2.2. Вектора и числа Фробениуса-Перрона.

Вернемся к рассмотрению простейшего динамического аналога модели Леонтьева (0.4). Как было показано ранее (пример 1.1), в модели (0.4) допустим режим сбалансированного роста экономики, если матрица (pE - A) неотрицательно обратима или (согласно теореме 2.1) продуктивна. При каких значениях параметра p ≥ 0 это верно? Для ответа на этот вопрос требует изучения задачи о собственном значении неотрицательной матрицы A ≥ 0

(0.8)

при условиях . Из курса линейной алгебры известно, что для произвольной квадратной матрицы собственные значения могут быть, вообще говоря, комплексными числами, даже в случае вещественной матрицы. Однако ситуация принципиально меняется, если все элементы матрицы являются неотрицательными.

Теорема 2.3 (теорема Фробениуса-Перрона). ПустьA ≥ 0 - матрица (n × n) . Тогда справедливы следующие утверждения:

  1. среди собственных чисел матрицы A есть неотрицательные вещественные числа и наибольшему из них λ(A) соответствует неотрицательный собственный вектор ;
  2. матрица (pE - A) неотрицательно обратима тогда и только тогда, когда p > λ(A)
  3. если для некоторого вещественного числа μ и вектора выполнено неравенство , то μ ≥ λ(A);
  4. если ω - собственное число матрицы A, то |ω| ≥ λ(A).
Определение 2.3. Число λ(A) называется числом Фробениуса-Перрона матрицы A, а соответствующий данному числу собственный вектор называется вектором Фробениуса-Перрона матрицы A .

Из теоремы Фробениуса-Перрона следует, что для существования допустимых режимов сбалансированного роста в модели (0.4) необходимо и достаточно чтобы p > λ(A) , т.е., учитывая введенные ранее обозначения, темп роста экономики s < 1/λ(A).
Таким образом, для оценки допустимых темпов роста в динамической модели Леонтьева необходимо вычислить число Фробениуса-Перрона матрицы A , т.е. решить задачу на собственные значения (0.8). Для этого можно воспользоваться итерационным методом, доказательство которого можно найти в литературе по численным методам в линейной алгебре (см. например, [3]).

Итеративную процедуру решения задачи (0.8) называют степенным методом вычисления числа и вектора Фробениуса-Перрона. Ниже приведен подробный алгоритм применения степенного метода.