ОТДЕЛ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А.А. Белолипецкий

(Гипертекстовый выпуск одноимённой статьи из книги

«50 лет ВЦ РАН: История, люди, достижения».
М.: ВЦ РАН, 2005 г.
ISBN 5-201-09837-1. С. 285-293)

Оглавление

 

 

1

Предисловие

 

 

2

Математическое моделирование технологических процессов производ­ства и контроля топливных мишеней

 

 

3

Асимптотические методы исследования эволюции диссипативных структур в уравнениях реакции-диффузии и длинных волн

 

 

4

Исследование внутренних волн в стратифицированных средах

 

 

5

Моделирование турбулентного потока сжимаемого газа с ударными волнами

 

 

6

Моделирование газодинамических эффектов при воздействии СВЧ-энергии на сверхзвуковое обтекание тел

 

 

7

Аппарат обобщённых характеристик для расчёта разрывных решений уравнений газовой динамики

 

 

8

Методы решения обратных задач математической физики, возникающих при восстановлении эмпирической информации о свойствах, структуре и эволюции астрофизических объектов

 

 

9

Разработка эффективных топологических алгоритмов построения изоконтуров

 

 

 

Литература

 

 

 

В 1989 г. для математического обеспечения решения ряда оборонных и народнохозяйственных задач, поставленных перед Министерством радио­про­мышленности СССР, в ВЦ АН СССР был создан отдел математического моделирования технических систем во главе с д.ф.-м.н. А.А. Белолипецким. Это был один из четырёх отделов, вошедших в отделение систем и решений, возглавляемое в тот момент членом-корреспондентом АН СССР П.С. Краснощёковым. Главный вопрос, который стоял перед отделом и требовал аргументированного ответа, заключался в следующем. Способны или нет СССР и США создать глубокоэшелонированную систему противо­ракетной обороны. Для работы в отделе были приглашены сотрудники из других институтов, участвующие в разработке поражающих космических аппаратов, систем обнаружения наземных и космических объектов, пучкового и других видов оружия. Понадобилось три года, чтобы понять, что ни одно из современных государств не способно в ближайшие десятилетия справиться с тем множеством научных и технических задач, которые встают при решении этой проблемы. К такому выводу пришли многие научные коллективы, и это могло отчасти успокоить новое руководство новой страны, образовавшейся на обломках СССР, поскольку последнее не могло решить ни одной созидательной задачи, ограничиваясь лишь разрушительными. После 1992 г. стало ясно, что цели, поставленные ранее перед отделом, себя изжили. Часть сотрудников покинула стены ВЦ РАН, а оставшиеся посвятили себя решению теоретических вопросов, возникавших при постановке прежних проблем в рамках СОИ и новых, финансируемых различными фондами и центрами. Ограничимся описанием некоторых из них, исследованных в последнее десятилетие.

Математическое моделирование технологических процессов производства и контроля топливных мишеней

С 1997 г. отдел участвовал в решении ряда задач математического модели­рования технологических процессов производства лазерных мишеней. Это одно из направлений исследований в общей проблеме управляемого термоядер­ного синтеза.

Управляемый термоядерный синтез с инерциальным удержанием, или ИТС — инерциальный термоядерный синтез, основан на очень быстром доведении сверхплотного ядерного топлива до термоядерных температур. Контейнер, содержащий ядерное топливо (как правило, это дейтерий-тритиевая смесь), называется мишенью. Исследования показывают, что абляционное сжатие сферически или цилиндрически симметричной топливной мишени для формирования центра горения является энергетически оптимальным процессом. Для этого мишень симметрично облучают со всех сторон лазерным излучением или иными видами излучения (рентгеновское, ионные и электронные пучки). При этом энергия излучения поглощается во внешней абляционной оболочке мишени, аблятор испаряется, ионизируется и разлетается со скоростью порядка 100 км/с, создавая реактивный импульс давления. Этот импульс сжимает неиспарившееся топливо, которое в центре мишени достигает необходимой плотности и температуры, что позволяет зажечь D-T термоядерную реакцию. Образующиеся в результате её протоны с энергией 3,52 Мэв теряют её во внутреннем слое холодного топлива и нагревают его. Образуется фронт термоядерного горения, который быстро распространяется в слое холодного топлива.

Теоретические расчёты показывают, что для достижения условия breakeven (при котором энергия выхода в реакции термоядерного синтеза не меньше вложенной) необходимо существенное сжатие и нагрев вещества мишени до температур 10 Кэв. Для этого можно использовать одну из трёх схем облучения топливной мишени. Это прямое облучение, прямое зажигание, или быстрый поджиг, и непрямое рентгеновское облучение. Хотя структура мишени и её физические характеристики зависят от схемы облучения, однако неизменной остаётся одна черта — мишень должна представлять собой сферическую оболочку с твёрдым слоем D-T топлива внутри неё.

Эта нехитрая, на первый взгляд, конструкция оказалась достаточно сложной при её технической реализации. Первая проблема состоит в доставке топлива внутрь многослойной полистироловой оболочки мишени без нарушения целостности последней. Одно из её решений заключается в том, что оболочка помещается в контейнер с D-T газообразной смесью, находящейся под давлением. В результате газ проникает через стенку мишени, постепенно заполняя её, давление его внутри мишени повышается, вместе с этим следует повышать и внешнее давление, но так, чтобы не разрушить оболочку. Поскольку в оптимальном по быстродействию режиме разность внешнего и внутреннего давлений не должна превышать критического значения, при котором может разрушиться оболочка, необходимо с высокой степенью точности определять давление газа внутри мишени, измерить которое невозможно. При этом внутреннее давление может достигать от 300 до 1000 атм.

Было необходимо разработать адекватную математическую модель заполнения газопроницаемых оболочек до высоких давлений [1-3], когда состояние газа описывается уравнением Ван-дер Ваальса. Теоретическим ядром такой модели является постановка и решение нелинейной краевой задачи для сингулярно возмущённой системы уравнений параболического типа. Решение было получено в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра. Результаты модельных расчётов были в дальнейшем использованы при конструировании системы заполнения оболочек в лаборатории термоядерных мишеней нейтронно-физического отдела ФИАН им. П.Н. Лебедева.

После заполнения газом мишень помещается в криостат, где охлаждается до температур фазовых переходов, в результате которых газ оседает на внутренней стенке мишени в виде твёрдого слоя. Поскольку к однородности, шероховатости и разнотолщинности этого слоя предъявляются высокие технологические требования, процесс охлаждения должен проходить так, чтобы эти требования выполнялись. Для этого в отделе был предложен ряд моделей остывания и кристаллизации газа на стенке мишени [4-6]. Расчёты на них позволили определить конструктивные параметры криостатов, разработанных в вышеназванной лаборатории ФИАН.

Контроль качества, или характеризация, мишени представляет ещё один важный этап в технологической цепи её производства. Для этого мишень просвечивают излучением, коэффициенты преломления и поглощения которого зависят или не зависят от оптической плотности среды, и по теневым изображениям вычисляют нужные физические и геометрические параметры оболочки и топлива.

В отделе разрабатывались два подхода к решению этой задачи. Первый базировался на методах прямолинейной томографии. Предпола­галось наличие источника рентгеновского излучения и обработка большого массива теневых картинок. Он не получил дальнейшего развития из-за дороговизны рентгеновского источника и требуемой системы сканирования, но главным образом из-за неприемлемого времени обработки изображений.

Второй подход, названный пороговым алгоритмом, ограничивается анализом небольшого числа изображений мишени при облучении её длинноволновым источником излучения [7, 8]. Он основан на сравнении распре­де­ления освещён­нос­ти различных участков теневой картинки с неким эталонным. Если хотя бы для одного участка освещённость выходит за теоретически вычисленные пороги, мишень бракуется. На предварительном этапе необходимо вычислить эти пороги, то есть решить большую серию задач математического программирования.

В реальном времени требуется лишь проводить сравнение полученного изображения с эталонным, что позволяет ускорить процесс характеризации по сравнению с томографическим методом на три порядка. Ценою за это ускорение является потеря информации об объёмной структуре топливного слоя, однако существенный выигрыш во времени компенсирует этот недостаток.

В последнее время задачи контроля качества топливного слоя включают в себя и знание пространственного распределения концентрации D-T смеси, степень аморфности её и другие вопросы. Один из подходов к этому кругу проблем видится в исследовании механизмов возникновения диссипативных структур в физически однородных средах.

Асимптотические методы исследования эволюции диссипативных структур в уравнениях реакции-диффузии и длинных волн

С середины 80-х гг. A.M. Тер-Крикоровым и А.А. Белолипецким изучалось поведение решений полулинейных уравнений параболического типа в окрестности точек простых бифуркаций. Интерес к этим задачам возник под влиянием исследований И. Пригожина и его брюссельской школы по неравновесной термодинамике, синергетике, к ним же примыкали уравнения реакции-диффузии из химической кинетики, математической биологии и др.

Пространственно однородные решения этих уравнений теряли устойчивость, и возникали неустойчивые пространственно неоднородные решения, или диссипативные структуры. Находились условия, при выполнении которых стационарное и однородное по пространству решение теряет устойчивость. Строились решения, реализующие переход от такого неустойчивого решения к некоторому устойчивому, стационарному, но неоднородному по простран­ству решению.

Такие решения перехода были названы фундаментальными. Оказалось, что фундаментальное решение играет роль аттрактора. Если начальные возмущения расположены в определённой области, то решение задачи Коши асимптотически ведёт себя как некоторое фундаментальное решение.

Основной аппарат был разработан сначала для абстрактного нелинейного параболического уравнения [9], а затем применён к системе уравнений реакции-диффузии [10-12]. Были найдены условия, при выполнении которых нахождение подобных решений для уравнений реакции-диффузии сводится к соответствующей проблеме для абстрактного параболи­ческого уравнения [13]. В 2003 г. была выполнена итоговая работа по исследованию асимптотических решений типа длинных волн для одного класса граничных задач математической физики [14].

Исследование внутренних волн в стратифицированных средах

Исследование внутренних волн в стратифицированных средах представ­ляет значительный научный и практический интерес, поскольку естествен­ными примерами подобных сред являются мировой океан и земная атмо­сфера. В работах [15-18] в линейной постановке исследовались стационарные задачи обтекания в поле силы тяжести стратифицированным потоком идеальной несжимаемой жидкости различных препятствий, находящихся как внутри жидкости, так и на горизонтальном дне. Рассматривался общий закон стратификации, когда жидкость состоит из слоёв, внутри которых плотность изменяется непрерывно и терпит разрывы первого рода на границах слоёв. Исследовалось асимптотическое поведение внутренних волн на больших расстояниях от источников возмущений.

Исследования [18-23] были посвящены нестационарным проблемам внутренних волн в стратифицированных средах. За счёт специфического выбора эйлерово-лагранжевых переменных удалось свести общую гидродинамическую задачу к смешанной задаче для системы двух нелинейных уравнений с граничными условиями на известных границах. Известно, что в потенциальном поле в стратифицированной среде сохраняется только проекция вектора вихря скорости на нормаль к поверхности постоянной плотности (для несжимаемой жидкости) или постоянной энтропии (для идеального газа). Эта проекция называется потенциальным вихрем. Была решена задача о внутренних волнах, возникающих в первоначально покоящейся среде от возникшего в начальный момент потенциального вихря. В чисто линейной постановке вертикальных колебаний не возникает, но в предположении, что квадрат потенциального вихря и вертикальные смещения частиц имеют один порядок, потенциальный вихрь вызывает вертикальные колебания с возрастающей амплитудой. Было показано, что наличие распределённых источников на оси вихря усиливает интенсивность потенциального вихря. Этот факт находится в соответствии с наблюдаемыми в природе явлениями. Зарождающиеся интенсивные атмосферные вихри сопровождаются интенсивными осадками в виде дождя, града и снега.

Цикл исследований [24-31] связан с построением фундаментального решения для уравнения внутренних волн с коэффициентами, терпящими разрывы на некоторых горизонтальных плоскостях. Интерес к подобной проблеме связан со структурой реальной атмосферы. Известно, что есть сравнительно узкие атмосферные слои, в которых частота Брента-Вяйсяля, являющаяся важной физической константой, резко возрастает, оставаясь вне этих слоёв практически постоянной. Но именно эти слои играют роль волноводов, и поэтому исследование колебаний в этих слоях, возникающих от точечного источника, представляют практический интерес. Изучались математические модели двухслойной и трёхслойной атмосферы. Решения были представлены в виде быстро сходящихся рядов. Показано, что только конечное число членов ряда даёт существенный вклад в асимптотическое поведение решений на больших временах.

Моделирование турбулентного потока сжимаемого газа с ударными волнами

Моделирование турбулентного потока сжимаемого газа с ударными волнами тесно связано с задачами о воздействии ударной волны на газодинамические флуктуации. В последние годы увеличивается число публикаций, посвящённых исследованию взаимодействия ударных волн с турбулентностью (см., например, [32-34]). Однако в этой области остаётся много нерешённых вопросов в связи с тем, что сама сжимаемая турбулентность является недостаточно изученной. Моделирование основано на синтезе разностных схем повышенной точности для уравнений Эйлера и статистических методов [35-39]. Генерация турбулентных пульсаций произво­дится с помощью прямого расчёта стохастических полей параметров газа с различными начальными условиями, характеризующимися случайными амплитудами параметров. Проводится усреднение по расчётам с различными начальными пакетами параметров со случайными амплитудами. Разработана пространственная модель сжимаемой турбулентности [39], которая является обобщением подхода, принятого в [35-38], на двумерный случай. Для газодинамических расчётов используется оригинальный двумерный аналог разностной схемы на минимальном шаблоне второго порядка точности. Проведены численные исследования взаимодействия однородной изотропной турбулентности с первоначально плоской ударной волной. Для различных типов турбулентности получены новые данные о поведении коэффициентов усиления ударной волной флуктуаций термодинамических параметров газа, завихрённости, а также кинетической энергии турбулентных пульсаций. Иссле­до­ваны коэффициенты корреляции. Проведено численное исследо­ва­ние зависимости статистических характеристик различных типов турбулент­ности от коэффициента корреляции флуктуаций плотности и продольной скорости газа при взаимодействии с ударной волной. Для флуктуаций плотности получены корреляционные и спектральные функции. Исследования проводились для чисел Маха ударной волны =< 2 и параметра возмущения, лежащего в пределах 0,1-0,3. Результаты численных расчётов согласуются с экспериментальными данными по коэффициенту усиления пульсаций плотности и виду корреляционной функции [40]. Исследовалось влияние флуктуаций параметров газа на затухание N-волны [38]. Под N-волной понимается квазиустойчивая волновая структура, состоящая из двух ударных волн и волны разрежения. Получены новые количественные данные о затухании интенсивности N-волны после прохождения области турбулентных пульсаций.

Проведены численные расчёты взаимодействия первоначально плоской ударной волны с вихревыми структурами для режимов взаимодействия, при которых происходит разрушение отдельных вихрей [41]. Такая структурная перестройка поля турбулентных пульсаций может являться причиной регистрируемого в экспериментах существенного изменения линейного масштаба турбулентности при переходе через фронт ударной волны.

На основе разработанной модели было показано, что турбулентное возмущение в сверхзвуковом потоке может существенно воздействовать на аэродинамические свойства тел, а также порождать серию акустических волн вблизи тела. Таким образом, предложенная модель сжимаемой турбулент­ности может быть использована для изучения воздействия турбулент­ности на режимы сверхзвукового обтекания тел.

Моделирование газодинамических эффектов при воздействии СВЧ-энергии на сверхзвуковое обтекание тел

Эти работы ведутся совместно с Институтом высоких температур РАН с 2001 г. Идея управления сверх- и гиперзвуковыми аппаратами посредством вклада энер­гии в набегающий поток привлекает внимание исследователей уже на протяжении полутора десятков лет и рассматривается в настоящее время как весьма перспективная [42-48]. Энергия вкладывается в заданную область потока, например, электрическим разрядом, приводя затем к изменению аэродинами­чес­ких характеристик тела.

Систематическое исследование воздействия на режим сверхзвукового обтекания затупленного тела тонкого разреженного канала проводится в работах [42, 43]. Выявлено существенное воздействие, оказываемое модифицированным потоком на лобовое сопротивление затупленных тел. К этой проблематике тесно примыкают работы по исследованию взаимодей­ствия ударной волны с бесконечной высокотемпературной нитью (см., например, [45]). К настоящему времени количество экспериментальных и теоретических работ в данной области непрерывно растёт.

Моделируются газодинамические последствия наличия в сверхзвуковом потоке, натекающем на тело, протяжённого по пространству источника энергии в виде канала с пониженной плотностью и постоянным давлением, равным давлению в невозмущённом потоке. Такой канал может быть образован, например, в результате нагрева газа с помощью инжекции в поток СВЧ-энергии (СВЧ-разряда). Результаты расчётов согласуются с экспериментальными данными исследования взаимодействия СВЧ-разряда со сверхзвуковыми моделями по динамике отхода головной ударной волны и эволюции давления в точке торможения [46-50]. Используются оригинальные консервативные разностные схемы второго порядка точности, включая различные модификации схемы на минимальном шаблоне [51]. Построение методов основано на идее повышения порядка разностных схем [52]. Схемы дополнены методами выделения ударных волн и контактных разрывов, а также недиссипативными методиками постановки граничных условий. Рассматривалось обтекание затупленных и заострённых тел. Исследовалась также ситуация, когда канал постоянно присутствует в потоке, т.е. имеет бесконечную длину. Получены новые данные об изменении структуры течения, отхода головной ударной волны, а также сил сопротивления поверхностей тел в ситуациях отошедшей и присоединённой головной ударной волны. Показана возможность существенного уменьшения сил сопротивления поверхностей тел за счёт образования вихря в области между головной ударной волной и телом. При наличии в потоке бесконечного тонкого разреженного канала рассматривается установление стационарных режимов обтекания тел и исследуется картина течения в стационарных режимах.

Полученные эффекты могут найти применение для изменения характеристик обтекаемого тела в целях совершенствования процесса управления летатель­ными аппаратами.

Аппарат обобщённых характеристик для расчёта разрывных решений уравнений газовой динамики

В секторе, руководимом доктором физ.-матем. наук В.Г. Грудницким, был проведён анализ численных методов решения гиперболических уравнений схемами высокого порядка аппроксимации, полученными алгоритмом Ричардсона и аналогичными приёмами [53]. Было показано, что на больших временах эти подходы не повышают точности решения, то есть фактически не являются схемами высокого порядка. Возможно эта работа, а также доклад, сделанный на первой конференции Бабенко в Бендерах, наряду с другими факторами способствовали тому, что бурный интерес к этим методам быстро угас. Разработаны и применяются в большом количестве прикладные схемы второго порядка аппроксимации на минимальном шаблоне [54]. Эти схемы, в отличие от большинства схем данного класса, не требуют применения сложных процедур сглаживания и значительных перестроений шаблона вблизи границ. Предложен и интенсивно разрабатывается аппарат обобщённых характеристик [55]. С его помощью впервые были получены достаточные условия устойчивости для расчёта разрывных решений законов сохранения газовой динамики (доказана устойчивость расчёта нелинейных разрывных решений). Установлена прямая связь между устойчивостью и монотонностью численного решения.

Из большого числа практических задач, решение которых было получено за время работы в ВЦ, можно упомянуть следующие. Была предложена принципиальная схема, проведены все необходимые расчёты, курировались создание и успешные испытания устройства, обеспечивающего вывод мощных электронных пучков из глубокого вакуума в атмосферные условия [56]. Идеология такого устройства использовалась позднее в прикладных институтах, занимав­ших­ся подобными проблемами. Отдельные элементы устройства отмечались премиями и медалями на всесоюзных выставках. Проводились обширные численные исследования прохождения лазерных и электронных импульсов через атмосферу [57]. Особое внимание было уделено режимам многократной самофокусировки, в которых удалось обосновать качественное изменение режимов прохождения импульсов и дать разумное объяснение ряду аномальных эффектов. Были проведены численные исследования взаимо­дейс­твия ударных волн с телами различной формы. В частности, установлен факт затухания колебаний при набегании ударных волн на плоскую и цилиндрическую выемки. Установлены аппроксими­рующие зависимости величины декремента затухания колебаний от определяющих параметров течения, хорошо совпада­ющие с экспериментальными результатами. Был выполнен ряд работ по взаимодействию ударных волн с затупленными телами, как покоящимися, так и движущимися со сверхзвуковой скоростью. Исследовались колебания паро­га­зо­вой полости в воде. Впервые определён декремент затухания колебаний. Исследовалось прохождение ударных волн через термики различной интенсив­ности.

Методы решения обратных задач математической физики, возникающих при восстановлении эмпирической информации о свойствах, структуре и эволюции астрофизических объектов

Методы и программы предназначаются для:

- устранения априорно неизвестных атмосферных и аберрационных искаже­ний в (не) когерентных изображениях (не)стационарных астроно­ми­ческих объектов естественного и искусственного происхождения;

- автоматического адаптивного обнаружения и распознавания как внегалакти­ческих объектов, так и объектов ближнего космоса;

- статистически оптимального (в рамках адаптивного байесовского подхода) оценивания пространственных, временных, спектральных и поляри­за­ционных характеристик астрономических объектов на основе алгоритми­ческой обработки восстанавливаемых изображений.

Кроме того, эти методы приложимы в сфере офтальмологии, техничес­кой диагностики, оптической и электронной микроскопии.

Актуальность задач подтверждается их принадлежностью к списку проблем, приведённых в подпрограмме "Распознавание образов и обработка изображений", включённой Министерством науки и технологий Российской Федерации в государственную программу "Перспективные информационные технологии".

В практическом плане методы позволяют:

- наделить локационную систему большей автономностью (без ущерба её эффективности) вследствие ненужности дополнительного калибровочного измерения мгновенных или средних передаточных характеристик канала атмосфера-телескоп по сигналу от яркой эталонной — естественной или лазерной — звезды);

- делают локационную систему более экономичной, поскольку отпадает необходимость дооснащать телескоп такими уникальными и дорогостоящими вспомогательными устройствами, как измеритель волнового фронта сигнала от звезды, деформируемое (адаптивное) зеркало, лазерный передатчик и электронный блок управления.

 

Разработка эффективных топологических алгоритмов построения изоконтуров

Усложнение матфизического эксперимента с учетом возрастающих возможностей вычисли­тельной техники предъявляет новые нестандартные требования к представлению результатов. Например, для визуализации картины скалярного поля — функции, заданной в R3, перспектив­ным представляется подход, связанный с построением графа Риба или графа контуров, позво­ляющих трассировать топологическую эволюцию поверхнос­тей уровня. Стандартные алгоритмы визуализации изображений и машинной графики плохо приспособлены для построения графа контуров, поскольку не учитывают или даже уничтожают топологическую информацию, да и весьма трудоемки.

Впервые быстрый алгоритм вычисления графа контуров кусочно-линейной функции, заданной на односвязной области в R3 был построен в [58]. В настоящее время его модификации широко используются в Ливерморской национальной лаборатории для построения графов контуров в R3 и представления более сложных геометрических объектов.

 

 

 

 

Литература

1.     Белолипецкий А.А. Нелинейная математическая модель заполнения тонкос­тен­ных оболочек газом // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2000. № 2. С. 7-10.

2.     Aleksandrova I.V., Belolipetskiy А.А., Koresheva E.R. et al. An efficient method for filling targets with a highly-pressurized gas fuel // J. of the Moscow Physical Society. № 9. P. 325-335.

3.     Aleksandrova I.V., Belolipetskiy A.A., Koresheva E.R. et al. Mathematical models for filling polymer shells with a real gas fuel. // J. Laser and Particle Beams. V. 17, № 4. P. 701-712.

4.       Aleksandrova I.V., Belolipetskiy А.А., Koresheva E.R. et al. Free-standing target technologies for ICF // J. Fusion Technology. V. 37, № 1. P. 166-172.

5.       Белолипецкий А.А. Математическая модель остывания тонкостенной оболоч­ки при быстром конвективном перемешивании газа внутри неё // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная матема­тика и кибернетика. 2001. № 1. С. 14-17.

6.       Белолипецкий А.А. Математическая модель вымерзания газа на внутренней стенке лазерной мишени // Серия 15. Вычислительная мате­ма­тика и кибернетика. 2002. С. 23-28.

7.      Aleksandrova I. V., Belolipetskiy А.А., Koresheva E.R. et al. Progress in the development of tomographic information-processing methods for application to ICF target characterization // J. Fusion Technology. V. 38, № 2. P. 190-205.

8.      Александрова И.В., Белолипецкий А.А., Писарницкая Е.А. Пороговый метод характеризации лазерных мишеней в проблеме лазерного термоя­дер­ного синтеза // М.: ВЦ РАН, 2003. С. 1-75.

9.       Белолипецкий А.А., Тер-Крикоров A.M. Построение фундаментальных реше­ний абстрактного нелинейного параболического уравнения в окрест­ности точки бифуркации // Матем. сб. 1985. Т. 128. Вып. 3. С. 306-320.

10.     Белолипецкий А.А., Тер-Крикоров A.M. Об одном классе решений абстракт­ного нелинейного параболического уравнения вблизи точки бифуркации // Докл. АН СССР. 1984. Т. 279, № 4. С. 777-780.

11.     Белолипецкий А.А., Тер-Крикоров A.M. О фундаментальных решениях нели­ней­ного уравнения теплопроводности // Ж . вычисл. матем. и матем. физики. 1984. Т. 24, № 6. С. 850-863.

12.     Белолипецкий А.А., Стронгина Н.Р., Тер-Крикоров A.M. Некоторые вопросы эволюции диссипативных структур с точки зрения теории бифуркаций // Математическое моделирование. Методы описания и исследования сложных систем. / Научн. сб. под редакцией А.А. Петрова и А.А. Самарского. М.: Наука, 1989. С. 25-54.

13.     Белолипецкий А.А., Тер-Крикоров A.M. Бифуркации в уравнениях реакции-диффузии и связанные с ними диссипативные структуры // Сборник трудов факультета ВМК МГУ им. Ломоносова. Численные методы и вычислительный эксперимент. Диалог. М.: Изд-во МГУ, 1998. С. 15-30.

14.     Белолипецкий А.А., Тер-Крикоров A.M. Асимптотические решения типа длин­ных волн для одного класса граничных задач математической физики // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. / Научн. сб. под редакцией В.А. Треногина и А.Ф. Филиппова. М.: Физматлит, 2003. С. 145-196.

15.      Тер-Крикоров A.M., Бежанов К.А., Онуфриев А.Т. Пространственная зада­ча обтекания неровности дна потоком стратифицированной жидкос­ти конечной глубины // Известия АН СССР. 1990. № 3. С. 101-111.

16.      Тер-Крикоров A.M., Бежанов К.А. Пространственная задача обтекания источ­ника потоком многослойной жидкости // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1993. Т. 29. № 6. С. 771-779.

17.     Тер-Крикоров A.M. Исследование задачи обтекания тела плоским стратифи­цированным потоком // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 3. С. 41-49.

18.      Тер-Крикоров A.M. О силах, действующих на препятствие в стратифи­ци­ро­ванном потоке // ПММ. 1993. Т. 57. выпуск 1. С. 58-64.

19.      Тер-Крикоров A.M. Эволюция вихрей и внутренних волн в стратифи­ци­ро­ван­ной жидкости // ДАН СССР. 1994. Т. 338. № 1. С. 54-56.

20.      Тер-Крикоров A.M. Вихри и внутренние волны в стратифицированной жид­кости // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 4. С. 599-606.

21.      Тер-Крикоров A.M., Гордейчик Б.Н. О равномерных аппроксимациях фунда­мен­тального решения уравнения внутренних волн // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 3. С. 443-450.

22.      Тер-Крикоров A.M. Фундаментальное решение уравнения внутренних волн для среды с разрывной частотой Брента-Вяйсяля // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 621-677.

23.      Тер-Крикоров A.M., Секоян А.Х. Внутренние волны от потенциальных вих­рей // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1998. № 1. С. 118-123.

24.      Тер-Крикоров A.M. Источник в стратифицированной среде с разрывной часто­той Брента-Вяйсяля // Доклады РАН. 1998. Т. 358. № 1.

25.      Тер-Крикоров A.M., Бежанов К. Метод исчезающей вязкости Озеена в тео­рии стратифицированных течений несжимаемой жидкости // Phystech Journal. 1997. V. 3, № 2. P. 85-95.

26.      Тер-Крикоров A.M., Оганесян Х.В. Неустойчивость стационарных течений, генерируемых вихревой нитью в стратифицированном газе // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 3. С. 467-469.

27.      Тер-Крикоров A.M., Оганесян Х.В. Нелинейная неустойчивость стацио­нар­ных течений, генерируемых вихревой нитью в стратифици­рованном газе // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 2. С. 349-351.

28.      Тер-Крикоров A.M. Об уравнении осесимметрических колебаний плаву­чести в идеальной жидкости // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 4. С. 555-559.

29.      Тер-Крикоров A.M. Возмущения от источника в трёхслойной атмосфере // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 1. С. 62-68.

30.      Тер-Крикоров A.M. Возмущения от источника в двухслойной атмосфере, ограни­ченной горизонтальной земной поверхностью // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 1. С. 75-80.

31.      Тер-Крикоров A.M. Внутренние волны в среднем слое трёхслойной атмосферы от расположенных в нижнем слое источников // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 433-436.

32.     Manesh К., Lele K.S. The influence of entropy fluctuations on the interaction of turbulence with a shock wave // J. Fluid Mech. 1997. V. 334. P. 353-379.

33.     Andreopoulos Y., Agui Т.Н., Briassulis G. Shock wave turbulence inter­ac­tions // Annual Rev. of Fluid Mech. 2000. V. 32. P. 309-345.

34.     Jamme S., J.-B. Cazalbou J.-В., F. Torres F., Chassaing P. Direct Numerical Simulation of the Interaction between a Shock Wave and Various Types of Isotropic Turbulence // Flow, Turbulence and Combustion. 2002. V. 68. P. 227-268.

35.     Азарова О.А., Яницкий B.E. Численное исследование статистических характе­ристик пульсаций плотности в потоке с ударной волной // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 10. С. 1751-1757.

36.     Азарова О.А., Яницкий В.Е. Флуктуации в потоке газа с ударной волной // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 11. С. 1753-1760.

37.     Азарова О.А., Яницкий В.Е. Численное моделирование прохождения N-волны в потоке газа с флуктуациями параметров // ЖВМ и МФ. 2002. Т. 42, № 1. С. 95-100.

38.     Azarova О.А., Yanitskii V.E. Density Pulsations in a Shock Wave Flow // Proc. of the 21st International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 26-31 July, 1998, Marseille, France: Cepadues-Editions. 1999. C53-60.

39.     Азарова O.A. Численное моделирование взаимодействия турбулент­ности с ударной волной в потоке сжимаемого газа // ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44, № 3. С. 543-552.

40.     Азарова О.А., Братинкова Е.А., Штеменко Л.С., Шугаев Ф.В., Яницкий В.Е. Влияние ударной волны на пульсации плотности потока // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физ., астрон. 1997. № 6. С. 43-46.

41.     Azarova О.А., Shtemenko L.S., Shugaev F.V. Numerical Modeling of Shock Propagation through a Turbulent Flow // Computational Fluid Dynamics Journal / Dept. of Mechanical and Systems Engineering, Tokyo Noko University, Tokyo, Japan. 2003. V. 12, № 2. P. 41-45.

42.     Артемьев В.И., Бергельсон В.И., Немчинов И.В. и др. Изменение режима сверхзвукового обтекания препятствия при возникновении перед ним тонкого разреженного канала // МЖГ. 1989. № 5. С. 146-151.

43.     Войнович П.А., Жмакин А.И., Фурсенко А.А. Моделирование взаимо­действия ударных волн в газах с пространственными неоднород­ностями параметров // ЖТФ. 1988. Т. 58. Вып. 7. С. 1259-1267.

44.     Levin V.A., Afonina N.E. et al. Vehicle Streamlining Control via Outside Energy Supply and Interaction with Atmospheric In homogeneities // MSU Pub. № 24-97. Moscow. 1997. 22 p.

45.     Bityurin V.A., Klimov A.I., et al. On Interaction of Longitudinal Pulse Discharge with Bow Shock // Workshop "Perspectives of MHD and Plasma Technologies in Aerospace Applications", IVTAN. Moscow. 1999. P. 114-119.

46.     Kolesnichenko Yu.F., Brovkin V.G., Azarova O.A., Grudnitsky V.G. et al. Microwave Energy Release Regimes for Drag Reduction in Supersonic Flows // 40th AIAA Aerospace Meeting & Exhibit, Paper AIAA-2002-0353. P. 1-13.

47.     Kolesnichenko Yu.F., Brovkin V.G., Azarova O.A., Grudnitsky V.G. et al. MW Energy Deposition for Aerodynamic Application // 41st AIAA Aerospace Meeting & Exhibit, Paper AIAA-2003-361. P. 1-11.

48.     Kolesnichenko Yu.F., Brovkin V.G., Azarova O.A., et al. Basics in Beamed MW Energy Deposition for Flow/Flight Control // 42nd AIAA Aerospace Meeting & Exhibit, Paper AIAA-2004-0669. P. 1-14.

49.     Kolesnichenko Yu.F., Brovkin V.G. et al. Microwave Discharge Parameters in Supersonic Flow // 40th AIAA Aerospace Sciences Meeting & Exhibit, Reno, NV, 14-17 January, 2002. Paper AIAA-2002-0356. P. 1-15.

50.     Kolesnichenko Yu.F., Brovkin V.G., Khmara D. et al. "Fine Structure of Microwave Discharge: Evolution Scenario" // 41st AIAA Aerospace Sciences Meeting & Exhibit, Reno, NV, 6-9 January, 2003. Paper AIAA-2003-0362. P. 1-11.

51.     Азарова O.A. Разностная схема с выделением разрывов для расчёта взрывных течений в жидкостях и газах // Акустика неоднородных сред. Динамика сплошной среды. Вып. 105, Новосибирск, 1992. С.8-14.

52.     Грудницкий В.Г., Прохорчук Ю.А. Один приём построения разностных схем с произвольным порядком аппроксимации дифференциальных урав­не­ний в частных производных // Докл. АН СССР. 1977. Т. 234, № 6. С. 1249-1252.

53.     Грудницкий В.Г. О поведении численного решения краевых задач для эволюционных уравнений в больших областях // Доклады Академии наук. 1980. Т. 252, № 5.

54.     Грудницкий В.Г. Достаточное условие устойчивости при явном построе­нии разрывных решений системы уравнений Эйлера. // Доклады Академии наук. 1998. Т. 362. № 3.

55.     Грудницкий В.Г. Один приём построения разностных схем с произволь­ным порядком аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производ­ных // Доклады Академии наук. 1977. Т. 234, № 6.

56.     Грудницкий В.Г. Принципиальная схема и численное моделирование тече­ний в газодинамическом окне с большим перепадом давлений // ЖВМ и МФ. 1991. Т. 31, № 4.

57.     Грудницкий В.Г. Численное исследование взаимодействия лазерных импуль­сов с газовой средой // Ж. теплофизика высоких температур. 1994. Т. 32, № 4.

58.     Tarasov S., Vyalyi М. Construction of contour trees in 3D in O(n log n) steps. Proc. 14th Annu. ACM Syrrip. on Comput. Geometry, 1998.