Аппроксимация является стандартным средством в теории выпуклых тел. Первые аппроксимационные теоремы восходят к Минковскому. В частности, им было доказано, что для каждого выпуклого тела можно найти сходящуюся последовательность выпуклых полиэдров. Это возможность широко использовалась для получения различных теоретических результатов, связанных с геометрией выпуклых поверхностей. Однако долгое время интерес к задаче был сугубо теоретическим.

     На важность практической аппроксимации выпуклых тел многогранниками возможно впервые указано в классической работе [1] в связи с проблемой аппроксимации множеств достижимости динамических систем. В настоящее время задача аппроксимации выпуклых тел многогранниками возникает во многих приложениях: при иследовании управляемых систем, в математическом программировании, кодировании изображений, дизайне и др. Принципиальное значение практические алгоритмы аппроксимации выпуклых тел многогранниками имеют в задачах принятия решений на основе метода достижимых целей [2, 3].

     До 70-х гг. методы построения полиэдральных аппроксимаций существовали, в основном, "на бумаге" и вытекали из конструкций, использовавшихся при получении соответствующих теоретических оценок. Далее стандартный подход к построению многогранников, аппроксимирующих выпуклые множества, стал основываться на расчете значений опорной функции аппроксимируемого множества на некоторой заданной сетке направлений. Однако в [4] было показано, что использование заранее заданных (так называемых неадаптивных) сеток направлений не позволяет эффективно аппроксимировать многомерные множества.

     С 80-х гг. в Вычислительном центре Академии наук в рамках метода множеств достижимости развивались теория и практика адаптивных методов полиэдральной аппроксимации. В настоящее время предложен, теоретически и экспериментально исследован и нашел практическое применение целый ряд алгоритмов аппроксимации, оптимальных с точки зрения сложности описания аппроксимирующих многогранников и числа экспериментов с аппроксимируемым телом (см. обзоры в [2, 3]).

     Среди современных приложений методов полиэдральной аппроксимации в рамках метода достижимых целей укажем на их практическое применение в задачах экономического и экологического планирования. Наиболее широкое применение эти методы нашли в практике поиска стратегий улучшения качества воды. В настоящее время эти работы выполняются по заказу Министерства природных ресурсов РФ в рамках федеральной целевой программы "Возрождение Волги" [3].