготовить большое количество задач одного типа с ответами для упрощения проверки и оценки результатов. Сказанное говорит о том, что преподавателю необходимо иметь своего рода генератор задач для обеспечения формирования индивидуальных практических заданий по излагаемому материалу. Автор имеет опыт разработки таких генераторов для различных задач: по алгебре, дискретной математике, теории вероятностей и математической статистике, - в среде системы Математика. В данном докладе рассматривается генератор задач дискретной математики. Задания и ответы выводятся в отдельные файлы, конвертируются в PDF, и файлы с заданиями доводятся до студентов по электронной почте. Генератор обеспечивает формирование индивидуального задания каждому студенту группы. Студент выбирает вариант по своему номеру в списке группы, который доводится до студентов по электронной почте. Все задачи задания подробно разбираются на практических занятиях.
1. A.I.Egorov (MIPT)
Advanced mathematics and computer technology.
Abstract
The report focuses on the improvement of higher mathematical education. It provides an analysis of the status of mathematical preparation of students For the specific example shows that a significant portion of training time is spent planning is useless.
This is followed by a detailed analysis (with a variety of examples) opportunities for the use of Maple in theory and in solving specific problems at seminars and independent work of the student. Based on this analysis, proposes measures for improvement of mathematics education based on the widespread use of computer technology.
2. M.D.Malykh (MSU)
Teaching Calculus with CAS.
Abstract
The short talk deals with the usage of CAS under teaching calculus. We will present the textbook «Calculus with Microsoft Mathematics» (in russian) for students of Peoples' Friendship University of Russia.
Refs:
[1] http://malykh.a.freewiki.in;
[2] http://web-local.rudn.ru/web-local/prep/rj/index.php?id=2281
3. N.N.Sosnovskiy (SPbETU)
Developing methodical materials in the environment of system of Mathematica.
Abstract
Developing methodical materials for students is impotant element of teaching process. The student must have completed the mandatory minimum of exercises in order to achieve a certain level of understanding of the material and fasten it to the skills. The proposed exercises are of two types.
The first type of exercise is fairly simple exercises (tasks), which are designed to check your understanding of the material and to help students to acquire skills in solving typical problems.
The second type of exercises are exercises that require art for their implementation. Such exercises are designed to enhance understanding of mathematics and can be affordable by all students.
The development of such exercises cannot be performed by standard methods and requires creativity from the teacher. On the contrary, the development of exercises of the first type can and should be automated, as it requires to prepare a large number of tasks of the same type with answers to facilitate testing and evaluation of results. It is written suggests that teachers need to have some sort of task generator to ensure the formation of individual practical tasks on a stated material. The author has experience in the development of such generators for different tasks: algebra, discrete mathematics, probability theory and mathematical statistics, in the environment of system of Mathematics. This report examines the task generator of discrete mathematics. Quests and answers are displayed in a separate files are converted to PDF files and tasks are communicated to students via e-mail. The generator provides for the formation of individual assignments for each student group. The student selects the option by its number in the list group, which is communicated to students via e-mail. All tasks of a job are described in detail in practical classes.
Slides (Prokopenya) Slides (abramov et al.)
1. А.Н.Прокопеня (Варшавский университет естественных наук)
Моделирование квантовых алгоритмов с использованием пакета QuantumCircuit.
Аннотация
Обсуждаются основные возможности и особенности пакета QuantumCircuit для моделирования квантовых вычислений, написанного на языке системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica. В качестве примеров рассматриваются квантовые схемы, реализующие телепортацию квантовых битов, квантовое преобразование Фурье и квантовый алгоритм определения фазы.
2. С.А.Абрамов, А.А.Рябенко, Д.Е.Хмельнов (Вычислительный Центр РАН)
EG-семейство алгоритмов и процедур поиска решений дифференциальных и разностных систем произвольного порядка.
Аннотация
Обсуждаются задачи поиска решений линейных дифференциальных и разностных систем произвольного порядка с переменными коэффициентами.
Для систем с полиномиальными коэффициентами предлагаются алгоритмы поиска полиномиальных и рациональных решений, а также решений в виде рядов. Для дифференциального случая дополнительно предлагаются алгоритмы поиска регулярных, рационально-логарифмических и формальных экспоненциально-логарифмических решений.
Рассматриваются и дифференциальные системы полного ранга с бесконечными конструктивными степенными рядами в роли коэффициентов. Совместно с М.Баркату для таких систем предложен алгоритм поиска лорановых решений. Указан алгоритм построения регулярных решений. Построение же всех формальных экспоненциально-логарифмических решений здесь является алгоритмически неразрешимой задачей. Предложен алгоритм, который позволяет построить базис пространства таких решений, коль скоро известна размерность этого пространства.
Все обсуждаемые алгоритмы реализованы в виде Maple-процедур, часть которых входит в пакет LinearFunctionalSystems стандартных релизов Maple. Остальные процедуры доступны на сайте http://www.ccas.ru/ca/doku.php/eg
Алгоритмы основываются на EG-исключениях, используемых в тех, например, случаях, когда ведущая матрица дифференциальной системы (в разностном случае — ведущая или трейлинговая матрица) оказывается вырожденной.
Неоценимый вклад в усовершенствование первоначального варианта метода EG-исключений внес М.Бронштейн (1963-2005).
1. A.N.Prokopenya (Warsaw University of Life Sciences, Poland)
Simulation of quantum algorithms with application of the package “QuantumCircuit”.
Abstract
We discuss here main abilities and features of the QuantumCircuit package for simulation of quantum computation written in the language of the computer algebra system Wolfram Mathematica. Quantum circuits implementing quantum teleportation, quantum Fourier transform and quantum algorithm for phase estimation are considered as examples.
2. S.A.Abramov, A.A.Ryabenko, D.E.Khmelnov (Computing centre of RAS)
The EG-family of algorithms and procedures for solving linear differential and difference higher-order systems.
Abstract
We discuss problems of finding solutions of linear differential and difference systems of arbitrary order with variable coefficients.
For systems with polynomial coefficients, algorithms for polynomial, rational and series solutions are proposed. Besides, for the differential case we describe algorithms for finding rational-logarithmic, regular and formal exponential-logarithmic solutions.
We consider also full rank differential systems with infinite computable power series in the role of coefficients. Jointly with M.Barkatou, we propose an algorithm to construct Laurent-series solutions. We propose as well an algorithm for regular solutions. The construction of all formal exponential-logarithmic solutions of such a system is generally an algorithmically undecidable problem. We give an algorithm which allows to construct a basis for the space of such solutions, as soon as the dimension of the space is known.
All the discussed algorithms are implemented as Maple procedures, some of those procedures are incorporated into the package {\tt LinearFunctionalSystems} of standard Maple releases. Other procedures are available on http://www.ccas.ru/ca/doku.php/eg
The algorithms are based on the EG-eliminations which are used, e.g., when the leading matrix of a differential system is singular (in the difference case: the leading or/and trailing matrices). An invaluable contribution to the improvement of the first version of the EG-eliminations method was made by M.Bronstein (1963–2005).
Д.С.Кулябов, А.В.Королькова, Л.А.Севастьянов (Российский университет дружбы народов)
Геометрические методы в задачах электромагнетизма.
Аннотация
1. На основе классификации существующих физических теорий по используемым парадигмам проводится разделение теоретических подходов на несколько групп (геометрический, полевой, реляционный). Выделяются математические методы, присущие каждому подходу.
2. Для изучения электромагнитного поля выделяется группа методов геометрического подхода. Демонстрируется их применение к задачам распространения электромагнитного поля.
3. Проводится краткий анализ применимости систем компьютерной алгебры к разным теоретическим подходам. Демонстрируется их применение при геометризации электромагнитного поля.
D.S.Kulyabov, A.V.Korolkova, L.A.Sevastyanov (Peoples’ Friendship University of Russia)
Geometric methods in electromagnetism.
Abstract
1. On the basis of the classification of the existing physical theories by used paradigms held division of theoretical approaches to several groups (geometric, field, and relational). Distinguished mathematical methods inherent to each approach.
2. To study the electromagnetic field there is a group of methods of geometrical approach. Demonstrates their application to problems of electromagnetic fields.
3. We provide a brief analysis of the applicability of computer algebra systems to different theoretical approaches. We demonstrated by their use in problems of geometrization of the electromagnetic field.
Slides (Shemyakova) Slides (Batkhin)
1. А.Б.Батхин (Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН)
Исследование одной вещественной алгебраической поверхности.
Аннотация
В докладе предлагается описание некоторого вещественного алгебраического многообразия в R^3, которое играет важную роль в исследовании метрик Эйнштейна. Для понимания структуры многообразия дается описание всех его особых точек. В силу наличия внутренней симметрии изучаемого объекта, часть исследования проводится с использованием элементарных симметрических многочленов. Использованы алгоритмы компьютерной алгебры, в частности, базисы Грёбнера и алгоритмы работы с полиномиальными идеалами. В качестве сопутствующего результата сформулировано и доказано утверждение о структуре дискриминантной поверхности кубического многочлена.
2. Е.С.Шемякова (ВЦ РАН)
Преобразований Дарбу типа I для решения дифференциальных уравнений.
Аннотация
Преобразования Дарбу типа I - это преобразования Дарбу специального типа, которые обладают свойством обратимости, и позволяют выписать формулы для обратного в явном компактном виде.
Преобразования Дарбу типа I определены для линейных дифференциальных операторов произвольного вида. В этом докладе мы рассмотрим обиты преобразований типа I для случая операторов третьего порядка от двух независимых переменных.
Для этого случая реализованы ряд алгоритмов. Получаемые орбиты имеют очень интересную геометрическую структуру. Мы также покажем, что такие алгоритмы имеют потенциал решать новые дифференциальные уравнения.
1. A.B.Batkhin (Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS)
On investigation of the certain real algebraic surface.
Abstract
We provide the description of the certain real algebraic variety in $R^3$, which plays an important role in investigation of Einstein's metrics. We provide the description of the all singular points of the variety. All computations were done with the help of computer algebra algorithms, in particular with the help of Grobner basis and algorithms of polynomial ideals. We stated and proved an auxiliary result on the structure of the discriminant surface of the cubic polynomial.
2. E.S.Shemyakova (СС RAS)
Darboux transformations of type I for solution of differential equations.
Abstract
Darboux transformations of type I - is a special kind of Darboux transformations, which are invertible and compact explicit formulas for the inverse are known.
Darboux transformations of type I are defined for linear differential Operators of arbitrary form. In the talk we consider transformations of type I for the case of third-order operator of two independent variables.
For this case a number of algorithms have been implemented. The resulting orbits have interesting geometric structure. We also show that such algorithms have a potential to solve new differential equations.
А.Д. Брюно (Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН)
Элементы нелинейного анализа.
Аннотация
Предлагаются алгоритмы, позволяющие получать асимптотические разложения решений в виде (а) степенных рядов с постоянными коэффициентами и (б) с коэффициентами, являющимися степенными рядами от логарифмов, а также — (в) в виде ряда экспонент от степенного ряда. Эти алгоритмы применимы к уравнениям (A) алгебраическим, (B) обыкновенным дифференциальным и (C) в частных производных, а также - к системам таких уравнений. Изложение ведется для одного обыкновенного дифференциального уравнения. Перечислены некоторые из приложений этих алгоритмов.
A.D. Bruno (Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS)
Elements of nonlinear analisys.
Abstract
We propose algorithms that allow to obtain asymptotic expansions of solutions in the form of (a) power series with constant coefficients and (b) with coefficients of series of logarithms and (c) in the form of series of exponents of a power series as well. These algorithms are applicable to equations (A) algebraic, (B) ordinary differential and (C) partial differential and to the systems of such equations as well. We give the description of the method for one ordinary differential equation and we enumerate some applications of these algorithms.
Р.Р. Гонцов (ИППИ РАН)
О формальных степенных рядах, удовлетворяющих обыкновенному дифференциальному уравнению в комплексной области.
Аннотация
Доклад посвящен некоторым свойствам степенных рядов, формально удовлетворяющих (полиномиальному) обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) в комплексной области (вообще говоря, не разрешенному относительно старшей производной). Сначала речь пойдет об элементах кольца C[[z]], рядах с целыми показателями степени. Будет рассказано о теоремах Майе, Мальгранжа, Рамиса–Сибуйи, оценивающих порядок роста числовых коэффициентов таких рядов. Затем перейдем к обобщенным степенным рядам (с комплексными показателями степени), формально удовлетворяющим ОДУ. Здесь, в основном, нас будут интересовать вопросы сходимости рядов (в некотором секторе с вершиной в нуле). В завершение мы постараемся наметить некоторые вопросы для дальнейшего исследования в данном направлении.
R.R. Gontsov (IITP RAS)
On formal power series satisfying an ordinary differential equation in a complex domain.
Abstract
A talk concerns some properties of power series formally satisfying a (polynomial) ordinary differential equation (ODE) in a complex domain (generally, not reduced with respect to the highest derivative). First we will speak about elements of the ring C[[z]], series with integer power exponents. The theorems of Maillet, Malgrange, Ramis–Sibuya, which estimate the growth of the coefficients of such series, will be presented. Then we will pass to generalized power series (with complex power exponents) formally satisfying an ODE. Here, mainly, we will be interested in problems of the convergence of series (in some sector with vertex at the origin). In the conclusion we will try to sketch some problems for further investigation in that direction.
Slides (Adlaj) Slides (Limonov)
1. С.Ф. Адлай (ВЦ РАН)
Точки кручения эллиптических кривых и полиномиальные модулярные симметрии.
Аннотация
Вычисление корней модулярного уравнения уровня p вплотную связано с вычислением p-точек кручения соответствующей эллиптической кривой. Заслугу выявления такой замечательной взаимосвязи следует (как бы не было удивительно) всецело присвоить Галуа и только ему. Хотя роль Галуа в формулировке необходимого и достаточного условия решения алгебраического уравнения в радикалах широко известна, его решающий вклад в решении уравнения пятой степени (до Эрмита и Клейна) едва (если сколь-нибудь) признан. Ему часто (заслуженно) приписывают идею о неприводимости алгебраического уравнения, но редко (если когда-либо) идею о понижении степени алгебраического уравнения. Изумительно, что (в своём предсмертном письме) он дал необходимый и достаточный критерий понижения степени модулярного уравнения простого порядка, и, в частности, показал, что группа (Галуа) модулярного уравнения уровня 5 совпадает с группой (общего) уравнения пятой степени. Мы избавимся от внушения того, что вклад Галуа в теорию алгебраических уравнений ограничился тем, что стало называться классической теории Галуа (несмотря на её глубину и на то, что она существенно конструктивна вопреки сложившимся представлениям), и следуя за Галуа мы придём к новому классу загадочных (модулярных) полиномиальных тождеств. Эти тождества были представлены 16-го апреля 2014-го на 7-ой конференции по полиномиальной компьютерной алгебре в Петербурге, и далее исследованы 21-го мая 2014-го на 17-ом рабочем совещании по компьютерной алгебре в Дубне.
2. М.Лимонов (МГУ механико-математический факультет) Обобщённые сепаранты и смешанные идеалы.
Аннотация
Рассматривается следующая задача: «Равна ли сумма дифференциального идеала и алгебраического единичному идеалу?» Иными словами, у нас есть кольцо дифференциальных многочленов K{y} от одной дифференциальной переменной {y} и одним дифференцированием. Такое кольцо можно рассматривать как кольцо многочленов с бесконечным числом переменных и линейным оператором дифференцирования. Идеал называется дифференциальным, если он замкнут относительно действия этого оператора.
Известно, что для алгебраического или дифференциального идеала I с конечным числом порождающих мы можем проверить равенство I=(1) с помощью базисов Грёбнера и алгоритма Розенфельда-Грёбнера соответственно. Но если идеал I представляется в виде суммы дифференциального и алгебраического задача не решена. В докладе будет представлен алгоритм проверки равенства I=(1), где I =[f]+(h_1,h_2,…,h_n) - идеал, являющийся суммой дифференциального идеала, порождённого одним многочленом f, и алгебраического идеала (h_1,h_2,…,h_n), при условии [f,S_f]=(1) (S_f — сепаранта f). Если в качестве алгебраического идеала взять (S_f), то мы получим способ проверки существования в идеале [f] квазилинейного многочлена.
1. S.F.Adlaj (CC RAS). Torsion points on elliptic curves and modular polynomial symmetries.
Abstract
Calculating the roots of the modular equation of level p is tightly intertwined with calculating the p-torsin points on a corresponding elliptic curve. Galois must (surprisingly) be solely and entirely credited for pointing out this wonderful interplay. While Galois' contribution to formulating necessary and su fficient condition for solving algebraic equations via radicals is widely known, his decisive contribution to actually solving the quintic (before Hermite and Klein) is barely (if at all) recognized. He is often credited for introducing the concept of irreducibility of an algebraic equation, but rarely (if ever) for introducing the concept of depressing the degree of an algebraic equation. Marvellously, he went on to indicate necessary and suffi cient condition for depressing the degree of the modular equation of prime level, and, in particular, did display that the (Galois) group of modular equation of level 5 coincides with the group of the (general) quintic. We shall lift the instillation that Galois' contribution to the theory of algebraic equation was limited to what has classically become known as Galois theory (however deep and however constructive, contrary to misguided perceptions), and we shall follow Galois' lead to arrive at a new class of bewildering (modular) polynomial identities. These identities were introduced on April 16, 2014 at the 7th PCA conference in St. Petersburg, Russia in a talk titled Modular Polynomial Symmetries, and further discussed on May 21, 2014 at the 17th Workshop on Computer Algebra in Dubna, Russia in a talk titled Elliptic and Coelliptic Polynomials.
2. M.Limonov (MSU faculty of mechanics and mathematics) Generalized separants and compound ideals.
Abstract
The report will discuss the following problem: «Is a sum of algebraic and differential ideals equal to the unit ideal or not?». In other word, let K{y} be a ring of differential polynomials with one differential variable and one operation of differentiation. This ring is isomorphic to a ring of polynomials with an infinite amount of variables and a linear differentiation operator. An ideal is called differential if it is closed under the operator application.
If an ideal I is an algebraic or differential ideal generated by a finite set of polynomials, then we can algorithmically determine if I=(1) using Grobner basis methods or Rosenfeld-Grobner algorithm correspondingly. The problem is not currently solved for ideals that are a sum of algebraic and differential ideals. We will present an algorithm to determine if I=(1), where I =[f]+(h_1,h_2,…,h_n) - an ideal representable as a sum of an differential ideal f generated by a single polynomial and an algebraical ideal (h_1,h_2,…,h_n), if [f,S_f]=(1) (S_f is the separant of f). If in the capacity of the algebraic ideal we take (S_f) we obtain an algorithm to check if ideal [f] contains a quasilinear polynomial.
21-22 мая 2014 года состоялся традиционный совместный семинар - фактически, двухдневная конференция - с Лабораторией информационных технологий ОИЯИ (Дубна).
The traditional joint meeting with the seminar of Laboratory of Information Technologies of JINR (Dubna) was held on May 21st-22nd, 2014. Essentially, this was a two-days conference.
Г.И.Малашонок (Тамбовский государственный университет)
Рекурсивные матричные алгоритмы в кольцах и полукольцах
Аннотация
Доклад посвящен обсуждению рекурсивных матричных алгоритмов, которые находят применение в компьютерной алгебре. Это алгоритмы обращения, замыкания, треугольного разложения и другие. Рекурсивные блочные алгоритмы обладают двумя преимуществами. Для плотных матриц эти алгоритмы имеют сложность матричного умножения, а для разреженных матриц коэффициент заполнения матрицы в процессе вычислений имеет умеренный характер роста по сравнению со стандартными алгоритмами, такими как алгоритм Гаусса или LU разложение.
В докладе будет показана аналогия между блочным алгоритмом вычисления матричной операции замыкания и блочным алгоритмом обращения матриц.
Вторая часть доклада будет посвящена представлению веб сервиса MathPartner. При этом будут продемонстрированы возможности веб сервиса MathPartner для решения матричных задач в классических и тропических алгебрах.
G.I.Malaschonok (Tambov State University)
Recursive matrix algorithms in rings and semirings
Abstract
The report focuses on recursive matrix algorithms, which are used in computer algebra: matrix inversion , the calculation of the matrix closure, a triangular decomposition and others. Recursive block matrix algorithms have two advantages. For dense matrices , these algorithms have the complexity of matrix multiplication. Sparse matrix has an additional advantage: fill factor matrix has a moderate growth compared to standard algorithms such as Gauss or LU decomposition.
The report will illustrate the similarities between the algorithm of calculation of matrix closures and matrix inversion algorithm.
The second part of the report is devoted to presenting a web service MathPartner. We will demonstrate the capabilities of the Web service MathPartner for solving matrix problems in classical and tropical algebras.
Slides (Paramonov) Slides (Abramov)
1. С.В.Парамонов (Московский Государственный Университет, факультет вычислительной математики и кибернетики)
О задаче проверки единственности аналитических решений уравнений в частных производных с граничными условиями
Аннотация
Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения в частных производных с полиномиальными коэффициентами. Доказывается алгоритмическая неразрешимость следующей задачи: проверить, верно ли, что заданное уравнение рассматриваемого вида имеет не более одного решения, аналитического в заданной области и удовлетворяющего заданным условиям на границе этой области. Предполагается, что известен полином, обращающийся в 0 во всех принадлежащих границе области точках.
2. С.А.Абрамов (ВЦ РАН)
О системах линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами в виде формальных степенных рядов.
Аннотация
Рассматриваются вопросы алгоритмической разрешимости задач вычисления ранга системы, размерности пространства ее решений, существования решений некоторых видов, проверки унимодулярности оператора системы и т.д. для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с коэффициентами в виде формальных степенных рядов. Ряды задаются алгоритмически: для каждого рассматриваемого ряда a(x) предполагается известным алгоритм, вычисляющий a_i, исходя из i. Излагаемые результаты получены совместно с М.Баркату, Э.Пфлюгелем и Д.Хмельновым.
1. S.V.Paramonov (Moscow State University, Faculty of computational mathematics and cybernetics).
On the problem of checking the uniqueness of analytical solutions of partial differential equations with boundary conditions
Abstract
We consider linear partial differential equations with polynomial coefficients and prove the algorithmic undecidability of the following problem: check whether a given equation of considered form has no more than one solution that is analytic in a given domain (an open region) and that satisfies some fixed boundary conditions. It is assumed that a polynomial which vanishes at each of points of the bound is known.
2. S.A.Abramov (Computing Centre Of the Russian Academy of Sciences)
On systems of linear ordinary differential equations with formal power series coefficients.
Abstract
For the systems of linear ordinary differential equations of arbitrary order with formal power series coefficients we consider algorithmic decidability questions for the problems of computing the rank of a system, the dimension of its solution spase, existence of solutions belonging to some classes, the unimodularity testing for the system operator etc. Power series are represented algorithmically: for each series a_0+a_1x+a_2x^2+…, an algorithm which computes a_i for a given i is supposed to be known. The results were obtained jointly with M.Barkatou, E.Pfluegel and D.Khmelnov.
Заседание семинара посвящено памяти Евгения Александровича Гребеникова (20.01.1932-29.12.2013).
А.А.Гусев (Лаборатория информационных технологий, Объединённый институт ядерных исследований, г. Дубна, РФ)
Символьно-численные алгоритмы и комплексы программ для анализа моделей резонансного квантового туннелирования составных систем через потенциальные барьеры
Аннотация
Модель квантового туннелирования кластера, состоящего из A тождественных
частиц c осцилляторным взаимодействием, через короткодействующие
отталкивающие барьерные потенциалы сформулирована и изучена в
представлении симметризованных координат в s-волновом приближении.
Представлен конструктивный алгоритм симметризации/антисимметризации
базисных функций A–1 мерного гармонического осциллятора относительно
перестановок A тождественных частиц в новых симметризованных координатах.
Алгоритм реализован в системе компьютерной алгебры Maple для
A=2,3,4,5,6,7. Для A=3,4 получены аналитические выражения для
симметричных/антисимметричных осцилляторных базисных функций. Представлен
анализ эффекта квантовой прозрачности барьеров, проявляющийся в
немонотонной зависимости резонансного типа коэффициента прохождения от
энергии столкновения составной системы, в зависимости от числа частиц и
типа их симметрии. Показано, что резонансное поведение коэффициента
похождения связано с существованием барьерных квазистационарных состояний,
погруженных в непрерывный спекр. Для их классификации разработан
символьно-численный алгоритм решения задачи на собственные значения в
усеченном осцилляторном базисе, реализованный в среде Maple-Fortran.
Разработанные алгоритмы и комплексы программ формирования эффективных
потенциалов и решения задачи рассеяния в методе сильной связи каналов, с
помощью дискретизации краевой задачи методом конечных элементов,
применены к анализу эффекта квантовой прозрачности в модели
приповерхностной квантовой диффузии двухатомных молекул ниже порога
диссоциации. Дальнейшее применение симметризованных координат и развитого
подхода связано с решением задачи рассеяния с помощью кластерной редукции
составной системы из A частиц к совокупности различных подсистем,
например, ``одна частица + кластер из A−1 частиц, или ``кластер из A1
частиц + кластер из A2 частиц, в рамках метода сильной связи каналов.
The session of the seminar is dedicated to the memory of Evgeniy Grebenikov (20.01.1932-29.12.2013).
A.A.Gusev (Laboratory of Information Technologies Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Russia)
Symbolic-numerical algorithms and program complexes for analysis of models of the resonance quantum tunnelling of composite systems through potential barriers
Abstract
A model for quantum tunnelling of a cluster comprised of A identical particles, interacting via oscillator-type potential, through short-range repulsive barrier potentials is formulated and studied in the symmetrized-coordinate representation and in the s-wave approximation. A constructive algorithm for symmetrizing/antisymmetrizing the (A-1)-dimensional harmonic oscillator basis functions in the new symmetrized coordinates with respect to permutations of A identical particles is presented. The algorithm has been realized in CAS Maple for A=2,3,4,5,6,7. For A=3,4 the symmetric/antisymmetric basis functions are given in analytical form. The analysis of effect of quantum transparency, manifesting itself in nonmonotonic resonance-type dependence of the transmission coefficient upon the collision energy of the composite system, their number and the type of their symmetry, is presented. It is shown that the total transmission coefficient demonstrates the resonance behavior due to the existence of barrier quasi-stationary states, imbedded in the continuum. For their classification the symbolic-numerical algorithm of solution of the eigenvalue problem in truncated oscillator basis has been elaborated in Maple-Fortran environment. The elaborated algorithm and program complexes of construction of the effective potentials and solution of the eigenvalue problem in close-coupled method discredited by Finite Element Method [http://wwwinfo.jinr.ru/programs/jinrlib/kantbp/indexe.html], are applied to analyze of the quantum transparency effect in the near-surface quantum diffusion of the diatomic molecules below dissociation threshold. The elaborated approach and program complexes were applied to the analysis of quantum transparency effect in the model of near-surface quantum diffusion of diatomic molecules below dissociation threshold. Further application of the symmetrized coordinates and developed approach connected with solution of scattering problem with help of a cluster reduction the composed system to subsystems, like “(one particle) + (cluster of A − 1 particles)” and “(a cluster of A1 particles) + (cluster of A2 particles) ” in the framework of close-coupled channel method.
Slides (Shemyakova), Slides (Gorbachev)
1. Е.С.Шемякова (ВЦ РАН)
Алгоритм построения преобразований Дарбу для факторизуемых операторов
Аннотация
Недавно автором было доказано, что любое преобразование Дарбу для операторов второго порядка на плоскости раскладывается на произведение элементарных преобразований Дарбу. Общая схема доказательства была представлена в моем докладе в мае 2013. В данном докладе я расскажу как строить преобразования Дарбу для факторизуемых операторов – для случая, который не покрывается общей схемой. В этом частном случае мы покажем, что можно спустить преобразования Дарбу до преобразований Дарбу операторов первого порядка.
Мы также покажем реализацию этого алгоритма в разрабатываемом пакете LPDO.
2. А.В.Горбачев (Российский университет дружбы народов)
О численно-аналитическом исследовании оптических свойств водородоподобных атомов в рамках операциональной модели квантовых измерений
Аннотация
Доклад посвящен численно-аналитическому исследованию конструктивной модели квантовых измерений Курышкина-Вудкевича. В рамках модели получен явный вид операторов наблюдаемых в терминах правила квантования Курышкина-Вейля. В системе компьютерной алгебре Maple разработан специализированный программный пакет с помощью которого была реализована процедура символьного вычисления оператора Гамильтона и соответствующей матрицы Ритца, а также процедура численного вычисления дискретного спектра построенной матрицы Ритца. На основе вычисленных собственных векторов матрицы Ритца проведен расчет радиационных переходов водородоподобных атомов. Сделана оценка качества модели на основе сравнительного анализа расчетных и экспериментальных значений переходных вероятностей.
1. E.S.Shemyakova (CC RAS)
Algorithm for construction of Darboux transformations for factorizable operators.
Abstract
Recently, we proved that every Darboux transformation for operators of order two on the plane is a composition of elementary Darboux transformations. The general scheme of the proof has been presented in my talk in May 2013. In the present talk I shall show how to construct Darboux transformations for factorizable operators – for the case which is not covered by the general scheme. We shall show that in this particular case we can reduce Darboux transformations to Darboux transformations for operators of first orders.
We shall also demonstrate the realization of this algorithm in our package LPDO.
2. A.V.Gorbachev (Peoples’ Friendship University of Russia)
On the numerical and analytical analysis of the optical properties of hydrogen-like atoms in the operational model of quantum measurements
The report discusses the numerical and analytical analysis of the Kuryshkin-Wódkiewicz quantum measurements model. This model allowed us to obtain an explicit form of the observable operators in terms of the quantization rule Kuryshkin-Weyl. A specialized software package was developed in the Maple computer algebra system. This package was used in symbolic computations of the Hamiltonian operator and corresponding Ritz matrix, and in numerical computation of the constructed Ritz matrix discrete spectrum. Based on the calculated eigenvectors of Ritz matrix the radiative transitions of hydrogen atoms were obtained. The quality of the model was estimated by comparing theoretical and experimental values of the transition probabilities.
1. М.Д.Малых (Факультет наук о материалах МГУ)
Об интегрировании дифференциальных уравнений в абелевых функциях
Аннотация
Существующие теории разрешимости систем нелинейных дифференциальных уравнений в конечном виде в том или ином смысле являются обещаниями теории Галуа и по этой причине список допустимых операций оказывается в них предметом договора. В своих Стокгольмских лекциях (1897) Пенлеве на примере уравнений 1-го и 2-го порядка указал свойство, общее всем уравнениям, разрешимым в элементарных, специальных и абелевых функциях: общее решения этих уравнений зависят от констант интегрирования алгебраически. Тем самым зафиксировав алгебраические свойства общего решения, можно выделить класс общеупотребимых трансцендентных функций.
Это утверждение можно вписать в круг идей теории Галуа. Мы рассматриваем поле всех алгебраических интегралов системы, коэффициенты которых являются трансцендентными функциями независимой переменной («времени»). Оказывается, что эти трансцендентные функции могут быть аблевыми функциями или решениями уравнения Риккати. Для первого случая предлагается алгоритм построения алгебраического интеграла системы. При этом в центре теории оказывается связь между трансцендентами и бирациональными автоморфизмами поля интегралов, а классические теоремы об автоморфизмах многообразий из алгебраической геометрии находят неожиданное приложение в теории дифференциальных уравнений.
2. А.Д.Брюно (ИПМ им. М.В.Келдыша РАН)
Сингулярности решений простых ОДУ
Аннотация
Обсуждаются случаи интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона, а также первое уравнение Пенлеве и две его иерархии (четвертого и шестого порядка). Уравнения эйлера Пуассона имеют решения в виде эллиптических и гиперэллиптических функций. Уравнения Пенлеве и их иерархии имеют решения в виде степенных рядов, коэффициенты которых являются либо эллиптическими, либо гиперэллиптическими функциями.
1. M.D.Malykh (FNM MSU)
On Integration of the Differential Equations in Abelian Functions
Abstract
Existing theories on resolvability of nonlinear differential equations systems in a finite terms are generalization of Galois theory and for this reason the list of elementary operations is subject of the contract. In the Stockholm lectures (1897) Painleve gave on the example of the equations of the 1st and 2nd order property which is common for all equations, solvable in elementary, special and abelian functions: the general solutions of these equations depend on integration constants algebraically. Thus, if we record algebraic properties of the common decision, we can allocate a class of all-usable transcendental functions.
This statement can be inscribed in a circle of the theory of Galois. We consider the field of all algebraic integrals of the system of ordinary differential equations, which coefficients are transcendental functions of a independent variable («time»). It appears that this transcendental functions may be abelian functions or solutions of Riccati equation. For first case we present an algorithm to construct an algebraic integrals of the system. Actually, we find correspondence between transcendental functions and birational automorphisms of a field of integrals and thus unexpected application in the theory of the differential equations for classical theorems from algebraic geometry.
2. A.D.Bruno (Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences)
Singularities of simple ODE's
Очередное заседание семинара «Компьютерная алгебра» состоится в среду 16 октября 2013 г. в 16:20, ауд. 713 ВМК:
В.П.Гердт (Объединённый институт ядерных исследований, Дубна), Ю.А.Блинков (Саратовский государственный университет)
О численном решении нелинейных уравнений в частных производных с помощью компьютерной алгебры
Аннотация
В докладе мы сначала рассмотрим пятипараметрическое семейство скалярных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, содержащее уравнение Кортевега-де Фриза и модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза. Для численного решения уравнений данного семейства мы их дискретизуем, применив компьютерно-алгебраический подход, основанный на комбинации метода конечных элементов, численного интегрирования и разностного исключения. Чтобы исследовать качество получаемой дискретизации мы используем точные решения уравнений рассматриваемого семейства и сравним их временное поведение с поведением соответствующих численных решений. Затем мы проанализируем три различных дискретизации уравнений Навье-Стокса, описывающих двумерное движение вязкой несжимаемой жидкости. Две из этих дискретизаций получены таким же методом, как и уравнения ранее рассмотренного пятипараметрического семейства. Третья дискретизация получается стандартной заменой временных производных передними разностями, а пространственных производных центральными разностями. Мы покажем, что только одна из этих трёх дискретизаций является хорошей аппроксимацией исходной дифференциальной системы. И эта дискретизация выявляет гораздо лучшее поведение численного решения, чем остальные две.
The next meeting of the seminar on Computer Algebra of Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of MSU, and Computing Centre of RAS will be on Wednesday, October 16th, at 16:20, room 713 of CMC faculty:
V.P.Gerdt (Joint Institute for Nuclear Research, Dubna), Yu.A.Blinkov (Saratov State University)
On computer algebra aided numerical solving nonlinear partial differential equations
Abstract
In the talk we consider first a five-parameter family of scalar nonlinear partial differential equations that contains the Korteveg-de Vries equation and the modified Korteveg-de Vries equation. To solve equations in this family numerically, we discretize them by using computer algebra assisted method based on combination of the finite volume method, numerical integration and difference elimination. To analyze quality of the obtained discretization we found a class of exact solutions and compared dynamics of numerical solutions and their exact counterparts. Second, we confront three finite difference approximations to the Navier–Stokes equations for the two-dimensional viscous incomressible fluid flows. Two of these approximations were generated by the same computer algebra assisted method as mentioned above. The third approximation was derived by the standard replacement of the temporal derivatives with the forward differences and the spatial derivatives with the central differences. We show that only one of these approximations is strongly consistent with the Navier–Stokes equations and present our numerical tests which show that this approximation has a better behavior than the other two.
С.И.Хашин (ИвГУ, Иваново, http://math.ivanovo.ac.ru/dalgebra/Khashin/index.html)
Алгебраический подход к нахождению методов Рунге-Кутта
Аннотация
«Условия порядка» - это система уравнений, которой должны удовлетворять коэффициенты метода Рунге-Кутта (РК). Это полиномиальная система уравнений от сотен переменных и до тысячи уравнений.
В докладе рассказывается о новом, алгебраическом подходе к решению С помощью этого подхода удалось получить достаточно полное описание всех 9-стадийных методов порядка 7 и численно найти 5-мерное семейство методов порядка 9.
Предложен метод оценки локальной погрешности классических методов РК (методов порядка 4), что дает возможность вести вычисления с автоматическим выбором шага, что может значительно уменьшить объем вычислений (во многих случаях). Ранее это было возможно лишь для вложенных методов РК. Аналогичная возможность есть и для методов порядка 5.
Исследована погрешность методов порядка 5. Предложены формулы с малой погрешностью и небольшими по модулю коэффициентами метода.
S.I.Khashin (IvGU, Ivanovo, Russia. http://math.ivanovo.ac.ru/dalgebra/Khashin/index.html)
An algebraic approach to finding the Runge-Kutta methods
Abstract
«Order conditions» is the system of equations for the coefficients of Runge-Kutta (RK) method. This polynomial system depends on hundreds of variables and has up to thousand equations.
In the talk I shall report about my new algebraic approach to the solution of this system. Using this approach, we obtained a sufficiently complete description of all the 9-stage methods of order 7 and find numerically a 5-dimensional variety of methods of order 9.
Also I shall present my new method for estimation of the local error for the classical RK methods (RK methods of order 4). This allows to introduce automatic selection of a step, which significantly improves computational time (in many cases). Up until now, this was possible for embedded RK pairs. A similar possibility exists for methods of order 5.
I shall also investigate the accuracy of the methods of order 5. Formulas with a small inaccuracy and small in absolute value coefficients method are presented.