Итак, будем рассматривать задачу об оптимальной эксплуатации когорты животных. При этом учтем дополнительно к сказанному выше еще три обстоятельства.

• Кроме издержек на труд, хозяйство должно платить налог. Обычно в современной экономике налогом облагается доход, но для животноводства, как для традиционной отрасли, часто сохраняется архаичная форма обложения "с головы" по фиксированной ставке. Современные формы налогообложения на моделях изучались многократно. Интересно будет исследовать влияние фиксированного налога. Поэтому считаем, что животноводческие хозяйства платят государству фиксированную сумму s₀ с каждой головы имеющихся животных.
• Для покупки молодняка хозяйство может брать кредит. Чтобы оценить возможную роль банковской системы в развитии животноводства, будем считать, что банк позволяет хозяйству пользоваться наиболее прогрессивной системой расчетов – кредитной линией (кредитной картой). Именно, срок возврата кредита не назначается, и кредит может использоваться для проведения всех платежей. Известен только начисляющийся на текущую сумму кредита процент r(t) и лимит кредитования. Будем считать, что лимит кредитования определяется главным активом хозяйства – стоимостью имеющихся у него животных.
• Когорта может погибнуть от случайных причин. Считаем, что это событие можно описывать как случайное событие пуассоновского потока с заданной частотой Λ.

Пусть в момент t хозяйство решает, стоит ли ему покупать молодняк в количестве n(t, t). Для этого цену молодняка с учетом полученного под его покупку кредита надо сопоставить с ожидаемыми выгодами от эксплуатации этих животных с учетом платежей погашения по кредиту. Поскольку прибыль от эксплуатации z(u, t) поступит в будущем, при u>t, а расходы надо нести сейчас, будущие доходы надо привести к текущему моменту. В рыночных условиях это можно сделать, используя в качестве коэффициента дисконтирования процент по безрисковым сбережениям ρ. Обычно таковым считается процент по банковским депозитам. Прибыль поступает не бесконечно, а только до случайного момента гибели когорты T. Считая для простоты, что хозяйство нейтрально относится к риску, получаем выражение для функционала хозяйства через математическое ожидание E_T будущих доходов

где l(t, t) – кредит взятый хозяйством на покупку молодняка n(t, t). По предположению случайный момент гибели когорты T независимо от предыдущих событий имеет плотность распределeния Λ exp(-Λ T)dT, поэтому

Считаем, что в соответствии с правилами кредитной линии все расчеты хозяйства идут через остаток кредита l(u, t) (доходы из него вычитаются, а расходы к нему прибавляются). Для простоты считаем норму процента по кредиту постоянной. Тогда с учетом налоговых платежей s₀, начисления процента r и доходов от продажи молодняка

Здесь p(u), q(u), s(u) – прогнозы цен и ставок заработной платы при u > t,  k(u - t, u),  m(u - t, u),  β(u - t, u) – ожидаемые значения продуктивностей и фертильности при u > t.

Ожидаемая численность когорты в соответствии с (1) определяется уравнением

Мы предполагаем, что хозяйство не может исполнять функции кредитора, т.е.

Как уже говорилось, лимит кредитования определяется денежной оценкой наличного стада. Будем предполагать, что такой оценкой служит ликвидационная стоимость p(u) m(u-t,u) n(u,t). Если стадо погибает, то долг не возвращается. Поэтому банк не будет давать кредит на всю эту величину, а потребует, чтобы часть стада был создана на собственные средства хозяйства.

Связь величин σ и частоты гибели Λ определяется при обсуждении модели банка в следующей главе.

Может вызвать возражение предположение о том, что кредит, данный на покупку когорты, гарантируется стоимостью именно этой когорты, а не всем имуществом хозяйства. Заметим, однако, что если происходит стихийное бедствие, то гибнет не одна когорта, а все стадо и хозяйство становится банкротом, а пока бедствия не произошло, хозяйство функционирует в стационарном режиме, систематически беря кредиты на покупку новых когорт, так что общий долг хозяйства можно считать разложенным по когортам пропорционально их стоимости. Таким образом, предположение (13) о "финансовой самостоятельности" когорт, которое сильно упрощает задачу, с содержательной точки зрения не выглядит большим преувеличением.

Таким образом, экономически рациональное решение хозяйства о покупке молодняка в момент t в количестве n(t, t) должно опираться на решение следующей задачи планирования жизненного цикла когорты: найти динамику чиcленности n(u, t), объема кредитов l(u, t), скорости убоя w(u,t) ≥ 0 и извлекаемых доходов z(u, t), удовлетворяющую условиям (10) - (13), оптимальным в смысле критерия (9).