Задание 1.2. Вычисление векторов и чисел Фробениуса-Перрона.

 

Теорема 3 (Фробениус, Перрон). Пусть ═- матрица . Тогда справедливы следующие утверждения:

1)      среди собственных чисел матрицы ═есть неотрицательные вещественные числа и наибольшему из них ═соответствует неотрицательный собственный вектор ;

2)      матрица ═неотрицательно обратима тогда и только тогда, когда ;

3)      если для некоторого числа ═и вектора ═выполнено неравенство , то ;

4)      если ═- собственное число матрицы , то .

Определение 3. Число ═называется числом Фробениуса-Перрона матрицы , а соответствующий данному числу собственный вектор ═называется вектором Фробениуса-Перрона матрицы .

 

Замечание. Теорема Фробениуса-Перрона позволяет дать оценку допустимых темпов роста ═для режима сбалансированного роста в модели (2). Действительно, для существования допустимых режимов на сбалансированном росте в модели (2), матрица , где ═должна быть продуктивна. Согласно теоремам 1 и 3 это верно, если , т.е. при темпе роста .

Определение 4. Неотрицательная квадратная матрица ═размерности ═называется разложимой, если существует непустое собственное подмножество множества индексов ═такое, что ═при .

Определение 5. Неотрицательная квадратная матрица ═размерности ═называется неразложимой, если она не является разложимой или нулевой матрицей размерности .

Теорема 4. Для неотрицательной квадратной неразложимой матрицы ═число Фробениуса-Перрона ═и вектор Фробениуса-Перрона .

Определение 6. Неразложимая матрица ═называется устойчивой, если существует номер ═такой, что .

Теорема 5 (об устойчивых матрицах). Пусть ═- неразложимая матрица и ═- число Фробениуса-Перрона матрицы . Тогда

1)      предел ═существует тогда и только тогда, когда матрица ═является устойчивой;

2)      если существует предел , то каждый столбец матрицы ═является вектором Фробениуса-Перрона матрицы , а каждая строка матрицы ═является вектором Фробениуса-Перрона матрицы .

Теорема 5 позволяет дать обоснование степенному методу вычисления максимального собственного числа и соответствующего собственного вектора неотрицательной неразложимой устойчивой матрицы при произвольном начальном приближении.

 

Задание 1.2. Требуется для неотрицательной матрицы ═размерности ═вычислить число Фробениуса-Перрона ═и вектор Фробениуса-Перрона ═с погрешностью не больше .

Степенной метод вычисления максимального собственного числа и соответствующего собственного вектора.

Пусть ═() - начальное приближение собственного вектора , номер итерации .

Рассмотрим -ю итерацию.

1. Вычислить очередное приближении для вектора Фробениуса-Перрона:

════ ═══════════════════════════════════════════════════════════ ═.

2. Вычислить очередное приближение для числа Фробениуса-Перрона:

══════════════════════════════════════════════════════════ .

3.      ═Отнормировать вектор :

═══════════════════════════════════════════════════════ .

4.      Проверить условие достижения заданной точности вычислений: . Если оно выполняется, взять ═и ═в качестве искомых собственного числа и собственного вектора. В противном случае взять в качестве ═вектор ═и перейти к очередной итерации.

 

Таблица 1.4 Матрица прямых затрат В.В. Леонтьева (СССР, 1972)

1. тяжелая промышленность
2. легкая промышленность
3. строительство
4. сельское хозяйство + лесное хозяйство

0.4339	0.0397	0.4917	0.1145
0.0185	0.3166	0.0097	0.0396
0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
0.0088	0.2586	0.0006	0.2020

 

Таблица 1.5 Матрица прямых затрат В.В. Леонтьева (вариант 2)

1. сельское, лесное и рыбное хозяйства
2. тяжелая промышленность
3. легкая промышленность
4. строительство

5. энергетика
6. транспорт и связь
7. услуги

0.1078	0.1645	0.0004	0.0012	0.0005	0.0000	0.0078
0.1156	0.2311	0.0433	0.1980	0.0035	0.0343	0.0439
0.0683	0.0980	0.4529	0.1935	0.3869	0.1435	0.0326
0.0018	0.0011	0.0012	0.0003	0.0086	0.0026	0.0183
0.0346	0.0370	0.0647	0.0192	0.1630	0.1953	0.0236
0.0376	0.0440	0.0283	0.0612	0.0248	0.1125	0.0541
0.0666	0.1246	0.1173	0.1231	0.0655	0.1431	0.1494