О сингулярных краевых задачах гидродинамики, сводящихся к решению нелинейных автономных систем на бесконечном интервале

Н.Б. Конюхова, А.И. Суков

     Рассматриваются три задачи гидродинамики, возникающие при описании установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости а) в слоях смешения при нулевом градиенте давления; б) вблизи вращающегося диска бесконечно большого радиуса; в) вблизи бесконечной неподвижной стенки при вращении жидкости, в том числе и при наличии магнитного поля (см. [1] и библиографию там). На их примере дается корректная постановка краевых задач на бесконечном интервале для класса сингулярных нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающих в фазовом пространстве переменных однопараметрическим множеством точек псевдогиперболического равновесия (равновесной прямой). Основой указанной постановки являются результаты по сингулярным задачам Коши, гладким многообразиям и рядам Ляпунова (см. [2] и библиографию там). Предлагается алгоритм численного решения рассматриваемых задач на конечном интервале (в том числе с указанием неточностей, допущенных в литературе): в окрестности точки равновесия, определенной с точностью до параметра, строится гладкое устойчивое многообразие решений (УМР); граничные условия переносятся из бесконечности в конечную точку с требованием - значения решений принадлежат УМР. Приводятся результаты численных экспериментов методами стрельбы: задаем начальные данные на УМР и недостающие значения переменных и параметра точки равновесия определяем из требования выполнения граничных условий на несингулярном конце, решая серию задач Коши и используя методы оптимизации для поиска значений неизвестных. Полученные результаты численных экспериментов сравниваются с известными ранее.

     Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты N 99-01-00331 и N 00-01-00674.

Литература

  1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., 1956; Диесперов В.Н. Поведение автомодельных решений уравнений пограничного слоя с нулевым градиентом давления. М.: ВЦ РАН. 1986; Holt J.F. Communs. Assoc. Comput. Machinery, 1964, 7(6), 366-373.

  2. Конюхова Н.Б. Дифференц. ур-ния, 1994, 30(8), 1384-1395; Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, 34(10), 1358-1379; Гладкие многообразия Ляпунова и сингулярные краевые задачи. М.: ВЦ РАН. 1996.