1.1. Статическая модель межотраслевого баланса В.В. Леонтьева.

Предположим, что экономика разбита на n чистых отраслей, каждая из которых выпускает однородный продукт. Разные отрасли выпускают разные продукты. Таким образом, в производственно-экономической системе выпускается n видов продуктов. В процессе производства своего вида продукта каждая отрасль использует продукцию отраслей 1, ..., n в качестве сырья.
Введем следующие обозначения:

• z_ij ≥ 0 - объем продукции i-й отрасли, который использует j-я отрасль в качестве сырья,
• x_j ≥ 0 - валовой выпуск j-й отрасли.

Тогда - норма затрат продукции i-й отрасли на выпуск единицы продукции j-й отрасли. Эмпирические наблюдения показали, что в случае отсутствия структурных сдвигов в рассматриваемой производственно-экономической системе и при подходящеразбиении по отраслям числа a_ij слабо зависят от времени. Числа a_ij, i = 1, ..., n носят название коэффициентов прямых затрат отрасли с номером j = 1, ..., n .
Определение 1.1. Матрица A = ||a_ij||_{i, j = 1, ..., n} ≥ 0 называется матрицей прямых затрат В.В. Леонтьева.
Пусть - вектор валовых выпусков отраслей за некоторый промежуток времени [T₀, T] . Из очевидных экономических соображений следует, что [T₀, T] .

Тогда вектор

определяет часть общего валового выпуска, израсходованного на производственные нужды. Обозначая через вектор конечных выпусков (используемый на непроизводственные цели и накопление и также, по экономическому смыслу, неотрицательный), получим следующее балансовое соотношение.

(0.1)

Соотношение (0.1) вместе с изложенной интерпретацией матрицы и векторов и называется статической моделью межотраслевого баланса В.В. Леонтьева.
Основной вопрос, возникающий при оценке необходимого объема производства в период времени [T₀, T] , ставится следующим образом: при заданном векторе конечного потребления требуется определить необходимый вектор валового выпуска, т.е. требуется решить систему

(0.2)

при условии и заданных векторе ≥ 0 и матрице Α ≥ 0. В том случае, когда неотрицательное решение системы (0.2) существует для любого неотрицательного вектора конечного потребления, говорят, что модель Леонтьева (и матрица Α) продуктивна.
Аналогично модели межотраслевого баланса можно построить модель стоимостного баланса, являющуюся двойственной к модели (0.1). С точки зрения экономической интерпретации, двойственная система характеризует баланс цен и стоимостей в системе межотраслевых поставок. Обозначим через
- вектор цен на продукцию отраслей, π = (π₁, ..., π_n) - вектор добавленных стоимостей на выпуск единицы продукции отраслей 1,..., n. По очевидным экономическим соображениям компоненты векторов и должны быть неотрицательными. Очевидно, что добавленная стоимость, приходящаяся на единицу выпуска в j-й отрасли равна

,

Записывая последнюю систему равенств в матричном виде, имеем

(0.3)

Модель стоимостного баланса (0.3) является двойственной к модели (0.1). Разрешимость двойственной системы в неотрицательных величинах цен означает прибыльность модели стоимостного баланса.