Элементы теории ошибок в численных экспериментах с моделями экономики
В данной главе представлены некоторые основные соображения и правила теории ошибок и приведены примеры их использования в нескольких типичных расчетах практических работ.
В общем случае результат любого измерения величины
х приводится как:
(измеренная величина x) = (наилучшая оценка x) ╠ (погрешность x)
.
Погрешность
δx (или ошибку в измерении
x) принято считать положительной величиной, поэтому
xнаил +
δx всегда
наибольшее вероятное значение, а
xнаил -
δx -
наименьшее.
Отметим несколько основных правил записи погрешностей.
Во-первых, так как величина
δx служит оценкой погрешности, ее не стоит приводить с очень большой точностью. В обычных ситуациях экспериментальные погрешности следует округлять до одной значащей цифры. Это тем более справедливо для экономических приложений, которые, как правило, не страдают большой точностью. Тем не менее, если первая цифра в погрешности
δx есть единица, то иногда сохраняют две значащих цифры.
Последняя значащая цифра в любом приводимом результате обычно должна быть того же порядка величины (находиться в той же десятичной позиции), что и погрешность.
Например, результат расчета
75.61 с погрешностью
0.4 должен быть округлен до
75.6 ╠
0.4. Если же ошибка равна
4, то тот же результат следует представить как
76 ╠
4.
Однако используемые в расчетах данные должны, как правило, содержать на одну значащую цифру больше, чем это оправдано (а при использовании компьютера, как правило, в расчете используют и большее число значащих цифр).
В том случае, если погрешность явно не приведена, последняя значащая цифра в результате указывает на нее.
Например, если некая величина задана как
0.4529, это эквивалентно записи
0.4529 ╠
0.00005. Таким образом, представление исходных данных определяет число значащих цифр, которые необходимо приводить в результате расчета наилучшей оценки, чтобы не превысить исходную точность данных, поскольку такое превышение может приводить к заблуждениям (это особенно важно при расчетах на компьютере).
Качество измерения характеризуется относительной погрешностью, которую называют также точностью:
(точность x) = (погрешность x) / |наилучшая оценка x|.
Если погрешность много меньше измеряемой величины, то точность часто указывают в процентах.
В практической работе с математическими моделями экономики погрешности проявляются в косвенных измерениях. Поскольку число значащих цифр в исходных данных определяет их точность, то расчетные формулы задают точность результата.
Легко вывести (это упражнение!) следующее правило для
расчета погрешности в суммах и разностях: если несколько величин
x1, ...,
xn измерены с погрешностями
δ1, ...,
δn, и используются для вычисления величины
q = x1 + ... + x - (xm+1 + ... + xn),
то погрешность в рассчитанной величине
q есть сумма всех исходных погрешностей
δq = δ1 + ... + δm + δm + 1 + ... +δn
Ненамного сложнее (еще одно упражнение) получить следующее правило для расчета
погрешности в произведениях и частных: если несколько величин
x1, ...,
xn с малыми погрешностями
δ1, ...,
δn и исходные величины используются для вычисления величины
q = (x1 ∙...∙ xm) / (xm + 1 ∙...∙ xn),
то точность (относительная погрешность) в рассчитанной величине
q есть сумма всех точностей (относительных погрешностей) в величинах
x1, ...,
xn:
δq / |q| = δ1 / |x1|+ ... + δm / |xm|+ δm + 1 / |xm + 1| + ... +δn / |xn|.
В случае более сложных функций для получения соответствующего правила можно использовать разложение в ряд Тейлора непосредственно. Например, если величина
x измерена с погрешностью
δx и используется для вычисления функции
q(x), то погрешность
δq равна
.
Пример 5.1.
Заданы числа
z13 = 5.3,
x3 = 26.4 с точностью до трех значащих цифр. Требуется найти частное
a13 =
z13 /
x3.
Решение:
z13 /
x3 = 0.200757576.
δa13 / |
a13| = 0.005 / 5.30 + 0.05 / 26.4 = 0.0009434 + 0.0018797 = 0.002823095. Следовательно,
δa13 = 0.000566758 ≈ 0.0006. Точность результата определяется погрешностью, так что
a13 =
z13 /
x3 = 0.2008.
Ответ. a13 = 0.2008.
Следует заметить, что в случае независимых случайных погрешностей, ошибки (в суммах и разностях) или относительные ошибки (в произведениях и частных) складывают квадратично, то есть соответствующая ошибка результата рассчитывается как корень из суммы соответствующих квадратов [6]. К независимым случайным погрешностям приводят, в частности, такие измерения, в которых в расчете используются величины, имеющие совершенно разный экономический смысл и разную размерность.