Спецкурс проф. В.Н. Разжевайкина «Модели распределенных биологических систем» для студентов III-V курсов МФТИ

Лекция 1

Введение. Особенности учета факторов структурированности в биологических моделях. Характер применяемого математического аппарата.

Лекция 2

Модели с возрастной структурой. Дискретная структура. Модель Лесли. Обобщения модели Лесли. Модели Лефковича и Логофета. Биологический потенциал в дискретных моделях распределенных популяций.

Лекция 3

Модели с непрерывной возрастной структурой. Линейная модель Лотки. Проблемы моделирования в демографии.

Лекция 4

Нелинейная модель Лотки. Взаимодействие нескольких видов с непрерывной возрастной структурой.

Лекция 5

Модели биосистем с пространственной структурой. Диффузионные случайные процессы и уравнения Колмогорова.

Лекция 6

Корректная разрешимость параболических краевых задач. Принцип максимума.

Лекция 7

Системы уравнений типа «реакция – диффузия». Связь с точечными системами. Монотонность решений.

Лекция 8

Асимптотическое поведение решений одного уравнения «реакции – диффузии». Неустойчивость стационарных непостоянных решений.

Лекция 9

Пространственные структуры в случае задачи Дирихле. Области притяжения устойчивых распределений.

Лекция 10

Понятие о доминирующем равновесии. Теорема о стабилизации для решений задачи Коши.

Лекция 11

Решения типа бегущей волны. Минимальная скорость распространения возмущений. Колмогоровская и триггерная волна. Критерии существования. Цепочки волн. Их биологическая интерпретация.

Лекция 12

Устойчивость бегущей волны. Стабилизация к цепочкам волн на фазовой плоскости.

Лекция 13

Система двух уравнений «реакции – диффузии». Диффузионная неустойчивость. Критерий ее возникновения и его интерпретации.

Лекция 14

Элементы теории бифуркаций. Конечномерная структура ветвлений в системе двух уравнений «реакции – диффузии». «Мягкие» диссипативные структуры. Связь с проблемой морфогенеза.

Лекция 15

Принцип эволюционной оптимальности в моделях распределенных биосистем. Функционалы отбора в случае наличия возрастной и пространственной структуры.

Пояснительная информация

В курсе рассматриваются модели биологических систем, учитывающие наличие возрастной и пространственной структуры. По возрастной структуре (лекции 1-4) используется пособие [1]. Материал лекций 5-7 отражает традиционный набор методов анализа нелинейных параболических уравнений. Наиболее близкими здесь являются главы из монографий [2]-[6]. Уравнения «реакции – диффузии» (лекции 8-14) освещаются в работах [7]-[13], причем в монографии [10] излагаются используемые в лекции 14 элементы нелинейного функционального анализа. Материал лекции 15 основан на статье [14]. По лекциям 5-15 готовится учебное пособие (его предварительный вариант доступен для студентов).

Литература

1. Разжевайкин В.Н. Анализ моделей динамики популяций. М., МФТИ, 2010, 174 с.
2. Свирежев Ю.М., Нелинейные волны, диссипативные структуры и волны в экологии. М., Наука, 1987, 366 с.
3. Михайлов В.П., Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1976, 391 с.
4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.; Наука, 1967, с.736.
5. Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, М., Мир, 1968, 428 с.
6. Хенри Д., Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М., Мир, 1986, 376 с.
7. Вольперт А.И., О распространении волн, описываемых нелинейными параболическими уравнениями. В кн. И.Г. Петровский, Избранные труды. Дифференциальные уравнения и теория вероятностей. М., Наука, 1987, с.333-358.
8. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С., Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества и его применение к одной биологической проблеме. Бюл. МГУ, 1937, т.1, сер. А, вып. Б. № 6, с. 1-26.
9. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э., Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., Мир, 1971, с.371.
10. Ниренберг Л., Лекции по нелинейному функциональному анализу. М., Мир, 1977.
11. Разжевайкин В.Н. Решения типа бегущей волны для уравнения реакции – нелинейной диффузии //Труды МФТИ (ГУ). Т.1, №4. C. 99-119. М., 2009
12. Разжевайкин В.Н., Неустойчивость стационарных неоднородных решений задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения и ее экологические применения. Ж. вычисл. матем. и математич. физ., 1980, т. 20, № 5, с. 1328-1333.
13. Разжевайкин В.Н. Неустойчивость непостоянных стационарных решений уравнений реакции - плотностно зависящей диффузии в выпуклой области. Дифференциальные уравнения, 32, № 2, с. 280—282, 1996.
14. Разжевайкин В.Н. Функционалы отбора в автономных моделях биологических систем с непрерывной возрастной и пространственной структурой. Ж. вычисл. матем. и математич. физ., 2010. Т. 50, №2, с. 338-346