Спецкурс проф.  В.Н. Разжевайкина «Математические модели динамики популяций» для студентов III-V курсов МФТИ

 

 Лекция 1

Структура математических моделей в биологии. Объекты моделирования. Типы моделей. Специфика моделей локализованных и структурированных систем. Характер применяемого математического аппарата. Примеры.

Лекция 2

Точечные непрерывные модели изолированной популяции. Модель Мальтуса. Логистическая модель. Модель поиска партнера. Модели в задачах эпидемиологии. Пороговый уровень заболевания.

Лекция 3

Отношения эквивалентности динамических систем. Структурная устойчивость. Элементы теории бифуркаций. Коразмерность вырождения.

Лекция 4

Теоремы сведения. Система «ресурс – потребитель» с независимым ресурсом.

Лекция 5

Понятие о теории катастроф. Деформации Уитни. Типичные особенности равновесных состояний изолированной популяции в однопараметрических  семействах.

Лекция 6

Сингулярно возмущенные системы. Теорема А.Н.Тихонова. Релаксационные колебания системы в модели типа «ресурс - потребитель».

Лекция 7

Бифуркация Андронова - Хопфа. Потеря устойчивости фокуса. Устойчивость в случае дискретных отображений. Отображение монодромии. Теорема Ляпунова. Фокусные величины.

Лекция 8

Ветвления при потере устойчивости фокуса. Диаграммы Ньютона. Мягкая и жесткая потеря устойчивости. Связь с фокусными величинами. Бифуркация Хопфа для системы «хищник – жертва» с унимодальной плодовитостью жертвы.

Лекция 9

Автоколебательные режимы в системе «хищник – жертва». Модель Вольтерра. Трофические функции. Условия отсутствия циклов. Модель Колмогорова.

Лекция 10

Модели конкуренции. Два конкурирующих вида. Связь устойчивости равновесных решений с взаимным расположением нуль-изоклин. Биологическая интерпретация условий устойчивости.

Лекция 11

 Конкуренция нескольких видов.  Принцип эволюционной оптимальности. Примеры его применения.

Лекция 12

 Консервативные и диссипативные по Вольтерра системы. Свойства консервативных систем.

Лекция 13

Первые интегралы и характер решений. Свойства диссипативных систем. Предельные множества и наборы функций Ляпунова. Динамика при наличии вырождений.

Лекция 14

Модели конкуренции за экологические ниши. Принцип конкурентного исключение Гаузе и его обобщения.

 

Пояснительная информация

Курс посвящен  «точечным» моделям биологических сообществ. Он включает основополагающие сведения из теории бифуркаций, основы построения моделей при наличии иерархии характерных времен, теорию возникновения периодических решений, исследование моделей хищничества и конкуренции, теорию Вольтерра консервативных и диссипативных систем. По материалам курса опубликовано пособие  [1].

Литература

  1. Разжевайкин В.Н.  Анализ моделей динамики популяций. М., МФТИ, 2010, 174 с.