Теория множеств является одной из базовых дисциплин современной математики. С другой стороны, проблема оснований теории множеств относится к числу важнейших проблем философии математики. В настоящей работе рассматриваются некоторые исторические, логические и философские аспекты этой важной и актуальной научной проблемы.

    Современная (аксиоматическая) теория множеств - единственная математическая дисциплина, которая "умеет" различать бесконечные множества по их мощности, т.е. по количеству составляющих эти множества элементов. Единственным основанием для такого различения бесконечностей является знаменитая Теорема Георга Кантора о несчетности множества всех действительных чисел. Как известно, Г.Кантор доказал свою теорему в 80-х г.г. прошлого столетия, т.е. за полвека до появления мета-математики. Следовательно, эта Теорема Г.Кантора не является мета-математической. Более того, ее трудно назвать и математической теоремой потому, что из математики в ее доказательстве используются только три элементарных математических понятия, а именно, понятия натурального числа, действительного числа и множества (последовательности) чисел. Резюмируя, можно сказать, что знаменитая Теорема Г.Кантора является чисто логическим утверждением, которое доказывается с помощью элементарной классической логики (поскольку математической логики в то время также не существовало).

    Доказательство Кантора обладает еще одной уникальной особенностью. Дело в том, что сегодня трудно кого-нибудь удивить сложностью и объемом математических доказательств. Так, например, знаменитое решение проблемы четырех красок занимает около 100 страниц математического текста (плюс около 1000 часов компьютерных вычислений). Знаменитое решение Великой Теоремы Ферма занимает около 1000 страниц математического текста. Наконец, решение проблемы классификации простых конечных групп составляет почти 15000 журнальных страниц. - На этом фоне доказательство теоремы Кантора представляет собой уникальное явление: оно занимает всего … 10 строчек, и характеризуется "параметром" глубокого психологического и философского смысла: одна строчка этого доказательства приходится на … 10 лет его существования!

    Приведу полный текст этой знаменитой Теоремы Кантора и ее доказательства.
    Обозначим через X множество всех действительных чисел, или, что то же, всех точек единичного отрезка [0,1]. Введем следующие соглашения. Для простоты мы будем использовать двоичную систему представления действительных чисел. Вместо длинного выражения "действительное число x является элементом множества X" будем писать xО X. Исключительно для удобства последующих ссылок будем использовать различные записи, заключенные в фигурные скобки.

    Итак, рассмотрим традиционное доказательство Теоремы Кантора (см., например, С.К.Клини, "Введение в метаматематику", М.: ИЛ, 1957, стр. 13).

ТЕОРЕМА КАНТОРА: {Тезис A:} Множество X - несчетно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТО КАНТОРА. Допустим противное, т.е. что {допущение метода от противного НЕ-A:} множество X - счетно. Это, по определению, означает, что все его элементы можно занумеровать с помощью обычных конечных натуральных чисел.
    Пусть последовательность

    x₁ , x₂, x₃ , . . . x_n , . . .  ,         (1)

является некоторым таким пересчетом всех x О X, т.е.,
{ B:} для любого z, если z О X, то z является элементом последовательности (1), или, короче, z О (1).
    Далее, применяя свой знаменитый диагональный метод к пересчету (1), Г.Кантор строит новое, так называемое "диагональное" действительное число (ДДЧ), скажем, y₁ такое, что, по определению, y₁ О X, но, по построению, y₁ отлично от каждого элемента пересчета (1), т.е. ДДЧ y₁ не принадлежит пересчету (1). Следовательно,

{НЕ-B:} данное ДДЧ y₁ О X, но это ДДЧ y₁ не входит в пересчет (1).

Итак, получено противоречие между НЕ-B and B. Из этого противоречия, с учетом произвольности выбора пересчета (1), Кантор делает свой знаменитый вывод: допущение НЕ-А о счетности множества X - ложно. Следовательно, {A:} множество X - несчетно. Ч.Т.Д.

    К сожалению, знаменитый диагональный метод Кантора не учитывает и не использует количественных характеристик (т.е. мощности) тех множеств, к которым он применяется (см. [1,2,4]). Поэтому в рассматриваемом случае Кантор, для получения вожделенного противоречия, использует только актуальность пересчета (1), т.е. условие, что пересчет (1) "содержит все x О X ". Если же мы вспомним, что пересчет (1) не только актуален, но еще и бесконечен, то канторовское противоречие между НЕ-B and B может быть разрешено, или снято, без всяких логических конфликтов с допущением НЕ-А канторовского доказательства теоремы.
    Тривиально очевидно, что для пересчета (1) в двоичной системе можно построить только единственное ДДЧ y₁ . С другой стороны, согласно канторовскому определению понятия бесконечного множества, мощность последнего не изменится, если к нему добавить … один новый элемент.
    Поэтому мы можем добавить ДДЧ y₁ к исходному счетно-бесконечному пересчету (1), например, таким образом:

    y₁ , x₁ , x₂, x₃ , . . . x_n , . . .  .         (1.1)

Очевидно, что теперь новый счетно-бесконечный пересчет (1.1) будет содержать все действительные числа множества X , т.е.

{ B:} для любого z, если z О X, то z О (1.1).

Таким образом, мы устранили канторовское противоречие между НЕ-B и B без ущерба для допущения НЕ-A канторовского доказательства.

Очевидно, однако, что повторное применение Диагонального метода Кантора к счетно-бесконечному пересчету (1.1) приведет к построению нового ДДЧ, скажем, y₂ такого, что

{ НЕ-B:} данное ДДЧ y₂ О X , но это ДДЧ y₂ не входит в пересчет (1.1).

    Но в таком случае можно построить новый счетно-бесконечный пересчет, скажем, такой:

    y₂ , y₁ , x₁ , x₂, x₃ , . . . x_n , . . . ,         (1.2)

и мы получаем

{ B:} для любого z, если  z О X, то  z О (1.2).

Применяя диагональный метод к счетно-бесконечному пересчету (1.2), мы построим новое ДДЧ, скажем, y₃ , и докажем:

{ НЕ-B:} данное ДДЧ    y₃ О X , но это ДДЧ y₃ не входит в пересчет (1.2).

Затем, учитывая бесконечность (1.2), мы построим новый счетно-бесконечный пересчет вида:

    y₃ , y₂ , y₁ , x₁ , x₂ , x₃ , . . . x_n , . . . ,         (1.3)

и докажем, что:

{ B:} для любого z, если z О X, то z О (1.3).

    И так далее.

    Очевидно, что само канторовское доказательство превращается при этом в следующее довольно непривычное для классической логики "рассуждение":

    НЕ-A ® B ® НЕ-B ® B ® НЕ-B ® B ® НЕ-B ® B ® . . .  .         (2)

    При этом, следует особо подчеркнуть, что в природе не существует ни логических, ни математических поводов, причин или других оснований, чтобы прервать или остановить этот бесконечный процесс (2). Очевидно также, что мы не получим никаких противоречий с допущением НЕ-A канторовского доказательства о счетности исходного пересчета (1), как, впрочем, и со счетностью всех последующих пересчетов. Учитывая тот факт, что на каждом шаге потенциально бесконечного процесса (2) фактически строится новое действительное число, мы приходим к следующим выводам.

    1. Доказательство Кантора фактически содержит в себе не-финитный этап (2), т.е. такое рассуждение не является математическим доказательством в смысле Д.Гильберта и, добавлю, в смысле классической математики.

    2. Вывод Кантора о несчетности множества Х "перепрыгивает" через потенциально бесконечный этап (2), т.е. рассуждение Кантора содержит фатальную логическую ошибку "недоказанного основания" ("jump to a <wishful> conclusion").

    3. "Доказательство" Кантора, в действительности, доказывает, причем строго математически, именно потенциальный , т.е. принципиально незавершаемый, характер бесконечности множества Х "всех" действительных чисел, т.е. строго математически доказывает фундаментальный принцип классической логики и классической математики: "Infinitum Actu Non Datur" (Аристотель).

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Очевидно, что если мы возьмем не двоичную, а любую другую систему счисления с основанием больше 2, то для любого данного счетного пересчета (1) Кантор сможет построить уже не единственное ДДЧ, а бесконечное множество ДДЧ, скажем, множество Y. Возможны два варианта.
    а) Множество Y - счетно. Тогда все его элементы можно занумеровать в счетную последовательность, например, такую:

    y₁ , y₂, y₃ , . . . , y_n , . . . ,         (3)

что означает

{НЕ-B:} для любого данного ДДЧ y из Y: y О X, но это ДДЧ y не входит в пересчет (1).

    Однако, используя хорошо известный метод "трансфинитной кавитации" [6] Г.Кантора, две счетные последовательности (1) и (3) можно записать в виде одной счетной последовательности, например, такой:

    x₁ , y₁ , x₂ , y₂ , x₃ , y₃ ,  . . .  , x_n , y_n ,  . . .  ,         (3.1)

и, следовательно,

{ B:} для любого z, если z О X, то z О (3.1).

    Таким образом, мы опять снимаем противоречие между НЕ-B и B, не вступая в противоречие с допущением НЕ-A о счетности пересчетов (1), (3.1) и т.д., и вновь приходим к потенциально бесконечному процессу (2).

    б) Множество Y - несчетно. Но это (т.е. возможность существования несчетных множеств) еще требуется доказать, естественно, с помощью … все той же Теоремы Г.Кантора. Но в этом случае мы просто возвращаемся к началу канторовского доказательства, в котором множество X следует теперь заменить на множество Y, т.е. опять приходим к бесконечной пустой тавтологии вида (2).

    Таким образом, использование любого основания системы счисления >2, в силу хорошо известных свойств бесконечных множеств, ничего не меняет, т.е. приводит к тем же самым выводам 1-3.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Использование второго известного варианта канторовского доказательства (посредством допущения о существовании 1-1-соответствия между бесконечным множеством, скажем, U, и множеством, P(U), всех его подмножеств (см., например, Хаусдор Ф., Теория множеств. - М.-Л.: ОНТИ, 1937, стр. 33-34) также ничего не меняет, т.е. приводит к тем же самым выводам 1-3.

    Ради исторической справедливости уместно добавить, что знаменитый Тезис Аристотеля "Infinitum Actu Non Datur", т.е. утверждение о невозможности существования (т.е. о внутренней противоречивости понятия) логических или математических (т.е. всего лишь мыслимых, а не существующих в природе) актуально-бесконечных объектов, - на протяжении последних 2300 лет, - разделяли и активно поддерживали такие великие единомышленники Аристотеля, как Лейбниц, Коши, Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Брауэр, Вейль, Лузин и многие другие выдающиеся создатели классической логики и современной классической математики в целом! Каждый из них профессионально занимался исследованием проблемы математической бесконечности, и можно не сомневаться, что они понимали истинную природу Бесконечного отнюдь не хуже Г.Кантора. Несомненая заслуга последнего состоит в том, что он первый от иногда более, иногда менее обоснованных рассуждений о возможности или невозможности актуальной бесконечности перешел к ее явному операциональному употреблению в рамках классической логики и классической математики, и тем самым впервые сделал результаты такого "математического" (см. выше) употребления понятия актуальной бесконечности доступними для стандартных методов логического и математического критического анализа. Именно такой анализ логических аспектов канторовского доказательства Теоремы о несчетности, - более, чем краеугольного камня всего канторовского "учения о трансфинитном", - выполненный выше, показывает, что Теорема Кантора о несчетности является просто неверной с точки зрения классической логики Аристотеля. Почему такой анализ Теоремы Кантора не был выполнен своевременно, т.е. в конце XIX века? - Это очень нетривиальная тема для фундаментального исследования в области психологии научного познания.

    Полный анализ других логических ошибок канторовского доказательства теоремы о существовании несчетных множеств содержится в работах [1-7].

1. А.А.Зенкин, Новый парадокс канторовской теории множеств. - Международная конференция "Смирновские Чтения", Москва, 1997 г. Секция 1. Символическая логика. Тезисы докладов, стр. 17-18.
2. А.А.Зенкин, Принцип разделения времени и анализ одного класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Г.Кантора о несчетности). - Доклады РАН, раздел "Математика", том 356, No. 6, 733-735 (1997). http://www.com2com.ru/alexzen/papers/dan4-e.doc
3. А.А.Зенкин, Когнитивная визуализация некоторых трансфинитных объектов классической (канторовской) теории множеств. - В сб. "Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты", ред. проф. А.Г.Барабашев. - М.: "Янус-К", 1997 г., стр. 77-91, 92-96, 184-189, 221-224.
4. А.А.Зенкин, "О логике некоторых квази-финитных рассуждений теории множеств и метаматематики. Новый парадокс канторовской теории множеств." - Новости искусственного интеллекта, 1997, No. 1, pp. 64-98.
5. А.А.Зенкин, Автоматическая классификация парадоксов логики и математики. Об одной "физической" модели парадокса "Лжеца". - Новости искусственного интеллекта, 1997, No. 3, стр. 69-79.
6. А.А.Зенкин, Существует ли Г.Бог в Транфинитном Раю Г.Кантора? - Новости искусственного интеллекта, 1997, No. 1, стр. 156-160.
7. А.А.Зенкин, Трансфинитная кавитация в рядах ординалов Г.Кантора. - Новости искусственного интеллекта, 1997, No. 3, стр. 131-137.

АВТОР: Проф. Александр Александрович Зенкин,
Доктор физико-математических наук,
Ведущий научный сотрудник Вычислительного центра РАН.
e-mail: alexzen@com2com.ru
WEB-Site http://www.com2com.ru/alexzen