Сектор кинетической теории газов (КТГ)
Сектор КТГ был образован в ВЦ АН СССР 9 января 1965 года (первоначально сектор КТГ назывался "Лаборатория математических методов теории разреженных газов"). Его руководителем был А.А.Никольский, - выдающийся ученый в области аэродинамики и кинетической теории газов. Сотрудниками сектора стали его молодые ученики и аспиранты, пришедшие вместе с ним из Института механики АН СССР (до 1965 г. А.А.Никольский был директором Института механики): И.О.Власов, И.Н.Ларина, Е.Ф.Лимар, А.А.Пярнпуу, В.А.Рыков, Ф.Г.Черемисин, Т.И.Чуканова, Е.М.Шахов, В.П.Шидловский. Интерес к динамике разреженного газа был связан во многом с началом космических полетов, развитием новых, в том числе вакуумных технологий, а также в связи с появлением быстродействующей вычислительной техники. Первые расчеты проводились на ЭВМ "Стрела" со сравнительно слабыми вычислительными ресурсами. Существенное продвижение реализация численных методов решения задач разреженных газов получила после появления в ВЦ АН СССР ЭВМ БЭСМ-6.
Развивающаяся вычислительная техника стимулировала поиск прямых методов решения уравнения Больцмана, лежащего в основе кинетической теории и являющегося сложным нелинейным интегро-дифференциальным уравнением. Это научное направление было отмечено директором ВЦ акад. А.А.Дородницыным как одно из престижных направлений для ВЦ и для отечественной науки. Пионерские для нашей страны и одни из первых в мире расчеты уравнения Больцмана были выполнены Ф.Г.Черемисиным. Косвенную поддержку этим исследованиям, которые многим тогда казались бесперспективными, оказали опубликованные несколько ранее решения уравнения Больцмана, полученными группой Нордсика на суперкомпьютере ИЛИАК в Иллинойсе, США. Существенно, что до сих пор работы Ф.Г.Черемисина и его последователей остаются одними из самых продвинутых в мире. В 2004 г. Ф.Г.Черемисин был приглашеным докладчиком на 24-ом Международном симпозиуме по динамике разреженных газов в г. Бари, Италия с докладом "Прямое решение уравнения Больцмана". Наиболее слабым звеном отечественных ЭВМ в то время была малая оперативная память. В первом варианте метода Ф.Г.Черемисина этот недостаток преодолевался ценой значительного увеличения объема вычислений и позволял получить 2-3 последовательных приближения.
Е.М.Шаховым было предложено другое направление исследований, связанное с развитием и использованием кинетических уравнений с упрощенным интегралом столкновений - модельным интегралом. Это позволило решить ряд достаточно сложных аэродинамических задач обтекания тел. Была построена процедура последовательности уточняющих моделей. Первое приближение, так называемое S-модельное уравнение обеспечивает, в отличие от известной модели BGK, правильное число Прандтля. Модель Шахова получила признание в нашей стране и за рубежом и не потеряла актуальности и в настоящее время.
Начиная с работ А.А.Никольского, важной частью исследований, существенно дополнявшим численные методы, был поиск аналитических закономерностей, точных частных решений и полуаналитических подходов. В.И.Рыков нашел точное решение простейшей изотропной задачи, которая могла выступать в качестве тестовой, и предложил новое модельное уравнение для одномерных течений. Для задач обтекания летательных аппаратов двухатомным газом (воздухом) им было построено модельное кинетическое уравнение, учитывающее вращательные степени свободы молекул. В дальнейшем В.И.Рыков (частично совместно с И.Н.Лариной) усовершенствовал уравнения кинетических процессов для молекул с внутренними степенями свободы. Одно из основных направлений исследований В.А.Рыкова - развитие численных методов и решение задач разреженного газа с помощью модельных уравнений. С помощью модельного кинетического уравнения BGK И.Н. Лариной впервые были решены весьма сложные для того времени стационарные задачи обтекания сферы одноатомным газом при умеренных и больших числах Кнудсена и различных числах Маха.
В подходе прямого решения уравнения Больцмана, разрабатываемом Е.Ф. Лимаром, интегралы столкновений аппроксимировались полиномами. Здесь сказалось определенное воздействие метода Шахова, используемого при построении последовательности приближающих модельных уравнений. При вычислении интеграла столкновений Е.Ф. Лимаром была отмечена важность свойства кинетической (микроскопической) консервативности. Он получил несколько решений уравнения Больцмана вплоть до двумерных задач о поперечном обтекании пластины.
В 1967 г. произошли организационные изменения - заведующим был назначен О.С.Рыжов и сектор был переименован в "Лабораторию теории процессов переноса". В 1989 г. лаборатория была разделена на два сектора КТГ и АМГД, которые вошли в состав Отдела механики. В рамках Лаборатории теории процессов переноса проходили плодотворные дискуссии специалистов в различных областях газовой динамики, кинетической теории, прикладной математики, занимающихся численными и аналитическими методами. Сотрудники одновременно участвовали в работе по нескольким направлениям исследований. В.И.Жук был аспирантом Е.М.Шахова, кроме этого, выполнил ряд работ по изучению течений разреженного газа в сотрудничестве с О.С.Рыжовым и Е.Д.Терентьевым и затем переориентировался на исследование проблемы устойчивости в газовой динамике. Сейчас В.И.Жук является заведующим Сектором асимптотических методов в газовой динамике Отдела механики сплошных сред. Нельзя не упомянуть и других сотрудников: В.Н.Диесперова, А.М.Бишаева, Ю.И.Ромашкевича, М.И.Градобоева, И.В.Савенкова, А.И.Державину, лаборантов Н.К.Синицыну и Е.А.Филиппину, принимавших участие в работе лаборатории в разные годы.
А.А.Пярнпуу и В.П.Шидловский работали в Лаборатории теории процессов переноса до середины 70-х годов (затем они перешли в лабораторию акад О.М.Белоцерковского). Одно из направлений исследований А.А.Пярнпуу - изучение взаимодействия газов с поверхностью, являющееся важным аспектом кинетической теории газов. Определение физически обоснованных граничных условий на границе с твердым телом и до сих пор является еще во многом неисследованной проблемой. В то время эти работы [2], были одними из первых в этой области. Научные интересы В.П.Шидловского были связаны с различными задачами газовой динамики и кинетической теории [3].
С.П.Попов стал сотрудником Лаборатории теории процессов переноса после окончания аспирантуры ВЦ АН СССР в 1972 г. Его исследования чрезвычайно многообразны. Им были исследованы газодинамические задачи о движении газа с учетом вязкости и теплопроводности под действием сходящихся поршней (совместно с В.П.Пархоменко и А.А.Махмудовым), изучены процессы обтекания при движении в атмосфере метеорных тел с гиперзвуковыми скоростями в режиме интенсивного лучистого теплообмена, установлена структура дальнего следа, определены характеристики волн цунами, вызванных падением астероидов и комет. С.П.Попов принимал участие в расчетах двумерных струйных течений газа в сложных геометрических областях, а также течений несжимаемой жидкости между двумя сферами. Совместно с сотрудниками Спецсектора Института Физики Земли АН СССР он участвовал в работах по изучению процесса испарения с поверхности твердого тела под действием излучения оптического квантового генератора. В соавторстве с В.И.Жуком опубликовал ряд работ, посвященных процессам развития длинноволновых возмущений в пограничном слое с самоиндуцированным давлением. С 1988 С.П. Попов занимался разработкой численных методов решения солитоносодержаших уравнений гидродинамического типа, которые были им применены для исследования уравнений Кортевега-де Фриза, Бенджамина-Оно, Кадомцева-Петвиашвили, Лидке-Спачека, Богоявленского-Вольтерра и др. (по этой тематике им была защищена докторская диссертация). В последнее время совместно с Ф.Г. Черемисиным он проводил исследования различных течений газа на основе схем, сочетающих численную аппроксимацию уравнений Больцмана и Навье-Стокса.
В 70-х, 80-х годах развивались теоретические принципы построения численных схем кинетической теории, расширялся класс решаемых задач. Ф.Г.Черемисиным были предприняты попытки решения двумерных задач. Сама демонстрация возможности получения таких решений имела большое значение, но точность оказалась невысокой. Важным шагом в повышения надежности решений явился предложенный В.В.Аристовым и Ф.Г.Черемисиным консервативный метод расщепления решения уравнения Больцмана (В.В.Аристов был аспирантом Е.М.Шахова и Ф.Г.Черемисина, а с 1977 г. стал сотрудником лаборатории). Консервативная коррекция решения перераспределяла ошибку вычислений (в случае смеси газов перераспределение проводилось и между компонентами) так, чтобы обепечить сохранение массы, импульса и энергии. При этом ошибка, вносимая процедурой коррекции, не превышала аппрокcимационной погрешности схемы. С помощью этого метода было решено большое число задач для однокомпонентного газа и для смеси газов [4]. Надежные решения, полученные для одномерных классических задач о структуре ударной волны и о теплопередаче опережали зарубежные аналоги.
Были сформулированы две концепции консервативности для кинетических уравнений: гидродинамической (макроскопической) и кинетической (микроскопической). В гидродинамической концепции разностная схема строится, исходя из аппроксимации первых пяти моментных уравнений, следующих из уравнения Больцмана. Проще всего такой подход реализуется в консервативном методе расщепления. Кинетическая концепция требует обеспечения выполнения законов сохранения непосредственно для интеграла столкновений, где фигурируют функции распределения только одного временного слоя (одной итерации). Такой подход, по сути дела, заложен в методах статистического моделирования и рассматривался Е.Ф.Лимаром и в последние годы Ф.Г.Черемисиным. Предложенный Ф.Г.Черемисиным метод позволил построить эффективные вычислительные алгоритмы для моделирования течений разреженного газа в широком диапазоне физических параметров, для любых молекулярных потенциалов и задач различной размерности. Обе концепции имеют свои достоинства и недостатки. Микроскопическая консервативность отражает законы сохранения на дискретном уровне при столкновениях частиц, не внося дополнительных ошибок, как при коррекции. Существенным преимуществом гидродинамической консервативности является возможность использования неявных схем, что особенно важно при малых числах Кнудсена, когда система уравнений, решаемых с использованием процедуры дискретных скоростей, становится жесткой.
В.В.Аристовым был предложен новый метод решения уравнения Больцмана, где для кусочно-постоянной аппроксимации в пространстве скоростей удается провести точное интегрирование по углам столкновения в операторе столкновений, что позволило построить простую аппроксимацию интегралов столкновений; консервативность в данном подходе обеспечивалась упомянутой выше коррекцией.
Консервативный метод расщепления естественно привел к построению в начале 80-х годов асимптотических кинетических схем для аппроксимации гидродинамических уравнений. Схемы В.В.Аристова и Ф.Г.Черемисина приближают уравнения Эйлера: разлет + максвеллизация или уравнения Навье-Стокса: разлет + трансформация в приближенную функцию распределения по методу Чепмена-Энскога (как оказалось, схемы для уравнения Эйлера фактически совпали с аналогичными схемами, разрабатываемыми независимо в различных странах, схемы для уравнений Навье-Стокса оказались первыми кинетическими схемами такого рода). В последние годы интерес к кинетическим методам существенно вырос, в частности, из-за возможности ставить реалистические кинетические граничные условия. При этом можно различать схемы собственно для функции распределения и для макроскопических параметров (кинетически-согласованные схемы).
Проблема перехода от разреженного газа к сплошной среде в рамках кинетического подхода чрезвычайно важна. Основная идея метода, предложенного В.А. Рыковым на основе модельных уравнений, состояла в использовании уравнений сохранения, замкнутых при помощи итерационной интегральной формы кинетических модельных уравнений. В.А. Рыковым совместно с А.М. Бишаевым и Е.Н. Деминой были развиты численные методы решения стационарных задач разреженного газа во всем диапазоне чисел Кнудсена.
Одним из возможных описаний течений, близких к течению сплошной среды, является использование различных уравнений в разных областях течения. Метод совместного решения уравнений Больцмана и Навье-Стокса, разработанный С.П.Поповым и Ф.Г.Черемисиным, дал существенный выигрыш во времени счета по сравнению с и решением уравнения Больцмана во всей области течения и расширило область применения уравнений Навье-Стокса за счет правильной постановки граничных условий на границе твердого тела, где может быть сильная неравновесность газа.
Е.М.Шаховым и В.В.Аристовым были изучены течения при больших числах Маха. В случае предельно-малой температуры функция распределения рассматривалась как дельта-функция, что характерно для сильных выбросов газа, молекулярных пучков и т.д. Весьма интересным является появление в таких задачах решений типа бегущих волн.
В.И.Рыковым и И.Н.Лариной были разработаны численные итерационные методы для стационарных задач обтекания тел потоком как одноатомного, так и двухатомного газов. Ими построены новые граничные условия для двухатомного газа, взаимодействующего с поверхностью твердого тела, сформулированы законы подобия гиперзвуковых течений разреженного газа. В рамках проекта "Буран" было рассчитано тепловое взаимодействие летательного аппарата с гиперзвуковым потоком двухатомного газа.
В.А. Рыковым построено кинетическое уравнение Больцмана для химически реагирующего газа. На его основе совместно с В.А. Мацуком развито обобщение метода Чепмена-Энскога и дан вывод уравнений сплошной среды для смеси химически реагирующих газов. Совместно с А.М. Бишаевым определены вариационные принципы Онзагера для линейного уравнения Больцмана. Получены законы сохранения, которые управляют изменением среднего радиуса облака газа при его разлете в пустоту.
Для моделирования реальных газов необходимо было развить методы решения обобщенных кинетических уравнений, учитывающих переход внутренней энергии в энергию поступательного движения. Таким уравнением является уравнение Ванг Чанг-Уленбека, где рассмотрение различных квантовых уровней позволяет получить систему кинетических уравнений, как в случае смеси газов. Это уравнение сложнее уравнения Больцмана, но его возможно решить на современных компьютерах. Метод решения уравнения Ванг Чанг - Уленбека, обобщающий консервативный метод решения уравнения Больцмана, впервые был предложен Ф.Г.Черемисиным.
В результате многолетней работы Е.М.Шаховым и его последователями был существенно расширен класс задач, решаемых на основе S-модельного уравнения, была повышена точность и изучены новые возможности решения, особенно для околосплошносредных режимов течения. Е.М.Шаховым был разработан консервативный конечно-разностный метод второго порядка точности, изучены нестационарные течения газа, вызванные испарением с поверхности плоской пластины, кругового цилиндра и сферы при различных значениях коэффициента аккомодации, исследованы внутренние течения в каналах и трубах, рассмотрен вопрос о пределах применимости одномерной теории в течениях типа Пуазейля.
На основе метода прямого решения уравнения Больцмана в конце 80-х, в начале 90-х годов были получены решения двумерных задач, которые хорошо согласовывались с экспериментальными данными. Например, было изучено отражение ударной волны от клина и выяснены условия нерегулярного (маховского) отражения. Исследованы задачи о течениях в элементах криовакуумной техники с граничными условиями, моделирующими конденсацию и испарение [4]. Были получены первые решения трехмерных задач. В это время появились отечественные экспериментальные данные по структуре неустойчивых недорасширенных струй и в Секторе было начато изучение задач о свободных струях. Решение этих задач облегчается ввиду отсутствия для основного пространства течения граничных условий на твердой стенке. Для таких задач была изучена неустойчивость течений при малых числах Кнудсена.
В конце 80-х годов В.В.Аристов высказал гипотезу о возможности описания перехода к неустойчивости и турбулентности в газе с помощью уравнение Больцмана. Предполагается, что неустойчивые нестационарные решения могут существенно отклоняться от равновесия, что обусловливает интенсивный перенос импульса и энергии, характерный для турбулентных течений. В середине 90-х годов были получены первые неустойчивые решения уравнения Больцмана для трехмерных струйных течений в закритическом режиме с турбулентными пульсациями. По характерной частоте и масштабу амплитуды пульсаций расчеты согласовывались с экспериментом. Был выявлен механизм неустойчивости, связанный с потерей осесимметричного характера течения и появления продольных вихревых структур типа Тейлора-Гертлера. Проводилась проверка того, что данные решения не являются следствием численной неустойчивости. Однако эта сложная проблема требует дальнейшего всестороннего исследования.
Такие задачи оказались актуальными, поскольку в 90-х годах изучение неустойчивости было начато на основе методов статистического моделирования и позже на основе модельных кинетических уравнений. С уменьшением числа Кнудсена стационарное течение газа около тела теряет устойчивость, и обтекание происходит в нестационарном режиме. В.А.Рыковым и И.Н.Лариной были разработаны методы расчета нестационарных течений газа при малых числах Кнудсена. Эти методы основаны на использовании как модельных кинетических уравнений, так и линеаризованного уравнения Больцмана. В последнее десятилетие этими методами решены задачи с потерей устойчивости потока и образованием вторичных вихревых течений.
В 80-90-е годы В.В.Аристовым были поставлены задачи о неоднородной релаксации со специфичным кинетическим описанием неравновесных нелинейных процессов. В простейшей модели открытой системы неоднородная неравновесная проточная структура на масштабе длины свободного пробега поддерживается за счет задания неравновесных граничных условий. В случае одноатомного газа была выявлена (аналитически и численно) интересная закономерность - потоки тепла имеют тот же знак, что и градиент температуры. Такой же аномальный характер имеет соотношение между компонентами тензора неравновесных напряжений и градиентами скорости. В случае экспериментального подтверждения откроется возможность интересных приложений.
В.В.Аристовым, И.Г.Мамедовой, С.А.Забелоком и А.А.Фроловой были предложены алгоритмы параллельных вычислений по схеме прямого решения уравнения Больцмана (с использованием изначальной однородности используемых схем) по физическому или скоростному пространству.
Упомянем также работы, прямо не относящихся к тематике Сектора, но имеющие черты, характерные для кинетико-статистического метода. Ф.Г.Черемисиным было получено решение уравнений Смолуховского-Эйнштейна для дисперсных сред, где аналогично решению уравнения Больцмана рассчитывался процесс коагуляции водяных капель в дождевом облаке и были получены хорошо согласующиеся с экспериментом результаты. Можно также отметить цикл работ В.В.Аристова по построению статистических моделей пространства-времени.
В целом работы сотрудников Сектора кинетической теории газов получили признание в нашей стране и за рубежом. Методы и отдельные результаты помимо нашей страны использовались в Германии, Италии, США, Польше, Японии, Китае и в других странах. В последние годы сотрудники Сектора вместе с коллегами из США участвуют в совместном проекте по разработке Единого кинетического метода решения уравнения Больцмана на основе развитых в Секторе методов.
Список монографий сектора КТГ
1. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. М.: Наука, 1974, 208с.
2. Пярнпуу А.А. Взаимодействие молекул газа с поверхностью. М.: Наука, 1974, 192с.
3. Шидловский В.П. Введение в динамику разреженных газов. М.: Наука, 1965, 218с.
4. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Прямое численное решение кинетического уравнения Больцмана. М.: ВЦ РАН, 1992, 192с.
5. Aristov V.V. Direct methods for solving the Boltzmann equation and study of nonequilibrium flows. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 2001. 312 p.
Более подробную информацию о секторе КТГ, о сотрудниках и их работах можно получить на сайте ВЦ РАН.