Структура математических моделей в биологии. Объекты моделирования. Типы моделей. Специфика моделей локализованных и структурированных систем. Характер применяемого математического аппарата. Примеры.
Точечные непрерывные модели изолированной популяции. Модель Мальтуса. Логистическая модель. Модель поиска партнера. Модели в задачах эпидемиологии. Пороговый уровень заболевания.
Отношения эквивалентности динамических систем. Структурная устойчивость. Элементы теории бифуркаций. Коразмерность вырождения.
Теоремы сведения. Система «ресурс – потребитель» с независимым ресурсом.
Понятие о теории катастроф. Деформации Уитни. Типичные особенности равновесных состояний изолированной популяции в однопараметрических семействах.
Сингулярно возмущенные системы. Теорема А.Н.Тихонова. Релаксационные колебания системы в модели типа «ресурс - потребитель».
Бифуркация Андронова - Хопфа. Потеря устойчивости фокуса. Устойчивость в случае дискретных отображений. Отображение монодромии. Теорема Ляпунова. Фокусные величины.
Ветвления при потере устойчивости фокуса. Диаграммы Ньютона. Мягкая и жесткая потеря устойчивости. Связь с фокусными величинами. Бифуркация Хопфа для системы «хищник – жертва» с унимодальной плодовитостью жертвы.
Автоколебательные режимы в системе «хищник – жертва». Модель Вольтерра. Трофические функции. Условия отсутствия циклов. Модель Колмогорова.
Модели конкуренции. Два конкурирующих вида. Связь устойчивости равновесных решений с взаимным расположением нуль-изоклин. Биологическая интерпретация условий устойчивости.
Конкуренция нескольких видов. Принцип эволюционной оптимальности. Примеры его применения.
Консервативные и диссипативные по Вольтерра системы. Свойства консервативных систем.
Первые интегралы и характер решений. Свойства диссипативных систем. Предельные множества и наборы функций Ляпунова. Динамика при наличии вырождений.
Модели конкуренции за экологические ниши. Принцип конкурентного исключение Гаузе и его обобщения.
Курс посвящен «точечным» моделям биологических сообществ. Он включает основополагающие сведения из теории бифуркаций, основы построения моделей при наличии иерархии характерных времен, теорию возникновения периодических решений, исследование моделей хищничества и конкуренции, теорию Вольтерра консервативных и диссипативных систем. По материалам курса опубликовано пособие [1].