Отдел "Имитационные системы"

In English

Решение задач для многомерных нелинейных управляемых систем сопряжено с большими трудностями, которые носят как математический, так и эксплуатационный характер, ибо часто требуются неприемлемые затраты машинного времени. Поэтому актуальной является разработка методов редукции нелинейных систем, т.е. приведения систем к более простому виду, например, к декомпозиции на системы меньшей размерности. Подходы к проблеме редукции могут быть разные, в частности, использующие приближенные методы. Здесь рассматривается, вероятно, наиболее естественный и очевидный подход, который присутствует по существу в любой теории математических объектов, скажем, в теории линейных пространств, в теории групп и т.д. Редукция, о которой здесь идет речь, - это редукция, основанная на сопоставлении исходному объекту изоморфного объекта, факторобъекта и подобъекта. Например, в теории линейных пространств это редукция к изоморфному линейному пространству, факторпространству и подпространству. Собственно, изложение элементов любой теории начинается с введения этих редуцированных объектов и определения основных их свойств по отношению к исходному объекту. Поэтому можно сказать, что теория редукции нелинейных управляемых систем (согласно, данному подходу) представляет собой элементы общей теории таких систем. Оказывается, что данная теория имеет чисто дифференциально-геометрический и теоретико-групповой характер.

Формальное определение указанных редуцированных объектов, которое подходит для любой математической теории, можно сделать в рамках теории категорий или теории структур Бурбаки. На описательном уровне та или иная категория (например, категория линейных пространств или категория групп) представляет собой класс объектов, причем каждый объект S является множеством M с заданной на нем некоторой структурой одного и того же рода. Эту структуру можно трактовать как совокупность связей определенного вида между элементами множества M. Кроме объектов в категорию входят морфизмы, осуществляющие взаимосвязи между объектами. Если объекты S1, S2 заданы на множествах M1, M2, то морфизмом f объекта S1 в объект S2 является отображение M1 в M2, сохраняющее структуру данного рода (т.е. сохраняющее соответствующие связи между элементами множеств). Например, в категории линейных пространств морфизмами являются линейные отображения, а в категории групп --- гомоморфизмы.

Для нелинейных управляемых систем dy/dt=f(y,u) можно построить категорию следующим образом. Объектами этой категории, которую обозначим через NS, являются управляемые системы. Морфизмы определяются так. Рассмотрим наряду с некоторой системой S1, описываемой соотношениями dy/dt=f(y,u), управляемую систему S2, описываемую соотношениями dx/dt=g(x,v). Морфизмом системы S1 в систему S2 называется отображение f фазового пространства M системы S1 в фазовое пространство L системы S2, переводящее решения (фазовые траектории) системы S1 в решения системы S2.

Изоморфизм в той или иной категории - это морфизм f, представляющий собой взаимно однозначное отображение, причем обратное отображение также является морфизмом. Если для объектов S1 и S2 существует изоморфизм S1 в S2, то объекты S1 и S2 называются изоморфными. Изоморфные объекты имеют одинаковые свойства в рамках данной категории. Например, в категории линейных пространств изоморфизмы - это линейные изоморфизмы.

Редукция управляемой системы к изоморфной или, как еще говорят, эквивалентной системе целесообразен, если последняя имеет более простой вид. Например, сложная нелинейная система может быть эквивалентна линейной системе. В этом случае нелинейность является "случайной чертой", которая стирается при переходе к эквивалентной системе. Существенные свойства управляемых систем, такие, как управляемость, устойчивость, оптимальность решений, сохраняются при переходе к эквивалентной системе. Поэтому естественно попытаться решить ту или иную задачу управления для эквивалентной системы более простого вида, а затем "перенести" полученное решение на исходную систему с помощью изоморфизма.

Понятие подобъекта возникает в связи с желанием корректно построить сужение (ограничение) данного объекта S1, заданного на множестве M, на подмножество N множества M. Вообще говоря, объект S1 сузить на произвольное множество нельзя. Объект S2, заданный на подмножестве N, называется подобъектом, если каноническое вложение N в M является морфизмом. Например, в категории линейных пространств подобъекты - это линейные подпространства.

Потребность в сужении управляемой системы S1, т.е. в переходе к подсистеме S2, заданной на подмножестве N множества M, возникает, если из практических соображений на элементы множества M наложены некоторые ограничения (начальные условия, граничные условия и т.д.). В этом случае естественно попытаться сузить систему S1 на некоторое подмножество N, для которого эти ограничения удовлетворяются. Подсистема S2, заданная на N, определяет часть решений исходной системы S1, лежащих в N и, в частности, удовлетворяющих заданным ограничениям. Поэтому решение задачи управления, поставленной для системы S1, может быть сведено к решению аналогичной задачи для подсистемы S2 с фазовым пространством меньшей размерности.

В то время как при сужении упрощение достигается за счет перехода на подмножество N множества M, при факторизации упрощение достигается за счет "сжатия" множества M, т.е. перехода на фактормножество M/R по некоторому отношению эквивалентности R. При этом переходе точки, принадлежащие одному классу эквивалентности, "склеиваются" в одну точку фактормножества M/R. Объект S2, заданный на M/R, называется факторобъектом объекта S1, заданного на M, если каноническая проекция из M в M/R является морфизмом. Например, в категории линейных пространств факторобъекты - это факторпространства.

Значение факторизации для редукции управляемых систем заключается прежде всего в том, что она порождает определенную декомпозицию исходной системы. Точнее, если у системы S1 существует факторсистема dz/dt=g(z,v), заданная на некотором фактормножестве M/R, то система S1 эквивалентна системе вида dz/dt=g(z,v), dx/dt=h(z,x,v). Из вида этой системы следует, что любое решение z(t), x(t) системы может быть получено следующим образом. Сначала нужно найти решение факторсистемы dz/dt=g(z,v) (соответствующее некоторому управлению v(t)), а затем, после подстановки z(t) в dx/dt=h(z,x,v), найти x(t). На этом факте основана декомпозиция алгоритмов решения задач управления. Заметим также, что многие свойства управляемой системы (наблюдаемость, автономность и др.) определяются существованием факторсистем специального вида.

Понятия изоморфного объекта, факторобъекта и подобъекта могут применяться для редукции исходного объекта совместно и в различной последовательности. Конкретная последовательность переходов к редуцированной системе называется схемой редукции, а число переходов - глубиной редукции. При решении той или иной задачи управления схема и глубина редукции выбираются исходя из условий задачи.

Главным в проблеме редукции является построение математического аппарата для нахождения редуцированных объектов. Математический аппарат составляют понятия, которые имеют инвариантный характер относительно морфизмов. Для категории управляемых систем NS и ее различных подкатегорий эффективным инструментом исследования проблемы редукции являются ассоциированные дифференциально-геометрические и теоретико-групповые объекты: группа преобразований, адгебра Ли векторных полей, аффинное распределение, кораспределение, система Пфаффа и др. Объекты такого рода можно связать с каждой управляемой системой, причем структура этих объектов сохраняется при морфизмах категории управляемых систем. Отметим, например, следующие результаты. Подмножества, на которых могут существовать подсистемы должны быть инвариантными многообразиями ассоциированной группы. Следовательно, для существования (нетривиальных) подсистем ассоциированная группа должна быть интранзитивной. С другой стороны для существования (нетривиальных) факторсистем ассоциированная группа должна быть импримитивной.

Основы изложенного подхода к проблеме редукции управляемых систем представлены в следующих работах.

1. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Дифференциально-геометрический подход. М.: Наука. 1997, 320 с.

2. Elkin V.I. Affine control systems: their equivalence, classification, quotient systems and subsystems //Journal of Mathematical Sciences. 1998. Vol. 88. No. 5. P. 675-722.

3. Elkin V.I. Reduction of nonlinear control systems. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers, 1999. 249 p.

4. Елкин В.И. О категориях и основах теории нелинейных управляемых динамических систем. I //Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. N. 11. С. 1457-1482.

5. Елкин В.И. О категориях и основах теории нелинейных управляемых динамических систем. II //Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. N. 11. С. 1-10.

6. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Декомпозиция и инвариантность по возмущениям. М.: Фазис, 2003. 207 с.

Возврат к странице ВЦ РАН