Методы решения некоторых многопараметрических спектральных задач, возникающих в математической физике

А. А. Абрамов, А. Л. Дышко, Н. Б. Конюхова, Т. В. Левитина, В. И. Ульянова, Л. Ф. Юхно

    Рассматриваются многопараметрические самосопряженные спектральные задачи для слабо связанных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие задачи часто возникают при решении методом Фурье уравнений с частными производными. Общую теорию многопараметрических спектральных задач см., например, в [1]. Методы численного решения подобных задач, разработанные авторами, были применены, в частности, к вычислению угловых волновых эллипсоидальных функций (двупараметрическая спектральная задача). Эффективное вычисление подобных функций дало возможность провести детальное численно–аналитическое исследование явления дифракции плоской звуковой волны, падающей на тело эллипсоидальной формы, и вычисление характеристик рассеяния частиц на потенциалах, допускающих разделение переменных в эллипсоидальных системах координат. Предложен метод решения некоторых трех параметрических задач. В частности, детально исследованы собственные частоты свободных колебаний акустической среды внутри эллипсоида. Для произвольного значения n предложен и обоснован метод решения n-параметрических спектральных задач для системы nслабо связанных самосопряженных векторных дифференциальных уравнений со связанными для каждого уравнения граничными условиями.

    Основное содержание доклада – краткое изложение некоторых результатов работ [2–8].

    Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов N 99-01-00331, N 99-01-00958).

Литература

  1. Volkmer H. Multiparameter eigenvalue problems and expansions theorems. Berlin-Heidelberg:Springer, 1988.

  2. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Конюхова Н.Б., Левитина Т.В. Вычисление угловых волновых функций Ламе решением вспомогательных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. N6. С.813-830.

  3. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Конюхова Н.Б., Левитина Т.В. О численно-аналитическом исследовании задач дифракции плоской звуковой волны на идеальных вытянутых сфероидах и трехосных эллипсоидах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. N 9. С.1374 – 1400.

  4. Abramov A.A., Dyshko A.L., Konykhova N.B., Levitina T.V. On numerical solving several mathematical physics problems by separation of variables // Proc. of the Intern. Sem. "Day on diffraction-98". St. Petersburg, 1998. Р. 68-81,

  5. Levitina T.V., Brndas E.J. Angle dependent total cross sections and the optical theorem // Computers and Chemistry, 25(1). 2001. (to appear).

  6. Левитина Т.В. 0 численном решении некоторых трехпараметрических спектральных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. N 11. С. 1787-1801.

  7. Абрамов А.А., Ульянова В.И. Один метод решения самосопряженных многопараметрических спектральных задач для слабо связанных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. N 5. С. 566 – 571.

  8. Абрамов А.А., Ульянова В.И., Юхно Л.Ф. Метод решения многопараметрической спектральной задачи для некоторых систем дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. N 1.