Глава 2. Элементы теории неотрицательных матриц

Особенность матрицы A в модели В.В. Леонтьева состоит в том, что все элементы этой матрицы неотрицательны. Неотрицательные квадратные матрицы обладают рядом особых свойств. Изучению этих свойств посвящен специальный раздел теории матриц, основные сведения из которого приведены в данной главе. Изучение свойств неотрицательных матриц позволяет, в частности, дать ответ на поставленный в главе 1 вопрос: каковы условия существования неотрицательного решения системы уравнений (0.2) при заданном и A ≥ 0? Доказательство теорем, приведенных в данном разделе, можно найти, например, в [1, 2 ].

2.1. Критерии продуктивности неотрицательных матриц.

Определение 2.1. Матрица удовлетворяющая условию dij ≤ 0; при всех i ≠ j, называется продуктивной, если существует такой, что .

Определение 2.2. Матрица удовлетворяющая условию dij ≤ 0 при всех i ≠ j, называется прибыльной, если существует такой что .

Замечание 2.1. Для модели (0.1) D = E - A.

Теорема 2.1. Пусть матрица удовлетворяет условию dij ≤ 0 при всех i ≠ j. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

  1. существует такой, что (продуктивность);
  2. для любого существует такой, что ;
  3. последовательные главные миноры матрицы D положительны;
  4. все главные миноры матрицы D положительны;
  5. существует такой что (прибыльность);
  6. для любого существует такой, что ;
  7. последовательные главные миноры матрицы DT положительные;
  8. все главные миноры матрицы DT положительны;
  9. матрица D неотрицательно обратима, т.е. существует D-1 ≥ 0.

Теорема 2.2. Пусть A - неотрицательная квадратная матрица. Тогда

  1. Если матрица (ρE - A) неотрицательно обратима, то ρ > 0 и ряд
    (0.5)

    сходится и его сумма равна (ρE - A)-1.
  2. Если ряд (0.5) сходится и ρ > 0, то матрица (ρE - A) неотрицательно обратима.
Предположим, что матрица (E - A) в модели межотраслевого баланса (0.1), является продуктивной. Тогда согласно теореме 1.1, матрица (E - A) является неотрицательно обратимой. Пользуясь утверждением теоремы 1.2, имеем ,
(0.6)

Данный результат имеет очевидную экономическую интерпретацию. Для того, чтобы получить вектор конечного потребления , нужно затратить вектор продуктов . Затем, чтобы произвести в системе набор продуктов , придется дополнительно затратить , и т.д. Сумма вектора конечного потребления и всех векторов промежуточных затрат , , ┘ и составляет вектор валового выпуска . Соотношение (0.6) дает возможность вычислять итерационно объем валового выпуска при известном объеме конечного выпуска в модели (0.1) при условии продуктивности матрицы (E - A).
, где .
(0.7)