Некоторые аналитико-численные методы решения эллиптических краевых задач в сложных областях

В.И. Власов

     Разработан ряд новых аналитико-численных методов решения краевых задач для широкого класса эллиптических уравнений и систем (вкючая уравнения Пуассона, Гельмгольца, бигармоническое, а также систему Ляме уравнений теории упругости) в плоских и пространственных областях сложной формы с геометрическими особенностями. Примерами таких областей являются области с конусами (в том числе скругленными), узкими щелями, плоскими или многогранными углами и т.п.

     В основе этих методов лежит использование принципиально новых систем базисных функций. Главными из них являются системы мультиполей,т.е. системы функций, удовлетворяющих заданному (однородному) уравнению в некотором расширении G исходной области g, отвечающих некоторому однородному условию на границе расширенной области G и имеющих в определенной точке этой области (или на ее границе G) особенность тем большего порядка, чем выше номер этой функции. Еще один важный класс базисных систем доставляют системы весовых собственных функций оператора Лапласа в сложных областях. Важно подчеркнуть, что найдены алгоритмы построения этих функций в явном аналитическом виде для широкого класса задач (для весовых собственных функций - только для плоских областей). Пусть граница g состоит из двух частей, g=Г, где G. Описанная система мультиполей обладает полнотой и минимальностью в пространстве L2(Г) (при условии, что Г отвечает условию конуса). Приближения, построенные на этих функциях, сходятся во всей области g и их можно дифференцировать любое число раз в g и на достаточно гладких участках а построенный на этих функциях ряд сходится в некоторой подобласти g примыкающей к . Из этих приближений без труда находятся асимптотические ряды и их коэффициенты (называемые коэффициентами интенсивности) вблизи любой геометрической особенности участка . (Сходными аппроксимативными свойствами обладают и весовые собственные функции). Метод решения краевых задач, основанный на указанных приближениях (метод мультиполей) обладает экспоненциальной скоростью сходимости и является весьма эффективным при численной реализации. При этом достигаемая точность контролируется при помощи имеющихся апостериорных оценок погрешности как для самого решения, так и для его производных, коэффициентов интенсивности и др. Кроме того, благодаря аналитическому представлению решения метод позволяет проводить качественное исследование поведения решения и его характеристик при варьировании параметров задачи, в том числе получать асимптотики этих величин при сингулярном деформировании области.

     Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта N 98-01-00501).