Элементы теории ошибок в численных экспериментах с моделями экономики

В данной главе представлены некоторые основные соображения и правила теории ошибок и приведены примеры их использования в нескольких типичных расчетах практических работ.

В общем случае результат любого измерения величины х приводится как:

(измеренная величина x) = (наилучшая оценка x) ╠ (погрешность x)

.
Погрешность δx (или ошибку в измерении x) принято считать положительной величиной, поэтому x_наил + δx всегда наибольшее вероятное значение, а x_наил - δx - наименьшее.
Отметим несколько основных правил записи погрешностей.
Во-первых, так как величина δx служит оценкой погрешности, ее не стоит приводить с очень большой точностью. В обычных ситуациях экспериментальные погрешности следует округлять до одной значащей цифры. Это тем более справедливо для экономических приложений, которые, как правило, не страдают большой точностью. Тем не менее, если первая цифра в погрешности δx есть единица, то иногда сохраняют две значащих цифры. Последняя значащая цифра в любом приводимом результате обычно должна быть того же порядка величины (находиться в той же десятичной позиции), что и погрешность.
Например, результат расчета 75.61 с погрешностью 0.4 должен быть округлен до 75.6 ╠ 0.4. Если же ошибка равна 4, то тот же результат следует представить как 76 ╠ 4.
Однако используемые в расчетах данные должны, как правило, содержать на одну значащую цифру больше, чем это оправдано (а при использовании компьютера, как правило, в расчете используют и большее число значащих цифр).
В том случае, если погрешность явно не приведена, последняя значащая цифра в результате указывает на нее.
Например, если некая величина задана как 0.4529, это эквивалентно записи 0.4529 ╠ 0.00005. Таким образом, представление исходных данных определяет число значащих цифр, которые необходимо приводить в результате расчета наилучшей оценки, чтобы не превысить исходную точность данных, поскольку такое превышение может приводить к заблуждениям (это особенно важно при расчетах на компьютере).
Качество измерения характеризуется относительной погрешностью, которую называют также точностью:

(точность x) = (погрешность x) / |наилучшая оценка x|.

Если погрешность много меньше измеряемой величины, то точность часто указывают в процентах.
В практической работе с математическими моделями экономики погрешности проявляются в косвенных измерениях. Поскольку число значащих цифр в исходных данных определяет их точность, то расчетные формулы задают точность результата.
Легко вывести (это упражнение!) следующее правило для расчета погрешности в суммах и разностях: если несколько величин x₁, ..., x_n измерены с погрешностями δ1, ..., δ_n, и используются для вычисления величины
q = x₁ + ... + x - (x_m+1 + ... + x_n), то погрешность в рассчитанной величине q есть сумма всех исходных погрешностей
δq = δ₁ + ... + δ_m + δ_{m + 1} + ... +δ_n
Ненамного сложнее (еще одно упражнение) получить следующее правило для расчета погрешности в произведениях и частных: если несколько величин x₁, ...,x_n с малыми погрешностями δ₁, ..., δ_n и исходные величины используются для вычисления величины q = (x₁ ∙...∙ x_m) / (x_{m + 1} ∙...∙ x_n), то точность (относительная погрешность) в рассчитанной величине q есть сумма всех точностей (относительных погрешностей) в величинах x₁, ..., x_n:
δq / |q| = δ₁ / |x₁|+ ... + δ_m / |x_m|+ δ_{m + 1} / |x_{m + 1}| + ... +δ_n / |x_n|. В случае более сложных функций для получения соответствующего правила можно использовать разложение в ряд Тейлора непосредственно. Например, если величина x измерена с погрешностью δx и используется для вычисления функции q(x), то погрешность δq равна

.

Пример 5.1.

Заданы числа z₁₃ = 5.3,   x₃ = 26.4 с точностью до трех значащих цифр. Требуется найти частное a₁₃ = z₁₃ / x₃.
Решение: z₁₃ / x₃ = 0.200757576.   δa₁₃ / |a₁₃| = 0.005 / 5.30 + 0.05 / 26.4 = 0.0009434 + 0.0018797 = 0.002823095. Следовательно, δa₁₃ = 0.000566758 ≈ 0.0006. Точность результата определяется погрешностью, так что a₁₃ = z₁₃ / x₃ = 0.2008.
Ответ. a₁₃ = 0.2008.

Следует заметить, что в случае независимых случайных погрешностей, ошибки (в суммах и разностях) или относительные ошибки (в произведениях и частных) складывают квадратично, то есть соответствующая ошибка результата рассчитывается как корень из суммы соответствующих квадратов [6]. К независимым случайным погрешностям приводят, в частности, такие измерения, в которых в расчете используются величины, имеющие совершенно разный экономический смысл и разную размерность.