Отдел "Имитационные системы"

Исследование проблемы декомпозиции математических моделей ведутся в отделе в течении последних двадцати лет. Эти исследования являются методологическим обеспечением основного направления деятельности отдела: разработки средств, обеспечивающих продвижение математического моделирования в новые области исследований и практической деятельности. Во-первых, необходимо было понять при каких условиях сложную модель можно "эквивалентным" образом "представить" с помощью совокупности более "простых" моделей. Во-вторых, потребовался понятийный аппарат для того, чтобы ориентироваться в вопросе о том, каковы границы применимости средств математического моделирования для анализа и прогноза реальных процессов, систем, явлений, каким образом математическое моделирования связано с гуманитарными средствам и анализа и прогноза. Одним из направлений в исследовании проблемы декомпозиции математических моделей является развитие геометрической теории декомпозиции.

В рамках этой теории модель погружается в класс математических объектов, в котором определено понятие об изоморфизме (эквивалентности) объектов. Среди объектов, изоморфных данному, отыскивается такой, который "представляется" с помощью семейства "более простых" объектов этого класса. При таком подходе свойства математических моделей допускать декомпозиции являются, очевидно, одними и теми же для всех моделей, изоморфных данной. Другими словами, декомпозиционные свойства математических моделей сохраняются при их изоморфизмах. Поэтому эти свойства выражаются в терминах, также сохраняющихся при изоморфных преобразованиях. Проблема декомпозиции, таким образом, родственна проблеме отыскания канонических форм некоторого класса математических объектов в рамках определенного для них понятия об изоморфизме. В качестве инструментального средства для исследования проблемы декомпозиции математических моделей в том ее понимании, о котором говорилось выше, используется бурбаковский формализм. Именно, математические модели трактуются как бурбаковские математические объекты, т.е. как множества, снабженные структурами в смысле Н. Бурбаки. Определяются (бурбаковские) понятия о подобъектах и фактор-объектах математического объекта относительно некоторым образом введенных (бурбаковских) морфизмов. (Бурбаковские подобъекты и фактор-объекты отличаются от их аналогов в теории категорий.) В основе геометрической теории декомпозиции лежат лишь два двойственных друг другу понятия: понятие о P-декомпозиции и понятие о F-декомпозиции математического объекта. Эти понятия, в сущности, есть бурбаковские понятия о начальной и финальной структурах некоторого семейства математических объектов. Упрощая и огрубляя ситуацию можно сказать, что Р-декомпозицией (F-декомпозицией) математического объекта (модели) считается семейство его подобъектов (фактор-объектов), по которому он восстанавливается единственным образом (это означает, что существует не более одного объекта, обладающего заданной P- декомпозицией (F-декомпозицией). Декомпозиционная структура математического объекта - это совокупность свойств множества его декомпозиций и взаимоотношений между различными декомпозициями. Можно понимать декомпозиционную структуру как структуру в бурбаковском смысле этого слова, которая индуцируется на множестве P-декомпозиций (F-декомпозиций) математического объекта его исходной структурой. Декомпозиционная структура "сохраняется", когда объект подвергается изоморфизмам, поскольку при изоморфизмах подобъекты переходят в подобъекты, фактор-объекты - в фактор-объекты. Простейшим примером взаимоотношений между декомпозициями является отношение "более простая" на множестве P-декомпозиций математического объекта: если из семейства подобъектов, составляющих P-декомпозицию данного объекта можно удалить некоторое количество подобъектов и то, что останется, по-прежнему будет P-декомпозицией объекта (т.е. определять его единственным образом), то эта последняя P-декомпозиция называется "более простой", чем исходная. Это отношение тесно связано со свойством компактности топологических пространств (см. ниже). Отношение "более простая" является отношением частичного порядка на множестве P-декомпозиций объекта. В большинстве случаев интерес представляют минимальные в смысле этого частичного порядка P-декомпозиции. Среди таковых наиболее важными является P-декомпозиции, у которых составляющие их подобъекты определены на классах по некоторому отношению эквивалентности, т.е. подмножества на которых определены подобъекты, участвующие в декомпозиции, попарно не пересекаются, а их объединение есть все множество, на котором определен исходный объект. Наличие такой декомпозиции означает, что объект "распадается" на независимые в некотором смысле подобъекты, из которых он "составляется" как из "кубиков". Такая декомпозиция называется декомпозицией на дизъюнктивную сумму или СС-декомпозицией. Множество таких декомпозиций также снабжается структурой частичного порядка. Например, семейство транзитивных групп преобразований, которые генерируются исходной группой преобразований на классах эквивалентности по отношению эквивалентности, которое индуцируется этой исходной группой преобразований на исходном множестве, есть максимальная CC-декомпозиция исходной группы преобразований на CC-простые (см. ниже) подобъекты. Двойственной к декомпозиции на дизъюнктивную сумму является декомпозиция объекта на декартово произведение семейства своих фактор-объектов. Такая декомпозиция называется DP-декомпозицией. Жорданово представление линейного оператора, действующего в конечномерном линейном векторном пространстве над полем комплексных чисел, является максимальной (относительно соответствующего частичного порядка) DP-декомпозицией этого оператора, а операторы, соответствующие жордановым клеткам, являются DP-простыми фактор-объектами (см. ниже). В теории декомпозиции определяются четыре типа "простоты" объектов: не имеющие нетривиальных подобъектов (для всякого объекта тривиальным подобъектом является он сам; аналогично для фактор-объктов) называются P-простыми, не имеющие нетривиальных фактор-объектов - F-простыми, не имеющие нетривиальных декомпозиций на дизъюнктивную сумму - CC-простыми, не имеющие нетривиальных декомпозиций на декартово произведение - DP-простыми. СС-простота и DP-простота являются примерами свойств декомпозиционной структуры математического объекта. Многочисленные примеры говорят о том, что важнейшие свойства многих математических объектов, являются свойствами декомпозиционных структур этих объектов. Например, транзитивная группа преобразований является P-простым, а, значит, и CC-простым объектом. Примитивная группа преобразований - это F-простой, а значит, и DP-простой объект. Простая (абстрактная) группа - это F-простой объект (всякая абстрактная группа является СС-простым объектом), а простое поле - P-простой объект (всякое поле является одновременно СС-простым и F-простым объектом). Связное топологическое пространство и связный граф - это CC-простые объекты. Компактность топологического пространства - это свойство его декомпозиционной структуры, состоящее в том, что для всякой его P-декомпозиции, образованной открытыми множествами (для того, чтобы семейство открытых множеств топологического пространства образовывало его P-декомпозицию необходимо и достаточно, чтобы открытые множества семейства покрывали исходное топологическое пространство) существует более простая (см. выше пояснение отношения "более простая" между P-декомпозициями) конечная P-декомпозиция. Таким образом компактность - это свойство декомпозиционной структуры топологического пространства. Нетривиализуемое расслоенние дифференцируемого многообразия - это такая его P-декомпозиция, каждый элемент которой допускает нетривиальную декомпозицию на декартово произведение, в то время как исходное многообразие является DP-простым, т.е. не допускает нетривиальной декомпозиции на декартово произведение.

Ряд прикладных проблем сводится к изучению декомпозиционных структур соответствующих математических моделей. Например, наблюдаемость управляемой динамической системы (если наблюдаются некоторые функции фазовых переменных системы) есть свойство системы не иметь декомпозиций, в фактор-системе которой присутствуют все наблюдаемые функции. Наоборот, свойство управляемой системы иметь инвариантные функции есть свойство иметь декомпозиции определенного характера. (см. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Декомпозиция и инвариантность по возмущениям. М.: Фазис. 2003). Примером прикладной проблемы, при исследовании которой изучались декомпозиционные структуры объектов, является проблема построения образов изображений. Один из подходов к этой проблеме состоит в понимании "образа" изображения как того, что "сохраняется" в изображении, когда оно подвергается некоторой совокупности преобразований. Сопоставив с изображением тем или иным способом математический объект можно пытаться строить образы изображения как совокупности свойств декомпозиционной структуры этого объекта, поскольку эти свойства "сохраняются", когда объект подвергается изоморфизмам (см. выше).

Языковая среда теории декомпозиции позволяет высказать некоторые общие положения, методологического характера, являющиеся гуманитарной "надстройкой" над строгой математической теорией. Ниже приводятся примеры такого сорта положений.

Если в наблюдаемой системе (процессе, явлении) видна "структура", то эта система (процесс, явление) содержит в себе механизмы, сохраняющие (поддерживающие) эту "структуру". Понимание природы этих механизмов является необходимым условием для понимания природы данной системы (процесса, явления). Если возможно адекватное математическое моделирование этой системы (процесса, явления), то наблюдаемая "структура" системы есть декомпозиционная структура соответствующей математической модели. То, что называют "хаосом", является отсутствием декомпозиционной структуры у наблюдаемой системы (процесса, явления). Чем сложнее "хаос", тем он менее "устойчив", а, значит, менее вероятен. Тот факт, что чем больше порядок конечной (абстрактной) группы, тем "менее вероятно", что она является F-простой (F-простота абстрактной группы означает, что ее операцию умножения нельзя описать "на агрегированном уровне") связан с высказанным положением. Направление исследований, которое изучает возникновение (диссипативных) структур в естественных физических и физико-химических процессах получило название "синергетика".

В сложных управляемых системах декомпозиция реализуется посредством назначения части управлений в виде обратных связей (т.е. в виде функций измеряемых при функционировании системы характеристик) и ограничений на управления (чем меньше область допустимых управлений, тем, вообще говоря, больше множество возможных декомпозиций). В таких системах декомпозиция является средством реализации иерархии ценностей (предпочтений), достигаемых системой, приведения в соответствие сложности возникающих при этом управленческих задач имеющимся возможностям их решения, т.е. встроенной в систему информационной технологии (средств сбора, хранения, передачи, обработки информации). В очень сложных управляемых системах (например, биологических, экологических, социальных) на нижнем уровне этой иерархии находится задача удержания значений некоторой совокупности характеристик системы в достаточно узких пределах. Совокупность таких характеристик естественно назвать "внутренней средой системы". Такая система существует до тех пор, пока она способна поддерживать свою внутреннюю среду и свою декомпозиционную структуру. Вне этой поддержки она либо разрушается либо переходит в другую систему, способную какими-то другими обратными связями поддерживать другую среду и другую структуру. Совокупность обратных связей, поддерживающих внутреннюю среду системы и ее декомпозиционную структуру, называют "гомеостазом". Элементы гомеостаза (самосохранения) присутствуют в социально-экономических сообществах, где они выражаются, в том числе, в форме обеспечения "стабильности" в сообществе. В частности, нравственные, этические нормы в поведении и общении людей являются механизмами гомеостаза, появившимися на определенной стадии развития (формировании структуры общественного производства) человеческого общества и обеспечившие ему потенциал для дальнейшего развития.

 Результаты изучения проблем эквивалентности, декомпозиции, факторизации: упрощения математических моделей, в том числе моделей управляемых процессов, как средствами геометрической теории декомпозиции, так и средствами теории категорий содержатся в обзоре

Elkin V.I., Pavlovsky J.N. Decomposition of models of control processes. Journal of Mathematical science. Vol. 88., No. 5, pp. 723-761, 1998.,

в монографиях

Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Проблема декомпозиции в математическом моделировании. М.: Фазис. 1998, 272 с.

Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. М.: Наука. 1997, 320 с.

Ивашко Д.Г. Трехмерные аффиинные управляемые системы. М.: ВЦ РАН. 2000. 130 с. ,

Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Декомпозиция и инвариантность по возмущениям. М.: Фазис. 2003, 207 с.

Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Шкалы родов структур, термы и соотношения, сохраняющиеся при изоморфизмах. М.: Фазис. 2003, 92 с.

статьях

Павловский Ю.Н. Декомпозиция снабженных структурой множеств на свободную сумму и прямое произведение. Доклады РАН, 1995, т. 340, 3, с. 314-316

Павловский Ю.Н. О P- и F- декомпозициях S-объектов. Доклады РАН, 1996, т. 351, 5, с. 603-605.

Павловский Ю.Н. О декомпозициях снабженных структурой множеств над подчиненными структурами. Доклады РАН, 1997, т. 357, 5, с. 589-591.

Павловский Ю.Н. О шкалах родов структур. Доклады РАН, 1998, т. 363, 2, с. 163-165.

Павловский Ю.Н. О HPF- и PF- морфизмах. Доклады РАН, 1999, т. 369, 6, с. 745-746.

Павловский Ю.Н. О декомпозиционном методе построения образов подмножеств снабженных структурой множеств. Доклады РАН, 2000, т. 374, 4, с. 450-452.,

Павловский Ю.Н. Об одном декомпозиционном подходе к построению образов изображений. Доклады РАН, 2003, т. 392, 6, с. 450-452.

Возврат к странице ВЦ РАН

Copyright 2000, отд. Имитационные системы.